最后更新: 2025-11-08 09:20 查看: 301 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

集合的定义与运算(交集/并集/差集/余集)

## 集合的定义

### 集合与元素
集合是现代数学最基本的概念，它的严格定义只能由集合论公理系统给出，但在本课程范围内，只需要对集合有一个朴素的认识，即**把集合看成是由一些确定的不同事物（或抽象的对象）组成的整体就够了**。这些对象称为集合的**元素**，一般用大写字母 $A, B, C, \cdots, X, Y, Z$ 表示集合，而用小写字母 $a, b, c, \cdots, x, y, z$ 表示元素．

$a$ 是集合 $A$ 的元素记作 $a \in A$ ，读作 $a$ 属于 $A ; ~ a$ 不是集合 $A$ 的元素记作 $a \notin A$ ，读作 $a$ 不属于 $A$ 。元素与集合是不同层次的数学对象，它们之间只有属于和不属于这两种关系，二者必居其一。

对于一些特殊的集合，如整数集，自然数集，正整数集，有理数集和实数集，分別用专门的记号（大写正粗体字母） $Z , N$ ， $N _{+}, Q$ 和 $R$ 表示，其中 $N _{+}$为自然数集 $N$ 中除去 0 的集。集合的表示一般有两种方法，一种是把它的元素全部列举出来，例如，

$$
\begin{array}{l}
& A=\{1,2,3\} \\
& B=\{1,3,5, \cdots, 2 k-1, \cdots\},
\end{array}
$$

前者是由三个数 $1,2,3$ 组成的集合，后者是由全部正奇数组成的集合；

另一种是用元素所满足的某种性质来刻画，例如，用 $p(x)$ 表示关于 $x$ 的一个命题或条件，则

$$
\{x \mid p(x)\}
$$

就表示全部使得 $p(x)$ 成立的 $x$ 组成的集合，例如，

$$
C=\left\{(x, y) \mid x, y \in R , x^2+y^2<1\right\},
$$

$$
D=\left\{p \in N _{+} \mid p<10^{10}, p \text { 为素数 }\right\},
$$

$C$ 就表示平面上的单位圆盘（不带圆周），$D$ 则表示小于 $10^{10}$ 的所有素数组成的集合．

> 注意：＂全体高个子＂并不构成一个集合．因为一个人究竟算不算＂高个子＂并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合．

为表达方便起见，空集 $\varnothing$ 表示不含任何元素的空集，例如 
 $\{x: \sin x>1\}=\varnothing$
 
 
设 $f(x)$ 是定义在 $E$ 上的函数，记 $f(E)=\{f(x): x \in E\}$ ，称之为 $f$ 的**值域**．

想象你站在镜子面前，镜子里出现了你的像，镜子相当于一个函数，把你映射到了镜子里。因此，对于传统的函数$y=f(x)$,我们称呼$y$是**像**，而称呼$x$是**原像**。

### 集合与集合

若 $A, B$ 是两个集合，而 $A$ 的元素必定是 $B$ 的元素，则记作 $A \subset B$ 或 $B \supset A$ ，我们称呼$A$是 $B$的**子集**，读作 $B$ 包含 $A$ 或 $A$ 包含于 $B$。 如果  $A \subset B$ 但 $A$ 并不与 $B$ 相同，则称 $A$ 是 $B$ 的**真子集**．

`例` 若 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上定义，且在 $[a, b]$ 上有上界 $M$ ，即任意对 $x \in[a, b]$ 有 $f(x) \leqslant M$ ．用集合语言表示为：$[a, b] \subset\{x: f(x) \leqslant M\}$

用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请再看下例。

`例` 若 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，任意取定 $x_0 \in \mathbf{R}$ ，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得对任意 $x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 有 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ，即

$$
f\left(\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)\right) \subset\left(f\left(x_0\right)-\varepsilon, f\left(x_0\right)+\varepsilon\right) .
$$

若集合 $A$ 和 $B$ 满足关系：$A \subset B$ 且 $B \subset A$ ，则称 $A$ 和 $B$ **相等**，记为 $A=B$ ．

`例` 设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上定义，且在 $\mathbf{R}$ 上有上界 $M$ ，则

$$
\mathbf{A}=\{x: f(x) \leqslant M\}=\{x: f(x) \leqslant M+1\} .
$$

`例` 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则由连续函数的性质， $f([a, b])=[m, M]$ ，其中

$$
m=\min \{f(x): x \in[a, b]\}, \quad M=\max \{f(x): x \in[a, b]\} .
$$

上例的意思是对于连续函数，$x$的取值范围是$[a,b]$，而函数的最小值是$m$,函数的最大值是$M$,则$f(x)$的取值范围就是$[m,M]$，切换到实变函数的语言就是 $f([a, b])=[m, M]$

### 对任意的与存在的
我们引入两个逻辑符号，$\forall$ 表示＂对任意的＂，$\exists$ 表示 ＂存在＂，这样，用符号来写就是，$A \subset B: \forall x \in A$ 有 $x \in B$ ．这时也称 $A$ 是 $B$ 的子集．若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$ ，则称集合 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A=B$ ，相等的集合由相同的元素组成．若 $A \subset B$ 且 $A \neq B$（ $A$ 与 $B$ 不相等），则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记为 $A \varsubsetneqq B$ ．

> $\forall$ 是英语单词$All$的首字母倒过来写，而 $\exists$ 是 英语单词 Exists 首字母反过来写

有一个最特殊的集合就是不含任何元素的集合，称为空集，记为 $\varnothing$ ，它是为了叙述和运算的方便而引进的．还规定空集是任何集合的子集，因此可以写

$$
\varnothing=\left\{x \in R \mid x^2+1=0\right\}=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2+1=0\right\} \subset R ^3
$$

## 集合的运算

### 并集
**定义1.1** 对于给定的集合 $A$ 与 $B$ ，由所有属于 $A$或者 $B$ 的元素组成的集合 $\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$ 称为 $A$与 $B$ 的**并集**，记为 $A \cup B$（图 1．1）．

![图片](/uploads/2025-11/60d6be.jpg){width=300px}
 
我们定义以集合为元素的集合称为**集族**，通俗的说，就是**集合的集合**。

$\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 即 $\left\{A_\alpha \mid \alpha \in\right.$ $I\}$ ，这里 $A_\alpha$ 是指标 $\alpha$ 所对应的集合，而 $\alpha$ 可以是集合 $I$的任意元素，$I$ 称为指标集。

若 $\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in 1}$ 为一集族 ，则它们的并集为

$$
\bigcup_{\alpha=1} A_\alpha=\left\{x \mid \exists \alpha \in I \text { 使得 } x \in A_\alpha\right\} \text {. }
$$

注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的元素在作并运算时只能算一次．

习惯上，当 $I=\{1,2, \cdots, k\}$ 为有限集时，$A=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$ 写成 $A=\bigcup_{n=1}^k A_n$ ，而 $A=\bigcup_{n \in \mathrm{~N}} A_n$ 写成 $A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$ ．

`例` 证明 $(a, b)=\bigcup_{n=1}^{\inf

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【高等数学】集合的概念【高中数学】集合(高中)【数学分析】集合论中的术语与集合运算【数学分析】集合

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