最后更新: 2025-11-08 09:30 查看: 256 次纠错评论(0) 课件开VIP

集合运算的性质与德摩根率 De Morgan

## 集合的基本性质
**定理 1.1** 集合的交与并满足下列运算规律：
（i）交换律 $A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A$ ；
（ii）结合律 $A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C$ ，   $A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C $

（iii）分配律 $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ ， $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) .$

这些运算规律还可以推广到任意有限或无限个集合的情形．例如，对于集合 $A$ 和集族 $\left\{B_\alpha\right\}_{\alpha \in I}$ 有

$$
A \cap\left(\bigcup_{\alpha \in I} B_\alpha\right)=\bigcup_{\alpha \in I}\left(A \cap B_\alpha\right), \quad A \cup\left(\bigcap_{\alpha \in I} B_\alpha\right)=\bigcap_{\alpha \in I}\left(A \cup B_\alpha\right) .
$$

`例` 证明  $A \cap\left(\cup_{a \in \Lambda} B_a\right)=\cup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right)$ ．

证：先设 $x \in A \cap\left(\cup_{a \in \Lambda} B_a\right)$ ，则 $x \in A$ 且有 $\alpha_0 \in \Lambda$ ，使 $x \in B_{a_0}$ ．于是

$$
x \in A \cap B_{a_0} \subset \bigcup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right),
$$

这证明了

$$
A \cap\left(\bigcup_{a \in \Lambda} B_a\right) \subset \bigcup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right) .
$$

再证反过来的包含关系．设 $x \in \bigcup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right)$ ，则有 $\alpha_0 \in \Lambda$ ，使 $x \in A \cap B_{a_0}$ ，此即 $x \in A, x \in B_{a_0}$ ，当然更有 $x \in \bigcup_{a \in \Lambda} B_a$ ．因此 $x \in A \cap\left(\bigcup_{a \in \Lambda} B_a\right)$ ．于是 $\quad \bigcup_{a \in \Lambda}\left(A \cap B_a\right) \subset A \cap\left(\bigcup_{a \in \Lambda} B_a\right)$ ．

综合起来，便得等式成立．

## 集合差与余的性质
下面是集合的差与余的一些基本运算规律。
**定理1.2** 设 $A, B$ 都是全集 $X$ 的子集，则
（i）$A \backslash B=A \cap B^c$ ；
（ii）$(A \backslash B) \cap C=A \cap(C \backslash B)$ ；
（iii）若 $A \supset B$ ，则 $A^c \subset B^c$ ；
（iv）若 $A \cap B=\varnothing$ ，则 $B \subset A^c$ ；
（v）$\left(A^c\right)^c=A$ ．

## 德摩根率
下一个定理说明，求集合的余时，交与并这两种运算在某种意义下有对偶性，因此又称为对**偶性定理**，它在化简集合的运算方面很有用．

**定理 1.3（De Morgan 法则）**  任意个集合的并的余集，等于它们每一个集合的余的交集；任意个集合的交的余集，等于它们每一个集合的余的并集，即

$$
\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c ; \quad\left(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha^c
$$

证明 仍然是证明等式左端和右端的两个集合互相包含．先证明前一个等式。

若 $x \in\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c$ ，则 $x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$ ．因此对任意 $\alpha \in I$ ，有 $x \notin A_\alpha$ ，从而对任意 $\alpha \in I, x \in A_\alpha^c$ ，而这就是说 $x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c$ ．于是，$\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c \subset \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c$ ．反过来，若 $x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^e$ ，则对任意 $\alpha \in I, x \in A_\alpha^e$ ，故 $x \notin A_\alpha$（对任意 $\alpha \in I$ ），因而 $x \notin \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$ ，于是 $x \in\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c$ ，这就是说 $\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c \subset\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c$ ．正反两方面的证明合起来说明第一个式子成立。

第二个式子的证明留给读者作为练习．

### 集合证明视频

> 对于初学集合的同学来说，证明题是一个难题，感觉无处下手，例如如何证明两个集合相等？
给定两个集合$A$与$B$，要证明他们相等唯一的工具就是定义。也就是证明 $A \subset  B$ 且 $$B \subset  A$ 那么此时，$A=B$，

下面的视频介绍了如何证明德摩根定律。视频来源 [ModuliSpace](https://www.bilibili.com/video/BV1o7411N7qx/)

`例`利用德摩根（De Morgan）证明： 设 $f$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的单调函数，证明它的间断点集 $J$ 可以表示成

$$
J=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\} .
$$

证明 由于 $f$ 是实值函数，故

$$
\begin{aligned}
\{x| | f(x+0)-f(x-0)|>0\} & =\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid=0\}^c, \\
\{x||f(x+0)-f(x-0)| \leqslant 1 / k\} & =\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\}^c,
\end{aligned}
$$

从而由 De Morgan 法则，

$$
\begin{aligned}
J & =\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid=0\}^c \\
& =\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid \leqslant 1 / k\}\right)^c \\
& =\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid \leqslant 1 / k\}^c \\
& =\bigcup_{k=1}^{\infty}\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid>1 / k\} .
\end{aligned}
$$

`例`   设 $\left\{f_n(x)\right\}$ 是定义在 $E$ 上的函数列．若 $x \in E$ ，则 $\left\{f_n(x)\right\}$ 有界的充要条件是存在 $M>0$ ，使得任意 $n,\left|f_n(x)\right| \leqslant M$ ．注意到与＂存在＂相对应的是并集运算，与＂任意＂相对应的是交集运算，从而

$$
\left\{x:\left\{f_n(x)\right\} \text { 有界 }\right\}=\bigcup_{M \in \mathbf{R}^{+}} \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x:\left|f_n(x)\right| \leqslant M\right\} \text {. }
$$

用德摩根公式，有
$$
\begin{aligned}
\left\{x:\left\{f_n(x)\right\} \text { 无界 }\right\} & =\left\{x:\left\{f_n(x)\right\} \text { 有界 }\right\}^c \\
& =\bigcap_{M \in \mathbf{R}^{+n}} \bigcup_{=1}^{\infty}\left\{x:\left|f_n(x)\right|>M\right\},
\end{aligned}
$$

其中 $\mathbf{R}^{+}$为正实数集．
数学分析中的很多定义、命题涉及＂任意＂和＂存在＂这两个逻辑量词，它们的否定说法是把＂任意＂改为＂存在＂，而把＂存在＂改为 ＂任意＂．在集合论中，德摩根公式很好地反映了数学分析中这种论述的合理性．

请读者注意：我们怎样把描写函数列性质的 $\varepsilon-N$ 语言，转换为集合语言。

`例`  设 $\left\{f_n(x)\right\}$ 是定义在 $E$ 上的函数列，若 $x$ 是使 $\left\{f_n(x)\right\}$ 收敛于 0 的点，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}$ ，使得对任意 $n \geqslant N,\left|f_n(x)\right|<\varepsilon$ ，即

$$
\left\{x: \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0\right\}=\bigcap_{\in \mathbf{R}^{+}} \bigcup_{N=1}^{\infty} \bigcap_{n=N}^{\infty}\left\{x:\left|f_n(x)\right|<\varepsilon\right\} .
$$

用德摩根公式

$$
\left\{x: \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x) \neq 0 \text { 或不存在 }\right\}=\bigcup_{\varepsilon \in \mathbf{R}} \bigcap_{N=1}^{\infty} \bigcup_{n=N}^{\infty}\left\{x:\left|f_n(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\} \text {. }
$$

三重的＂交＂、＂并＂运算，在以后各章会多次出现．

## 通俗理解De Morgan定律

集合论中的De Morgan定律

• **第一条定律**：不在 $A$ 和 $B$ 同时中的元素，等于不在 $A$ 中的元素或不在 $B$ 中的元素。
  
  例如：
  • 如果 $A$ 是“喜欢苹果的人”，$B$ 是“喜欢香蕉的人”，那么 $(A \cap B)^c$ 表示“不喜欢苹果或者不喜欢香蕉的人”。

• **第二条定律**：不在 $A$ 或 $B$ 中的元素，等于既不在 $A$ 中也不在 $B$ 中的元素。
  
  例如：
  • $(A \cup B)^c$ 表示“既不喜欢苹果也不喜欢香蕉的人”。
  
  
  1．第一定律

$$
\complement(A \cap B)=(\complement A) \cup(\complement B)
$$

含义：$A$ 和 $B$ 交集的补集等于 $A$ 的补集与 $B$ 的补集的并集。即＂不在 $A$ 和 $B$ 都包含的元素集合＂等于＂不在 $A$ 或不在 $B$ 的元素集合＂。

2．第二定律

$$
\complement(A \cup B)=(\complement A) \cap(\complement B)
$$

含义：$A$ 和 $B$ 并集的补集等于 $A$ 的补集与 $B$ 的补集的交集。即＂不在 $A$ 或 $B$ 中任何一个的元素集合＂等于＂既不在 $A$ 也不在 $B$的元素集合＂。

其他版本
【数学分析】集合论中的术语与集合运算

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