最后更新: 2025-11-08 09:20 查看: 460 次纠错评论(0) 课件开VIP

集合的定义与运算(交集/并集/差集/余集)

## 集合的定义

### 集合与元素
集合是现代数学最基本的概念，它的严格定义只能由集合论公理系统给出，但在本课程范围内，只需要对集合有一个朴素的认识，即**把集合看成是由一些确定的不同事物（或抽象的对象）组成的整体就够了**。这些对象称为集合的**元素**，一般用大写字母 $A, B, C, \cdots, X, Y, Z$ 表示集合，而用小写字母 $a, b, c, \cdots, x, y, z$ 表示元素．

$a$ 是集合 $A$ 的元素记作 $a \in A$ ，读作 $a$ 属于 $A ; ~ a$ 不是集合 $A$ 的元素记作 $a \notin A$ ，读作 $a$ 不属于 $A$ 。元素与集合是不同层次的数学对象，它们之间只有属于和不属于这两种关系，二者必居其一。

对于一些特殊的集合，如整数集，自然数集，正整数集，有理数集和实数集，分別用专门的记号（大写正粗体字母） $Z , N$ ， $N _{+}, Q$ 和 $R$ 表示，其中 $N _{+}$为自然数集 $N$ 中除去 0 的集。集合的表示一般有两种方法，一种是把它的元素全部列举出来，例如，

$$
\begin{array}{l}
& A=\{1,2,3\} \\
& B=\{1,3,5, \cdots, 2 k-1, \cdots\},
\end{array}
$$

前者是由三个数 $1,2,3$ 组成的集合，后者是由全部正奇数组成的集合；

另一种是用元素所满足的某种性质来刻画，例如，用 $p(x)$ 表示关于 $x$ 的一个命题或条件，则

$$
\{x \mid p(x)\}
$$

就表示全部使得 $p(x)$ 成立的 $x$ 组成的集合，例如，

$$
C=\left\{(x, y) \mid x, y \in R , x^2+y^2<1\right\},
$$

$$
D=\left\{p \in N _{+} \mid p<10^{10}, p \text { 为素数 }\right\},
$$

$C$ 就表示平面上的单位圆盘（不带圆周），$D$ 则表示小于 $10^{10}$ 的所有素数组成的集合．

> 注意：＂全体高个子＂并不构成一个集合．因为一个人究竟算不算＂高个子＂并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合．

为表达方便起见，空集 $\varnothing$ 表示不含任何元素的空集，例如 
 $\{x: \sin x>1\}=\varnothing$
 
 
设 $f(x)$ 是定义在 $E$ 上的函数，记 $f(E)=\{f(x): x \in E\}$ ，称之为 $f$ 的**值域**．

想象你站在镜子面前，镜子里出现了你的像，镜子相当于一个函数，把你映射到了镜子里。因此，对于传统的函数$y=f(x)$,我们称呼$y$是**像**，而称呼$x$是**原像**。

### 集合与集合

若 $A, B$ 是两个集合，而 $A$ 的元素必定是 $B$ 的元素，则记作 $A \subset B$ 或 $B \supset A$ ，我们称呼$A$是 $B$的**子集**，读作 $B$ 包含 $A$ 或 $A$ 包含于 $B$。 如果  $A \subset B$ 但 $A$ 并不与 $B$ 相同，则称 $A$ 是 $B$ 的**真子集**．

`例` 若 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上定义，且在 $[a, b]$ 上有上界 $M$ ，即任意对 $x \in[a, b]$ 有 $f(x) \leqslant M$ ．用集合语言表示为：$[a, b] \subset\{x: f(x) \leqslant M\}$

用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请再看下例。

`例` 若 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，任意取定 $x_0 \in \mathbf{R}$ ，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得对任意 $x \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 有 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ，即

$$
f\left(\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)\right) \subset\left(f\left(x_0\right)-\varepsilon, f\left(x_0\right)+\varepsilon\right) .
$$

若集合 $A$ 和 $B$ 满足关系：$A \subset B$ 且 $B \subset A$ ，则称 $A$ 和 $B$ **相等**，记为 $A=B$ ．

`例` 设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上定义，且在 $\mathbf{R}$ 上有上界 $M$ ，则

$$
\mathbf{A}=\{x: f(x) \leqslant M\}=\{x: f(x) \leqslant M+1\} .
$$

`例` 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则由连续函数的性质， $f([a, b])=[m, M]$ ，其中

$$
m=\min \{f(x): x \in[a, b]\}, \quad M=\max \{f(x): x \in[a, b]\} .
$$

上例的意思是对于连续函数，$x$的取值范围是$[a,b]$，而函数的最小值是$m$,函数的最大值是$M$,则$f(x)$的取值范围就是$[m,M]$，切换到实变函数的语言就是 $f([a, b])=[m, M]$

### 对任意的与存在的
我们引入两个逻辑符号，$\forall$ 表示＂对任意的＂，$\exists$ 表示 ＂存在＂，这样，用符号来写就是，$A \subset B: \forall x \in A$ 有 $x \in B$ ．这时也称 $A$ 是 $B$ 的子集．若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$ ，则称集合 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A=B$ ，相等的集合由相同的元素组成．若 $A \subset B$ 且 $A \neq B$（ $A$ 与 $B$ 不相等），则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记为 $A \varsubsetneqq B$ ．

> $\forall$ 是英语单词$All$的首字母倒过来写，而 $\exists$ 是 英语单词 Exists 首字母反过来写

有一个最特殊的集合就是不含任何元素的集合，称为空集，记为 $\varnothing$ ，它是为了叙述和运算的方便而引进的．还规定空集是任何集合的子集，因此可以写

$$
\varnothing=\left\{x \in R \mid x^2+1=0\right\}=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2+1=0\right\} \subset R ^3
$$

## 集合的运算

### 并集
**定义1.1** 对于给定的集合 $A$ 与 $B$ ，由所有属于 $A$或者 $B$ 的元素组成的集合 $\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$ 称为 $A$与 $B$ 的**并集**，记为 $A \cup B$（图 1．1）．

![图片](/uploads/2025-11/60d6be.jpg){width=300px}
 
我们定义以集合为元素的集合称为**集族**，通俗的说，就是**集合的集合**。

$\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 即 $\left\{A_\alpha \mid \alpha \in\right.$ $I\}$ ，这里 $A_\alpha$ 是指标 $\alpha$ 所对应的集合，而 $\alpha$ 可以是集合 $I$的任意元素，$I$ 称为指标集。

若 $\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in 1}$ 为一集族 ，则它们的并集为

$$
\bigcup_{\alpha=1} A_\alpha=\left\{x \mid \exists \alpha \in I \text { 使得 } x \in A_\alpha\right\} \text {. }
$$

注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的元素在作并运算时只能算一次．

习惯上，当 $I=\{1,2, \cdots, k\}$ 为有限集时，$A=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$ 写成 $A=\bigcup_{n=1}^k A_n$ ，而 $A=\bigcup_{n \in \mathrm{~N}} A_n$ 写成 $A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$ ．

`例` 证明 $(a, b)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}\right] $

证明：要证明2个集合相等，只能按照定义，即$A \subset B$ 且$ B \subset A$,则 $A=B$

左边是开区间 $(a, b)$，不包含端点 $a$ 和 $b$。  
右边是用一列 **闭区间** 的并集来尝试表示这个开区间。

① $ \Rightarrow$ 当 $n$ 很小的时候，区间 $\left[ a + \frac{1}{n}, b - \frac{1}{n} \right]$ 可能不存在（如果左端点大于右端点）或者是靠内的一个闭区间。
 当 $n$ 增大时，$a + \frac{1}{n} \to a^+$，$b - \frac{1}{n} \to b^-$，闭区间逐渐“逼近”整个开区间 $(a,b)$。
 
 
检查端点包含情况
对于任意 $x \in (a,b)$，要证明 $x$ 属于右边某个闭区间。

因为 $x > a$，所以存在 $n_1$ 使得 $a + \frac{1}{n_1} \le x$（只要 $n_1 \ge \frac{1}{x-a}$ 取上整）。  
因为 $x < b$，所以存在 $n_2$ 使得 $x \le b - \frac{1}{n_2}$（只要 $n_2 \ge \frac{1}{b-x}$ 取上整）。

取 $n = \max(n_1, n_2)$，就有
$$
a + \frac{1}{n} \le x \le b - \frac{1}{n}.
$$
所以 $x \in \left[ a + \frac{1}{n}, b - \frac{1}{n} \right]$。

因此 $(a,b) \subset \bigcup_{n=1}^\infty [a+1/n, b-1/n]$。

② $ \Leftarrow$  右边每个闭区间 $[a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]$ 显然都包含在 $(a,b)$ 内，因为  $a+ \frac{1}{n} > a$，且 $b- \frac{1}{n} < b$。因此并集也包含在 $(a,b)$ 中。

所以两个集合相等。

> **这个等式是表明，开区间可以用一列递增的闭区间的并集来逼近**。

`例` 证明 $\mathbf{Q}_n=\left\{\frac{m}{n}: m \in \mathbf{Z}\right\}, n=1,2, \cdots$ ，则 $\mathbf{Q}=\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathbf{Q}_n$ ．

证明：题中定义：
$$
\mathbf{Q}_n = \left\{ \frac{m}{n} : m \in \mathbf{Z} \right\}, \quad n = 1, 2, \dots
$$
其中 $\mathbf{Z}$ 是整数集。

于是：
- $\mathbf{Q}_1 = \left\{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \right\} = \mathbf{Z}$（整数集）。
- $\mathbf{Q}_2 = \left\{ \dots, -\frac{3}{2}, -1, -\frac12, 0, \frac12, 1, \frac32, \dots \right\}$，即分母为 $2$ 的有理数。
- $\mathbf{Q}_3$ 是分母为 $3$ 的有理数（已约或未约？这里定义是 $\frac{m}{3}$，不要求最简分数）。
- $\mathbf{Q}_4$ 是分母为 $4$ 的有理数。

对任意 $n$，$\mathbf{Q}_n \subset \mathbf{Q}$，因为 $\frac{m}{n}$ 是有理数。
 反过来，任意有理数 $q = \frac{a}{b}$，其中 $a \in \mathbf{Z}, b \in \mathbb{Z}^+$，且可假设 $\gcd(a,b)=1$（最简分数）。那么 $q \in \mathbf{Q}_b$，因为取 $m = a$ 即得 $q = \frac{a}{b}$。  
  所以 $q \in \bigcup_{n=1}^\infty \mathbf{Q}_n$。

因此两个集合相等。

> **这个等式表明有理数集 $\mathbf{Q}$ 可以分级为无数个 $\mathbf{Q}_n$的并**
  
  
`例` 若 $\left\{I_a: \alpha \in \Lambda\right\}$ 是一族开区间，而 $[a, b] \subset \bigcup_{a \in \Lambda} I_\alpha$ ，则存在 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\right\} \subset \Lambda$ ，使得 $[a, b] \subset \bigcup_{i=1}^k I_{a_i}$（有限覆盖定理）
这个后期会介绍。

`例` 证明：若 $f(x)$ 是定义在 $E$ 上的函数，则 $\{x: f(x)>0\}= \bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{x: f(x)>\frac{1}{n}\right\}$.

证明：
(a) 右边 ⊆ 左边

取任意 $ x \in \bigcup_{n=1}^\infty \{ f(x) > \frac{1}{n} \} $，则存在某个 $ n_0 \ge 1 $ 使得 $ f(x) > \frac{1}{n_0} $。

因为 $ \frac{1}{n_0} > 0 $，所以 $ f(x) > 0 $。

因此 $ x \in \{ f(x) > 0 \} $。

于是：
$$
\bigcup_{n=1}^\infty \{ f(x) > \frac{1}{n} \} \subset \{ f(x) > 0 \}.
$$
 
(b) 左边 ⊆ 右边

取任意 $ x \in \{ f(x) > 0 \} $，则 $ f(x) > 0 $。

因为 $ \frac{1}{n} \to 0 $ 且 $ f(x) $ 是一个固定的正数，所以存在 $ N $ 使得 $ f(x) > \frac{1}{N} $（比如取 $ N > \frac{1}{f(x)} $）。

于是 $ x \in \{ f(x) > 1/N \} $，因此 $ x \in \bigcup_{n=1}^\infty \{ f(x) > \frac{1}{n} \} $。

所以：
$$
\{ f(x) > 0 \} \subset \bigcup_{n=1}^\infty \{ f(x) > 1/n \}.
$$
 
由 (a) 与 (b) 得：
$$
\{ x \in E : f(x) > 0 \} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{ x \in E : f(x) > \frac{1}{n} \right\}.
$$

**这个等式在实变函数中很重要，它把“>0”这种条件转化为可数多个“> $\frac{1}{n}$”条件的并，从而在测度论中用于证明若 $ f $ 可测，则 $\{ f > 0 \}$ 可测（因为每个 $\{ f > \frac{1}{n} \}$ 可测，可数并可测）**。
  
 同理有：
$$
 \{ f \ge a \} = \bigcap_{n=1}^\infty \{ f > a - \frac{1}{n} \}
$$
  等类似分解。
  
### 交集
 
**定义1.2** 对于集合 $A$ 与 $B$ ，由所有既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素组成的集合称为它们的**交集**，记为 $A \cap B$（图1．2）；

![图片](/uploads/2025-11/fd892b.jpg){width=300px}

集族 $\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 的交为

$$
\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha=\left\{x \mid \text { 对于任意 } \alpha \in I \text { 有 } x \in A_\alpha\right\} \text {. }
$$

若 $A \cap B=\varnothing$ ，称 $A$ 与 $B$ 为不相交的．若对于集族$\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 中的任意两个集合 $A_\alpha$ 与 $A_\beta(\alpha, \beta \in I$ 且 $\alpha \neq \beta)$都有 $A_\alpha \cap A_\beta=\varnothing$ ，则 $\left\{A_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 称为**两两不相交**或**互不相交**的．

由定义可见，一些集合的并集是由它们的一切元素合在一起组成的集合，交集则是由它们的公共元素组成的集合．

习惯上，当 $\Lambda=\{1,2, \cdots, k\}$ 为有限集时，$A=\bigcap_{\alpha \in \Lambda} A_\alpha$ 写成 $A= \bigcap_{n=1}^k A_n$ ，而 $A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$ 写成 $A=\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ ．

`例`
$$
\begin{aligned}
& \left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2 \neq 0\right\}  
=   \left\{(x, y) \in R ^2 \mid x \neq 0,-\infty<y<+\infty\right\} \cup\left\{(x, y) \in R ^2 \mid-\infty< x < +\infty, y \neq 0\}\right.
\end{aligned}
$$

证：证明等式两边的集合相等，按定义只要证明左边的集合包含于右边的集合，同时右边的集合也包含于左边的集合．请读者自己把证明写出来．这个例子写出来似乎很复杂，其实意思是很简单的．左边的集合表示全平面去掉一个原点；右边的第一个集合表示全平面去掉 $y$ 轴，第二个集合表示全平面去掉 $x$ 轴，这两个集合合并起来，自然就是全平面去掉一个原点，即等于左边的集合了．

`例`  设 $f$ 是定义于 $R$ 上的实值函数，则

$$
\begin{aligned}
& \bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant k\}=\{x \mid f(x) \in R \}= R \\
& \bigcap_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant 1 / k\}=\{x \mid f(x)=0\}
\end{aligned}
$$

**证明** 先证明前一式．因为对于任意自然数 $k$ ，

$$
\{x||f(x)| \leqslant k\} \subset\{x \mid f(x) \in R \} \quad(k=1,2, \cdots)
$$

故 $\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant k\} \subset\{x \mid f(x) \in R \}$ ．反过来，因为 $f(x)$ 取实数值，故对于任意实数 $x_0$ ，总有某个正整数 $k$ ，使得 $\left|f\left(x_0\right)\right| \leqslant k_0$ ，从而 $x_0 \in\left\{x| | f(x) \mid \leqslant k_0\right\}$ ，进而 $x_0 \in \bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant k\}$ ．即 $\{x \mid f(x) \in R \} \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant k\}$ ．因此前式两端的集合互相包含，从而等式成立．

再证明后一式．若 $x_0 \in \bigcap_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant 1 / k\}$ ，则对于任意正整数 $k$ ， $\left|f\left(x_0\right)\right| \leqslant 1 / k$ ，因而 $f\left(x_0\right)=0$ ，即 $x_0 \in\{x \mid f(x)=0\}$ ．反之若 $x_0 \in\{x \mid f(x)=0\}$ ，则 $f\left(x_0\right)=0$ ，因而对任意正整数 $k,\left|f\left(x_0\right)\right| \leqslant 1 / k$ ，这表示 $x$ 属于所有的 $\left\{x||f(x)| \leqslant 1 / k\}\right.$ ．因此 $x_0 \in \bigcap_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x) \mid \leqslant 1 / k\}$ ．合起来说明，后式两端的集合互相包含，从而它们相等．

> 本例子的第一个式子说明，任何一个实数，其绝对值总不超过一个正整数；第二个式子说明，一个数等于 0 ，当且仅当对任意的正整数 $k$ ，这个数的绝对值小于等于 $1 / k$ ．

`例` 设 $f$ 是定义在 $R$ 上的单调函数，证明它的间断点集 $J$ 可以表示成

$$
J=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\}
$$

证明 根据单调函数的间断点都是第一类的，若 $x_0$ 是 $f$ 的间断点，即 $x_0 \in J$ ，则 $|f(x+0)-f(x-0)|>0$ ，因此对很大的正整数 $k_0$ 有 $|f(x+0)-f(x-0)|>$ $1 / k_0$ ，从而 $x_0 \in \bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-) \mid>1 / k\}$ ，这说明

$$
J \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\}
$$

反过来，若
$$
x_0 \in \bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\}
$$

则有正整数 $k_0$ ，使 $\left|f\left(x_0+0\right)-f\left(x_0-0\right)\right|>1 / k_0$ ，因此更有 $\left|f\left(x_0+0\right)-f\left(x_0-0\right)\right|$ $>0$ ，即 $x_0 \in J$ ，这说明

$$
\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\} \subset J .
$$

正反两方面的证明说明，题中等式两端的集合互相包含，因而它们相等．

> 这个例子的意思很简单，它只说明两点，第一，单调函数的间断点只有第一类间断点．因此，$x_0$ 是 $f$ 的间断点，当且仅当 $\left|f\left(x_0+0\right)-f\left(x_0-0\right)\right|>0$ ．第二，一个数是正数，当且仅当存在正整数 $k$ ，使得这个数大于 $1 / k$ ．

`例` 若 $f(x)$ 是定义在 $E$ 上的函数，则 $\{x: a<f(x) \leqslant b\}= \{x: f(x)>a\} \cap\{x: f(x) \leqslant b\}$ 。

`例` 若 $\left[a_n, b_n\right] \subset\left[a_{n-1}, b_{n-1}\right], n=1,2, \cdots$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_n-a_n\right)=0$ ，则存在唯一 $a \in \mathbf{R}$ 使得 $a \in\left[a_n, b_n\right], n=1,2, \cdots$ ，即 $\{a\}= \bigcap_{n=1}^{\infty}\left[a_n, b_n\right]$（区间套定理）．

`例`若 $\left\{f_n(x)\right\}$ 是定义在 $E$ 上的一列函数，则对任意 $c \in \mathbf{R}$ ，
（1）$\left\{x: \sup f_n(x) \leqslant c\right\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x: f_n(x) \leqslant c\right\}$ ；
（2）$\left\{x: \sup f_n(x)>c\right\}=\bigcup^{\infty}\left\{x: f_n(x)>c\right\}$ ．

证明 我们只证明（1），（2）的证明类似，请读者自证．
若 $x \in\left\{x: \sup f_n(x) \leqslant c\right\}$ ，则对任意 $n, f_n(x) \leqslant \sup \left\{f_n(x)\right\} \leqslant c$ ，即 $x \in\left\{x: f_n(x) \leqslant c\right\}$ ．由 $n$ 的任意性，$x \in \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x: f_n(x) \leqslant c\right\}$ ；反之， 
若 $x \in \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x: f_n(x) \leqslant c\right\}$ ，则对任意 $n, f_n(x) \leqslant c$ ，因此 $c$ 是 $\left\{f_n(x)\right\}$ 的一个上界，于是 $\sup \left\{f_n(x)\right\} \leqslant c$ ，即 $x \in\left\{x: \sup f_n(x) \leqslant c\right\}$ ．

### 集合的差集

**定义 1.3** 对于任意集合 $A$ 与 $B$ ，集合

$$
\{x \mid x \in A, x \notin B\}
$$

称为 $A$ 与 $B$ 的差（集），记为 $A \backslash B$（图1．3）．

![图片](/uploads/2025-11/e1922c.jpg){width=300px}
 
 
 `例` 设 $f$ 是 $R ^n$ 上的实函数，令

$$
A=\{x \mid f(x) \geqslant 0\}, B=\{x \mid f(x)=0\}, C=\{x \mid f(x)<0\},
$$

则 $A \backslash B=\{x \mid f(x)>0\}, A \backslash C=A, B \backslash A=\varnothing, B \backslash C=B, C \backslash B=C \backslash A=C$ ．

### 集合余集
在有的问题中，往往所讨论的集合都是同一基本集合 $X$ 的子集，这时称 $X$为**全集**．若 $A \subset X$ ，则记 $X \backslash A$ 为 $A^c$ ，称它为 $A$ 对于 $X$ 的**余集**（或**补集**）．求集合的余集其实是特殊的求差运算．

![图片](/uploads/2025-11/239428.jpg){width=200px}

例如实变函数的定义域都是 $R ^n$ 的子集，因此，若某函数的定义域为 $E$ ，则 $E \subset R ^n$ ，而 $E^c$ 即指 $R ^n \backslash E$ ．

`例` 例 $ \mathbf{Q}^c=\{x: x$ 是无理数 $\}$ ．
解析：因为实数分为有理数和无理数，用$Q$表示有理数，那么 $\mathbf{Q}^c$ 就是无理数。

`例` 若 $f(x)$ 定义在集合 $E$ 上，$S=E$ ，则

$$
\{x: f(x)>a\}^c=\{x: f(x) \leqslant a\} .
$$

## 本节总结
集合的概念在高中就接触过，但是高中接触的有限的集合，在本节里，对集合进行了扩展，集合元素从有限个扩展到无限个。

其他版本
【高中数学】集合(高中)【数学分析】集合【数学分析】集合论中的术语与集合运算【高等数学】集合的概念

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