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集合运算的性质与De Morgan 法则

定理1．1 集合的交与并满足下列运算规律：
（i）交换律

$$
A \cup B=B \cup A, \quad A \cap B=B \cap A ;
$$

（ii）结合律

$$
\begin{aligned}
& A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C \\
& A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C
\end{aligned}
$$

（iii）分配律

$$
\begin{aligned}
& A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C), \\
& A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) .
\end{aligned}
$$

这些运算规律还可以推广到任意有限或无限个集合的情形．例如，对于集合 $A$ 和集族 $\left\{B_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 有

$$
A \cap\left(\bigcup_{\alpha \in I} B_\alpha\right)=\bigcup_{\alpha \in I}\left(A \cap B_\alpha\right), \quad A \cup\left(\bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha\right)=\bigcap_{\alpha \in I}\left(A \cup B_\alpha\right)
$$

它们与数的运算规律很相似，可在应用中熟悉它们，证明留给读者．

下面是集合的差与余的一些基本运算规律，证明留给读者．
定理1．2 设 $A, B$ 都是全集 $X$ 的子集，则
（i）$A \backslash B=A \cap B^c$ ；
（ii）$(A \backslash B) \cap C=A \cap(C \backslash B)$ ；
（iii）若 $A \supset B$ ，则 $A^c \subset B^c$ ；
（iv）若 $A \cap B=\varnothing$ ，则 $B \subset A^c$ ；
（v）$\left(A^c\right)^c=A$ ．
下一个定理说明，求集合的余时，交与并这两种运算在某种意义下有对偶性，因此又称为对偶性定理，它在化简集合的运算方面很有用．

定理 1．3（De Morgan 法则）任意个集合的并的余集，等于它们每一个集合的余的交集；任意个集合的交的余集，等于它们每一个集合的余的并集，即

$$
\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c ; \quad\left(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha^c
$$

证明 仍然是证明等式左端和右端的两个集合互相包含．先证明前一个等式。

若 $x \in\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c$ ，则 $x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$ ．因此对任意 $\alpha \in I$ ，有 $x \notin A_\alpha$ ，从而对任意 $\alpha \in I, x \in A_\alpha^c$ ，而这就是说 $x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c$ ．于是，$\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c \subset \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c$ ．反过来，若 $x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^e$ ，则对任意 $\alpha \in I, x \in A_\alpha^e$ ，故 $x \notin A_\alpha$（对任意 $\alpha \in I$ ），因而 $x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$ ，于是 $x \in\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c$ ，这就是说 $\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c \subset\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c$ ．正反两方面的证明合起来说明第一个式子成立。

第二个式子的证明留给读者作为练习．

例 5 利用德摩根（De Morgan）法则重新证明例 3.
证明 由于 $f$ 是实值函数，故

$$
\begin{aligned}
\{x|1 f(x+0)-f(x-0)|>0\} & =\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid=0\}^c, \\
\{x||f(x+0)-f(x-0)| \leqslant 1 / k\} & =\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\}^c,
\end{aligned}
$$

从而由 De Morgan 法则，

$$
\begin{aligned}
J & =\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid=0\}^c \\
& =\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid \leqslant 1 / k\}\right)^c \\
& =\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid \leqslant 1 / k\}^c \\
& =\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\} .
\end{aligned}
$$

下面引进集列的极限概念，读者可以把它与数列（特别是单调数列）的极限进行类比，会有助于理解和掌握。

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