最后更新: 2026-04-06 11:25 查看: 495 次纠错评论(0) 课件开VIP

圆与正多边形与正多边形的尺规作图

## 圆的内接正多边形与外切正多边形
各条边相等，各个角也相等的多边形，叫做**正多边形**．正多边形按它的边数（或角数）分为正三角形（即等边三角形），正四边形（即正方形），正五边形、正六边形……

> **定理**：如果把圆分成 n 等分，那么，顺次连结各分点所得的多边形是圆的**内接正 n 边形**；经过各分点作圆的切线，所组成的多边形是圆的**外切正 n 边**
形．

`例`已知： $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ 为 $n$ 等分某圆周的分点, 过 $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$,作圆的切线交成 $n$ 边形 $A_1^{\prime} A_2^{\prime} A_3^{\prime} \cdots A_n^{\prime}$ (图 4.73).
求证: $n$ 边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 和 $A_1^{\prime} A_2^{\prime} A_3^{\prime} \cdots A_n^{\prime}$ 都是正多边形.
 
 ![图片](/uploads/2024-09/a80901.jpg)
 
 
 证明: 由于 $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ 是圆的 $n$ 个等分点,
$\therefore \widehat{A_1 A_2}=\widehat{A_2 A_3}=\cdots=\widehat{A_n A_1}, \quad \overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_3}=\cdots=\widehat{A_n A_1}$
又 $\because \angle A_1, \angle A_2, \angle A_3, \ldots, \angle A_n$ 的度数都等于 $\widehat{A_1 A_2}$ 的度数的 $(n-2)$ 倍的一半.
$\therefore \quad \angle A_1=\angle A_2=\angle A_3=\cdots=\angle A_n, A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 是正 $n$ 边形.
由于在 $\triangle A_1^{\prime} A_1 A_2, \triangle A_2^{\prime} A_2 A_3, \ldots, \triangle A_n^{\prime} A_n A_1$ 中, $\overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_3}=\cdots=$

$\overline{A_n A_1}$, 且

$$
\begin{aligned}
& \angle A_1^{\prime} A_1 A_2=\angle A_1^{\prime} A_2 A_1 \\
& =\angle A_2^{\prime} A_2 A_3=\angle A_2^{\prime} A_3 A_2 \text { (弦切角定理及其推论) } \\
& =\cdots=\angle A_n^{\prime} A_n A_1=\angle A_n^{\prime} A_1 A_n \\
& \therefore \quad \triangle A_1^{\prime} A_1 A_2 \cong \triangle A_2^{\prime} A_2 A_3 \cong \cdots \cong \triangle A_n^{\prime} A_n A_1
\end{aligned}
$$

因此:

$$
\begin{aligned}
& \angle A_1^{\prime}=\angle A_2^{\prime}=\angle A_3^{\prime}=\cdots=\angle A_n^{\prime} \\
& \overline{A_1^{\prime} A_2^{\prime}}=\overline{A_2^{\prime} A_3^{\prime}}=\cdots=\overline{A_n^{\prime} A_1^{\prime}}
\end{aligned}
$$

$\therefore \quad A_1^{\prime} A_2^{\prime} A_3^{\prime} \cdots A_n^{\prime}$ 是正多边形。

> 根据上述定理，我们只要把圆 $n$ 等分就可作出圆的内接正 $n$ 边形了，但能否只用直尺圆规将一个圆 $n$ 等分呢? 这个问题并不简单, 事实上有的是不可能的.

如果一个正 $n$ 边形不容易或者不可能用圆规和直尺作出. 我们可用量角器近似地作出一个圆心角等于 $\frac{360^{\circ}}{n}$, 这个圆心角所对的弧就约是整个圆周的 $\frac{1}{n}$,所对的弦就约是圆内接正 $n$ 边形的一边, 以这条弦为半径, 从圆上一点起在圆上依次截取, 就可以近似地把圆分成 $n$ 个等分, 依次连结各分点就可以得到所求的圆内接正 $n$ 边形. 实际上, 用这种方法作图也就可以了.

## 传统的尺规作图做圆的正多边形

> 尺规作图来自欧几里得的思想，即只用直尺和圆规能否做出所需要的图形。**注意：默认尺规作图的尺子没有刻度**，核心是为了保证纯几何逻辑推导、回避实数与测量误差问题，并遵循古希腊 “最少假设、演绎一切” 的数学精神
直尺只保留 “画直线、连两点” 的最纯功能
圆规只保留 “画圆、定等长” 的最纯功能

`例`求作圆内接正六边形.
已知： $\odot O$ （图 4.74）。
求作： $\odot O$ 的内接正六边形。
作法
1. 作直径 $\overline{A D}$.
2. 分别以 $A 、 D$ 为圆心, 以 $\odot O$ 的半径为半径画弧, 分别交 $\odot O$ 于 $B 、 F$ 、 $C 、 E$ 四点
3. 作 $\overline{A B} 、 \overline{B C} 、 \overline{C D} 、 \overline{E F} 、 \overline{F A}$, 则 $A B C D E F$ 就是 $\odot O$ 的内接正六边形.

![图片](/uploads/2026-04/77e3e5.jpg)

证明: 由作法可知, $\overline{A B}=\overline{O A}=\overline{O B}$,

$\therefore \triangle O A B$ 是等边三角形. $\angle A O B=60^{\circ}$.
同理: $\angle C O D=60^{\circ}$,

$$
\therefore \quad \angle B O C=180^{\circ}-\angle A O B-\angle C O D=60^{\circ} .
$$

同理: $\angle E O F=\angle D O E=\angle A O F=60^{\circ}$,
$\therefore \overline{A B}=\overline{B C}=\overline{C D}=\overline{D E}=\overline{E F}=\overline{E A}, A B C D E F$ 是 $\odot O$ 的内接正六边形 (本节定理).

`例` 求作圆内接正三角形.
已知： $\odot O$ （图4.75）。
求作： $\odot O$ 的内接正三角形。
作法
1. 作直径 $\overline{A D}$.
2. 以 $D$ 为圆心, 以 $\odot O$ 的半径为半径作弧交 $\odot O$ 于 $B 、 C$ 两点.
3. 作 $\overline{A B} 、 \overline{B C} 、 \overline{C A}$, 则 $\triangle A B C$ 就是 $\odot O$ 的正三角形.

![图片](/uploads/2026-04/8a4c66.jpg)

证明: 由作法可知, $\overline{B D}=\overline{O B}=\overline{O D}$,
$\therefore \triangle O B D$ 是等边三角形. $\angle B O D=60^{\circ}$.
同理: $\angle C O D=60^{\circ}$.

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \angle A O B=\angle A O C=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} . \\
\therefore & \angle A O B=\angle B O C=\angle A O C, \overparen{A B}=\overparen{B C}=\overparen{A C} \\
\therefore & \triangle A B C \text { 为 } \odot O \text { 的内接正三角形 }(\text { 本节定理) } .
\end{array}
$$

`例` 求作 $\odot O$ 的内接正方形。
已知： $\odot O$ （图4.76）。
求作： $\odot O$ 的内接正方形。
作法
1. 作直径 $\overline{A C} 、 \overline{B D}$, 使 $\overline{A C} \perp \overline{B D}$.
2. 作 $\overline{A B} 、 \overline{B C} 、 \overline{C D} 、 \overline{D A}$, 则 $A B C D$ 就是 $\odot O$ 的内接正方形.

![图片](/uploads/2026-04/d44ce3.jpg)
 
证明: $\because \quad A C$ 和 $B D$ 垂直于 $O$ 点,

$$
\therefore \quad \angle A O B=\angle B O C=\angle C O D=\angle D O A, \quad \widehat{A B}=\overparen{B C}=\widehat{C D}=\widehat{D A}
$$

$\therefore A B C D$ 为 $\odot O$ 的内接正方形 (本节定理).

**延伸**
作出了圆的内接正方形 $A C E G$ 以后，再分别作直径垂直于每一边, 就可以作出圆内接正八边形,一般只要我们作出了圆内接正 $n$ 边形, 再分别作直径垂直各边，就很容易作出圆内接正 $2 n$ 边形（图4.77）。

![图片](/uploads/2026-04/c07e30.jpg)
 
 
 ## 现代尺柜作图做出正多边形
 
如果一个正 $n$ 边形不容易或者不可能用圆规和直尺作出. 我们可用量角器近似地作出一个圆心角等于 $\frac{360^{\circ}}{n}$, 这个圆心角所对的弧就约是整个圆周的 $\frac{1}{n}$,所对的弦就约是圆内接正 $n$ 边形的一边，以这条弦为半径，从圆上一点起在圆上依次截取，就可以近似地把圆分成 $n$ 个等分，依次连结各分点就可以得到所求的圆内接正 $n$ 边形. 实际上, 用这种方法作图也就可以了.
比如，正五边形就是采用这类方法做出。

最经典的是 [正十七边形](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=657) 的做法。详见附录。
 
 
 `例` 已知正三角形 $A B C$ 的半径为 $R$ ．
求它的边长 $a_3$ 、周长 $p_3$ 和面积 $S_3$ ．
解：如图 22－22，连接 $O C$ ，过 $O$ 点作 $O G \perp B C$ 于点 $G$ ．
在 Rt $\triangle O C G$ 中，

$$
\begin{array}{ll}
\because & \angle G O C=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}, \\
\therefore & C G=R \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} R . \\
\therefore & a_3=2 C G=\sqrt{3} R . \\
\therefore & p_3=3 a_3=3 \sqrt{3} R . \\
\because & r_3=R \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} R, \\
\therefore & S_3=\frac{1}{2} r_3 \cdot C G \cdot 6=\frac{3 \sqrt{3}}{4} R^2 .
\end{array}
$$

![图片](/uploads/2025-06/1399b1.jpg)
  
$\therefore$ 这个正三角形的边长 $a_3$ 为 $\sqrt{3} R$ ，周长 $p_3$ 为 $3 \sqrt{3} R$ ，面积 $S_3$ 为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} R^2$ ．

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