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集合运算的性质与德摩根率 De Morgan

## 集合的基本性质
**定理 1.1** 集合的交与并满足下列运算规律：
（i）交换律 $A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A$ ；
（ii）结合律 $A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C$ ，   $A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C $

（iii）分配律 $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ ， $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) .$

这些运算规律还可以推广到任意有限或无限个集合的情形．例如，对于集合 $A$ 和集族 $\left\{B_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 有

$$
A \cap\left(\bigcup_{\alpha \in I} B_\alpha\right)=\bigcup_{\alpha \in I}\left(A \cap B_\alpha\right), \quad A \cup\left(\bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha\right)=\bigcap_{\alpha \in I}\left(A \cup B_\alpha\right) .
$$

`例` 证明  $A \cap\left(\cup_{a \in \Lambda} B_a\right)=\cup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right)$ ．

证：先设 $x \in A \cap\left(\cup_{a \in \Lambda} B_a\right)$ ，则 $x \in A$ 且有 $\alpha_0 \in \Lambda$ ，使 $x \in B_{a_0}$ ．于是

$$
x \in A \cap B_{a_0} \subset \bigcup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right),
$$

这证明了

$$
A \cap\left(\bigcup_{a \in \Lambda} B_a\right) \subset \bigcup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right) .
$$

再证反过来的包含关系．设 $x \in \bigcup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right)$ ，则有 $\alpha_0 \in \Lambda$ ，使 $x \in A \cap B_{a_0}$ ，此即 $x \in A, x \in B_{a_0}$ ，当然更有 $x \in \bigcup_{a \in \Lambda} B_a$ ．因此 $x \in A \cap\left(\bigcup_{a \in \Lambda} B_a\right)$ ．于是 $\quad \bigcup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right) \subset A \cap\left(\bigcup_{a \in \Lambda} B_a\right)$ ．

综合起来，便得等式成立．

## 集合差与余的性质
下面是集合的差与余的一些基本运算规律。
**定理1.2** 设 $A, B$ 都是全集 $X$ 的子集，则
（i）$A \backslash B=A \cap B^c$ ；
（ii）$(A \backslash B) \cap C=A \cap(C \backslash B)$ ；
（iii）若 $A \supset B$ ，则 $A^c \subset B^c$ ；
（iv）若 $A \cap B=\varnothing$ ，则 $B \subset A^c$ ；
（v）$\left(A^c\right)^c=A$ ．

## 德摩根率
下一个定理说明，求集合的余时，交与并这两种运算在某种意义下有对偶性，因此又称为对**偶性定理**，它在化简集合的

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【数学分析】集合论中的术语与集合运算

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