最后更新: 2025-11-08 09:35 查看: 100 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

上极限集与下极限集

## 上极限集与下极限集

下面引进集列的极限概念，读者可以把它与数列（特别是单调数列）的极限进行类比，会有助于理解和掌握。

**定义 1.4** 若集合列 $\left\{A_k\right\}$ 满足

$$
A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_k \subset \cdots
$$

则称为**渐张集列**，若它满足

$$
A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_k \supset \cdots,
$$

则称为**渐缩集列**．

> **其实把 $\subset$ 看成 $ < $，把$ \supset $，看成 $ > $ 更容易理解与记忆。**

渐张集列与渐缩集列统称为**单调集列**．

若 $\left\{A_k\right\}$ 是渐张集列，则称 $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$ 为 $\left\{A_k\right\}$ 的**极限（集）**；

若 $\left\{A_k\right\}$ 为渐缩集列，则称 $\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k$ 为 $\left\{A_k\right\}$ 的**极限（集）**；

单调集列 $\left\{A_k\right\}$ 的极限记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ ．

注意，单调集列 $\left\{A_k\right\}$ 的极限是由属于无穷多个 $A_k$ 的元素组成的，也是由属于这个集列中某一项 $A_K$ 以后的一切（即所有的 $k>K$ ）$A_k$ 的元素组成的．

`例`设 $f$ 是 $R$ 上的实值函数，若记 $A_k=\{x| | f(x) \mid<k\}$ ，则 $\left\{A_k\right\}$ 是渐张集列，于是 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k= R$ ；

若记 $B_k=\{x| | f(x) \mid<1 / k\}$ ，则 $\left\{B_k\right\}$ 是渐缩集列，于是 $\lim _{k \rightarrow \infty} B_k=\bigcap_{k=1}^{\infty} B_k=\{x \mid f(x)=0\}$ 为 $f$ 的零点集．

若 $f$ 是单调函数，记 $C_k=\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid \geqslant 1 / k\}$ ，则 $\left\{C_k\right\}$ 是渐张集列， $\lim _{k \rightarrow \infty} C_k=\bigcup_{k=1}^{\infty} C_k=J$（ $f$ 的间断点集） ．

**定义1.5** 对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ ，由所有属于无穷多个 $A_k$ 的元素组成的集合称为 $\left\{A_k\right\}$ 的**上极限集**，记为 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ；由属于某一项 $A_K$ 以后的所有 $A_k$ 的元素组成的集合称为 $\left\{A_k\right\}$ 的**下极限集**，记为 $\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k$．

当 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k$ 时，就说 $\left\{A_k\right\}$ 是**收敛**的，并将 $A=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k$ 称为 $\left\{A_k\right\}$ 的**极限**，记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ ．

上，下极限集用符号来表示就是

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\left\{x \mid \exists \text { 无穷个 } k_j \text {, 使得 } x \in A_{k_j}\right\}, \\
& \varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k=\left\{x \mid \exists K \text {, 当 } k>K \text { 时, } x \in A_k\right\} .
\end{aligned}
}
$$

由定义可见，对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ 总有 $\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k  \subset \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，但是上，下极限可能不相等．

然而若 $\left\{A_k\right\}$ 是单调集列，则必存在集 $A=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k $ ．因而，单调集列必定收敛，并且其极限与前面单独定义的相同．

`例` 设 $A_{2 k-1}=[0,2] \subset R , A_{2 k}=[1,3] \subset R \left(k \in N _{+}\right)$，可见 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=[0,3]$ ， $\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k=[1,2]$ ，故 $\left\{A_k\right\}$ 不收敛．

从下一个定理可以看出，集列的上，下极限可以用这个集列中的集合的交与并表示出来，从而它不能算作一种新的运算．

**定理1.4** 对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ 有
$$
\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k ; \quad \varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{k=j}^{\infty} A_k .
$$

证明 仍然是证明等式两端的集合互相包含．首先，若 $x \in \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，则有正整数的子列 $\left\{k_j \mid k_j \in N _{+}, k_j<k_{j+1}, j=1,2, \cdots\right\}$ ，使得 $x \in A_{k_j}(j=1,2, \cdots)$ ．由于 $k_j \geqslant j$ ，故有 $x \in \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k,(j=1,2, \cdots)$ ，从面 $x \in \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，此即 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k \subset \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ．反过来，若 $x \in \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，则对每个 $j \in N _{+}$，有 $x \in \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，从而由并集的定义知，存在正整数 $k_j \geqslant j$ 使得 $x \in A_{k_j}$ ．因为这样的 $A_{k_j}$ 组成一个无穷序列，所以 $x$ $\in \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，即 $\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup

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