最后更新: 2025-03-20 08:02 查看: 237 次反馈同步训练

集合的交集与并集

## 集合及其运算

集合是现代数学最基本的概念，它的严格定义只能由集合论公理系统给出，但在本课程范围内，只需要对集合有一个朴素的认识，即把集合看成是由一些确定的不同事物（或抽象的对象）组成的整体就够了。这些对象称为集合的元素，一般用大写字母 $A, B, C, \cdots, X, Y, Z$ 表示集合，而用小写字母 $a, b, c, \cdots, x, y, z$ 表示元素．$a$ 是集合 $A$ 的元素记作 $a \in A$ ，读作 $a$ 属于 $A ; ~ a$ 不是集合 $A$ 的元素记作 $a \notin A$ ，读作 $a$ 不属于 $A$ 。元素与集合是不同层次的数学对象，它们之间只有属于和不属于这两种关系，二者必居其一。对于一些特殊的集合，如整数集，自然数集，正整数集，有理数集和实数集，分別用专门的记号（大写正粗体字母） $Z , N$ ， $N _{+}, Q$ 和 $R$ 表示，其中 $N _{+}$为自然数集 $N$ 中除去 0 的集。集合的表示一般有两种方法，一种是把它的元素全部列举出来，例如，

$$
\begin{gathered}
A=\{1,2,3\} \\
B=\{1,3,5, \cdots, 2 k-1, \cdots\},
\end{gathered}
$$

前者是由三个数 $1,2,3$ 组成的集合，后者是由全部正奇数组成的集合；另一种是用元素所满足的某种性质来刻画，例如，用 $p(x)$ 表示关于 $x$ 的一个命题或条件，则

$$
\{x \mid p(x)\}
$$

就表示全部使得 $p(x)$ 成立的 $x$ 组成的集合，例如，

$$
C=\left\{(x, y) \mid x, y \in R , x^2+y^2<1\right\},
$$

$$
D=\left\{p \in N _{+} \mid p<10^{10}, p \text { 为素数 }\right\},
$$

$C$ 就表示平面上的单位圆盘（不带圆周），$D$ 则表示小于 $10^{10}$ 的所有素数组成的集合．

若 $A, B$ 是两个集合，而 $A$ 的元素必定是 $B$ 的元素，则记作 $A \subset B$ 或 $B \supset A$ ，读作 $B$ 包含 $A$ 或 $A$ 包含于 $B$ 。我们引入两个逻辑符号，$\forall$ 表示＂对任意的＂，$\exists$ 表示 ＂存在＂，这样，用符号来写就是，$A \subset B: \forall x \in A$ 有 $x \in B$ ．这时也称 $A$ 是 $B$ 的子集．若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$ ，则称集合 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A=B$ ，相等的集合由相同的元素组成．若 $A \subset B$ 且 $A \neq B$（ $A$ 与 $B$ 不相等），则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记为 $A \varsubsetneqq B$ ．

有一个最特殊的集合就是不含任何元素的集合，称为空集，记为 $\varnothing$ ，它是为了叙述和运算的方便而引进的．还规定空集是任何集合的子集，因此可以写

$$
\varnothing=\left\{x \in R \mid x^2+1=0\right\}=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2+1=0\right\} \subset R ^3
$$

下面介绍集合的运算．

定义 1.1 对于给定的集合 $A$ 与 $B$ ，由所有属于 $A$或者 $B$ 的元素组成的集合 $\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$ 称为 $A$与 $B$ 的并集，记为 $A \cup B$（图 1．1）．若 $\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in 1}$ 为一集族 （以集合为元素的集合称为集族，$\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 即 $\left\{A_\alpha \mid \alpha \in\right.$ $I\}$ ，这里 $A_\alpha$ 是指标 $\alpha$ 所对应的集合，而 $\alpha$ 可以是集合 $I$的任意元素，$I$ 称为指标集），则它们的并集为

$$
\bigcup_{\alpha=1} A_\alpha=\left\{x \mid \exists \alpha \in I \text { 使得 } x \in A_\alpha\right\} \text {. }
$$

![图片](/uploads/2025-01/091f43.jpg)
 
 
 
 定义 1.2 对于集合 $A$ 与 $B$ ，由所有既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素组成的集合称为它们的交集，记为 $A \cap B$（图1．2）；集族 $\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 的交为

$$
\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha=\left\{x \mid \text { 对于任意 } \alpha \in I \text { 有 } x \in A_\alpha\right\} \text {. }
$$

若 $A \cap B=\varnothing$ ，称 $A$ 与 $B$ 为不相交的．若对于集族

$\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 中的任意两个集合 $A_\alpha$ 与 $A_\beta(\alpha, \beta \in I$ 且 $\alpha \neq \beta)$都有 $A_\alpha \cap A_\beta=\varnothing$ ，则 $\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 称为两两不相交或互不相交的．由定义可见，一些集合的并集是由它们的一切元素合在一起组成的集合，交集则是由它们的公共元素组成的集合．
  
   ![图片](/uploads/2025-01/869116.jpg)

`例`
$$
\begin{aligned}
& \left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2 \neq 0\right\} \\
= & \left\{(x, y) \in R ^2 \mid x \neq 0,-\infty<y<+\infty\right\} \cup\left\{(x, y) \in R ^2 \mid-\infty<x<\right.
\end{aligned}
$$

$$
+\infty, y \neq 0\}
$$

证明等式两边的集合相等，按定义只要证明左边的集合包含于右边的集合，同时右边的集合也包含于左边的集合．请读者自己把证明写出来．这个例子写出来似乎很复杂，其实意思是很简单的．左边的集合表示全平面去掉一个原点；右边的第一个集合表示全平面去掉 $y$ 轴，第二个集合表示全平面去掉 $x$ 轴，这两个集合合并起来，自然就是全平面去掉一个原点，即等于左边的集合了．

`例`  设 $f$ 是定义于 $R$ 上的实值函数，则

$$
\begin{aligned}
& \bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant k\}=\{x \mid f(x) \in R \}= R \\
& \bigcap_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant 1 / k\}=\{x \mid f(x)=0\}
\end{aligned}
$$

－证明 先证明前一式．因为对于任意自然

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【高中数学】集合(高中)【数学分析】集合论中的术语与集合运算【数学分析】集合【高等数学】集合的概念

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