最后更新: 2024-09-20 06:56 查看: 314 次反馈刷题

圆与多边形

## 圆的内接正多边形与外切正多边形
各条边相等，各个角也相等的凸多边形，叫做正多边形．正多边形按它的
边数（或角数）分为正三角形（即等边三角形），正四边形（即正方形），正五边形、正六边形……
### 定理
如果把圆分成 n 等分，那么，顺次连结各分点所得的多边形是圆的内接
正 n 边形；经过各分点作圆的切线，所组成的多边形是圆的外切正 n 边
形．

已知： $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ 为 $n$ 等分某圆周的分点, 过 $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$,作圆的切线交成 $n$ 边形 $A_1^{\prime} A_2^{\prime} A_3^{\prime} \cdots A_n^{\prime}$ (图 4.73).

求证: $n$ 边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 和 $A_1^{\prime} A_2^{\prime} A_3^{\prime} \cdots A_n^{\prime}$ 都是正多边形.
 ![图片](/uploads/2024-09/a80901.jpg)
 证明: 由于 $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ 是圆的 $n$ 个等分点,
$\therefore \widehat{A_1 A_2}=\widehat{A_2 A_3}=\cdots=\widehat{A_n A_1}, \quad \overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_3}=\cdots=\widehat{A_n A_1}$
又 $\because \angle A_1, \angle A_2, \angle A_3, \ldots, \angle A_n$ 的度数都等于 $\widehat{A_1 A_2}$ 的度数的 $(n-2)$ 倍的一半.
$\therefore \quad \angle A_1=\angle A_2=\angle A_3=\cdots=\angle A_n, A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 是正 $n$ 边形.
由于在 $\triangle A_1^{\prime} A_1 A_2, \triangle A_2^{\prime} A_2 A_3, \ldots, \triangle A_n^{\prime} A_n A_1$ 中, $\overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_3}=\cdots=$

$\overline{A_n A_1}$, 且

$$
\begin{aligned}
& \angle A_1^{\prime} A_1 A_2=\angle A_1^{\prime} A_2 A_1 \\
& =\angle A_2^{\prime} A_2 A_3=\angle A_2^{\prime} A_3 A_2 \text { (弦切角定理及其推论) } \\
& =\cdots=\angle A_n^{\prime} A_n A_1=\angle A_n^{\prime} A_1 A_n \\
& \therefore \quad \triangle A_1^{\prime} A_1 A_2 \cong \triangle A_2^{\prime} A_2 A_3 \cong \cdots \cong \triangle A_n^{\prime} A_n A_1
\end{aligned}
$$

因此:

$$
\begin{aligned}
& \angle A_1^{\prime}=\angle A_2^{\prime}=\angle A_3^{\prime}=\cdots=\angle A_n^{\prime} \\
& \overline{A_1^{\prime} A_2^{\prime}}=\overline{A_2^{\prime} A_3^{\prime}}=\cdots=\overline{A_n^{\prime} A_1^{\prime}}
\end{aligned}
$$

$\therefore \quad A_1^{\prime} A_2^{\prime} A_3^{\prime} \cdots A_n^{\prime}$ 是正多边形。
根据上述定理，我们只要把圆 $n$ 等分就可作出圆的内接正 $n$ 边形了，但能否只用直尺圆规将一个圆 $n$ 等分呢? 这个问题并不简单, 事实上有的是不可能的.

如果一个正 $n$ 边形不容易或者不可能用圆规和直尺作出. 我们可用量角器近似地作出一个圆心角等于 $\frac{360^{\circ}}{n}$, 这个圆心角所对的弧就约是整个圆周的 $\frac{1}{n}$,所对的弦就约是圆内接正 $n$ 边形的一边, 以这条弦为半径, 从圆上一点起在圆上依次截取, 就可以近似地把圆分成 $n$ 个等分, 依次连结各分点就可以得到所求的圆内接正 $n$ 边形. 实际上, 用这种方法作图也就可以了.

## 正多边形的外接圆和内切圆
我们已经知道, 一个多边形并不一定有外接圆和内切圆. 现在要问, 是否每一个正多边形都有外接圆和内切圆呢?

定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆, 这两个圆是同心圆.

已知： $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 是正多边形（图4.78）.
求证：它有外接圆和内切圆，且二圆同心。
 ![图片](/uploads/2024-09/3f2eec.jpg)
 证明: 首先, 过 $A_n, A_1, A_2$ 三点作一圆 $\odot O$, 再分别作 $\overline{O A_n}, \overline{O A_1}, \overline{O A_2}, \overline{O A_3}, \ldots$.显然, $\triangle D A_n A_1$ 和 $\triangle O A_1 A_2$ 都是全等的等腰三角形（SSS）.
$\therefore A_1 O$ 是 $\angle A_n A_1 A_2$ 的平分线.
又 $\because \angle A_n A_1 A_2=\angle A_1 A_2 A_3$,
$\therefore \quad \angle O A_2 A_1=\angle O A_1 A_2=\frac{1}{2} \angle A_n A_1 A_2=\frac{1}{2} \angle A_1 A_2 A_3$,
因此: $A_2 O$ 是 $\angle A_1 A_2 A_3$ 的平分角线, $\angle O A_2 A_1=\angle O A_2 A_3$,
又 $\because \overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_3}, \overline{O A_2}=\overline{O A_2}$,
$\therefore \quad \triangle O A_1 A_2 \cong \triangle O A_2 A_3(\mathrm{SAS}), \overline{O A_2}=\overline{O A_3}$
这就是说 $A_3$ 在所作的 $\odot O$ 上. 循此下去, 同样可证明正多边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$的其它各顶点也在 $\odot O$ 上.

其次, 有了外接圆 $\odot O$, 圆心 $O$ 到各边的距离便彼此相等, 这就是说, 以 $O$ 为圆心， $O$ 到一边的距离为半径必可作一圆和各边都相切，此圆即是正多边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 的内切圆（图4.78）.

正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心；外接圆的半径, 叫做正多边形的半径; 内切圆的半径, 叫做正多边形的边心距; 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角, 叫做正多边形的中心角.

如图 4.79, $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 是正 $n$ 边形, $\odot(O, r)$ 是它的外接圆, $\odot\left(O, d_n\right)$是它的内切圆, $O$ 为它的中心, $r$ 是它的半径, $d_n$ 是它的边心距. 设正 $n$ 边形的边长为 $a_n$, 半径长为 $r$, 边心距为 $d_n$, 这三者有下面的勾股关系.

$$
r^2=d_n^2+\left(\frac{a_n}{2}\right)^2
$$

由于边数相同的正多边形的对应角都相等; 正多边形的各边相等, 所以边数相同的正多边形的对应边成比例. 因此, 我们可得下面的定理.
 ![图片](/uploads/2024-09/8c5320.jpg)
 
 ### 定理 
 边数相同的正多边形都是相似形．
 
 例 4.28 正多边形的面积, 等于它的周长和边心距乘积的一半.
已知：正多边形的面积 $S$ ，周长是 $p$ ，边心距是 $d$.
求证: $S=\frac{1}{2} p d$
证明：如图 4.80，设 $\overline{A B}$ 是正 $n$ 边形的一边， $O$ 是这个正多边形外接圆圆心，那么

![图片](/uploads/2024-09/849e08.jpg)
 
$$
\begin{array}{ll}
\qquad \triangle O A B \text { 的面积 }=\frac{1}{2} d \times \overline{A B} \\
\therefore & S=\triangle O A B \text { 的面积 } \times n=\frac{1}{2} d \times \overline{A B} \times n \\
\because & \overline{A B} \times n=p \\
\therefore & S=\frac{1}{2} p d .
\end{array}
$$

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