最后更新: 2025-11-08 09:35 查看: 145 次纠错评论(0) 课件开VIP

上极限集与下极限集

## 上极限集与下极限集

下面引进集列的极限概念，读者可以把它与数列（特别是单调数列）的极限进行类比，会有助于理解和掌握。

**定义 1.4** 若集合列 $\left\{A_k\right\}$ 满足

$$
A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_k \subset \cdots
$$

则称为**渐张集列**，若它满足

$$
A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_k \supset \cdots,
$$

则称为**渐缩集列**．

> **其实把 $\subset$ 看成 $ < $，把$ \supset $，看成 $ > $ 更容易理解与记忆。**

渐张集列与渐缩集列统称为**单调集列**．

若 $\left\{A_k\right\}$ 是渐张集列，则称 $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$ 为 $\left\{A_k\right\}$ 的**极限（集）**；

若 $\left\{A_k\right\}$ 为渐缩集列，则称 $\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k$ 为 $\left\{A_k\right\}$ 的**极限（集）**；

单调集列 $\left\{A_k\right\}$ 的极限记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ ．

注意，单调集列 $\left\{A_k\right\}$ 的极限是由属于无穷多个 $A_k$ 的元素组成的，也是由属于这个集列中某一项 $A_K$ 以后的一切（即所有的 $k>K$ ）$A_k$ 的元素组成的．

`例`设 $f$ 是 $R$ 上的实值函数，若记 $A_k=\{x| | f(x) \mid<k\}$ ，则 $\left\{A_k\right\}$ 是渐张集列，于是 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k= R$ ；

若记 $B_k=\{x| | f(x) \mid<1 / k\}$ ，则 $\left\{B_k\right\}$ 是渐缩集列，于是 $\lim _{k \rightarrow \infty} B_k=\bigcap_{k=1}^{\infty} B_k=\{x \mid f(x)=0\}$ 为 $f$ 的零点集．

若 $f$ 是单调函数，记 $C_k=\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid \geqslant 1 / k\}$ ，则 $\left\{C_k\right\}$ 是渐张集列， $\lim _{k \rightarrow \infty} C_k=\bigcup_{k=1}^{\infty} C_k=J$（ $f$ 的间断点集） ．

**定义1.5** 对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ ，由所有属于无穷多个 $A_k$ 的元素组成的集合称为 $\left\{A_k\right\}$ 的**上极限集**，记为 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ；由属于某一项 $A_K$ 以后的所有 $A_k$ 的元素组成的集合称为 $\left\{A_k\right\}$ 的**下极限集**，记为 $\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k$．

当 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k$ 时，就说 $\left\{A_k\right\}$ 是**收敛**的，并将 $A=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k$ 称为 $\left\{A_k\right\}$ 的**极限**，记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ ．

上，下极限集用符号来表示就是

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\left\{x \mid \exists \text { 无穷个 } k_j \text {, 使得 } x \in A_{k_j}\right\}, \\
& \varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k=\left\{x \mid \exists K \text {, 当 } k>K \text { 时, } x \in A_k\right\} .
\end{aligned}
}
$$

由定义可见，对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ 总有 $\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k  \subset \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，但是上，下极限可能不相等．

然而若 $\left\{A_k\right\}$ 是单调集列，则必存在集 $A=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k $ ．因而，单调集列必定收敛，并且其极限与前面单独定义的相同．

`例` 设 $A_{2 k-1}=[0,2] \subset R , A_{2 k}=[1,3] \subset R \left(k \in N _{+}\right)$，可见 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=[0,3]$ ， $\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k=[1,2]$ ，故 $\left\{A_k\right\}$ 不收敛．

从下一个定理可以看出，集列的上，下极限可以用这个集列中的集合的交与并表示出来，从而它不能算作一种新的运算．

**定理1.4** 对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ 有
$$
\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k ; \quad \varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{k=j}^{\infty} A_k .
$$

证明 仍然是证明等式两端的集合互相包含．首先，若 $x \in \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，则有正整数的子列 $\left\{k_j \mid k_j \in N _{+}, k_j<k_{j+1}, j=1,2, \cdots\right\}$ ，使得 $x \in A_{k_j}(j=1,2, \cdots)$ ．由于 $k_j \geqslant j$ ，故有 $x \in \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k,(j=1,2, \cdots)$ ，从面 $x \in \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，此即 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k \subset \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ．反过来，若 $x \in \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，则对每个 $j \in N _{+}$，有 $x \in \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，从而由并集的定义知，存在正整数 $k_j \geqslant j$ 使得 $x \in A_{k_j}$ ．因为这样的 $A_{k_j}$ 组成一个无穷序列，所以 $x$ $\in \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，即 $\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k \subset \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，故前一个等式成立．

关于第二个等式，首先可证 $\left(\varliminf_{k \rightarrow \infty} A_k\right)^c=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k^c$ ，然后利用已经证明了的前一式以及 De Morgan 法则即可得到．读者可按此思路写出详细证明过程．

`例` 设 $f$ 和 $f_1, f_2, \cdots$ 都是 $R ^n$ 上的实值函数，试证明

$$
\left\{x \mid \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)\right\}=\bigcap_{l=1}^{\infty} \bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{k=j}^{\infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\} ...(1)
$$

证明 按照极限的定义，$x \in R ^n$ 使 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)$ 即是，对于任意正数 $\varepsilon$ ，只要 $k$ 充分大就有 $\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon$ ，因此

$$
\left\{x \in R ^n \mid \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)\right\}=\bigcap_{0<\varepsilon<\infty} \varliminf_{k \rightarrow \infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<\varepsilon\right\}
$$

但是可证

$$
\bigcap_{\varepsilon \in(0, \infty)} \varliminf _{k \rightarrow \infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<\varepsilon\right\}=\bigcap_{l=1}^{\infty} \varliminf _{k \rightarrow \infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\},
$$

从而

$$
\left\{x \mid \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)\right\}=\bigcap_{l=1}^{\infty} \varliminf _{k \rightarrow \infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\},
$$

再用定理1．4中的下极限集的表示式代人，即得所需结论．$\square$
从极限的定义看，等式（1）其实是容易理解的。事实上，$x$ 属于左边的集合，满足 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x) ; x$ 属于右边的集合，是指对任意正整数 $l$ ，存在 $j$ ，使得当 $k \geqslant$ $j$ 时，$\left|f_k(x)-f(x)\right|<\frac{1}{l}$ ．这两者当然是等价的．因此，可以说，这个等式只是用集合论的语言把极限定义描述出来而已。

由于在 $E$ 内 $\left\{f_k\right\}$ 不收敛到 $f$ 的点之集（包括使 $\left\{f_k(x)\right\}$ 无极限以及 $\left\{f_k(x)\right\}$虽有极限但极限不是 $f(x)$ 的点 $x)$ 是 $E \backslash\left\{x \in E \mid \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)\right\}$ ，因此由前面已证的与 De Morgan 法则，立即可知
$$
\begin{aligned}
& \left\{x \in E \mid\left\{f_k(x)\right\} \text { 不收敛到 } f(x)\right\}=E \backslash \bigcap_{l=1}^{\infty} \varliminf _{k \rightarrow \infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\} \\
= & \bigcup_{l=1}^{\infty} \varlimsup_{k \rightarrow \infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant 1 / l\right\} \\
= & \bigcup_{l=1}^{\infty} \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant 1 / l\right\} .
\end{aligned}
$$

其实，这最后一个等式，从极限否定意义的说法看，也是不难理解的．事实上，$x$ 属于最左边的集合，是指 $\left\{f_k(x)\right\}$ 不收敛于 $f(x) ; x$ 属于右边的集合，是指存在一个正整数 $l$ ，以及无穷个 $k$ ，使得 $\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant 1 / l$ ．这两者当然是等价的．

函数列的收敛点集和不收敛点集的这种表示，对以后研究函数列的收敛情况很有用处（参见第三章 § 3．2）。

`例`  设 $f(x)$ 是定义在 $E$ 上的有限函数，若 $F_n=\{x$ ： $\left.|f(x)| \geqslant \frac{1}{n}\right\}, n=1,2, \cdots$ 则 $\left\{F_n\right\}$ 是增加集列，且

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} F_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{x:|f(x)| \geqslant \frac{1}{n}\right\}=\{x: f(x) \neq 0\}
$$

上面例子表明，要证明$f(x) \ne 0$，只要证明，他大于$\frac{1}{n}$ 即可。

若 $E_n=\{x: f(x)>n\}, n=1,2, \cdots$ 则 $\left\{E_n\right\}$ 是减少集列，易知

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} E_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{x: f(x)>n\}=\varnothing .
$$

## 理解：上极限集
### 上极限集
我们用一个非常通俗的方式来解释实变函数中“上极限集”这个概念。首先，请暂时忘记“函数”，我们把注意力完全放在“集合的序列”上。想象你有一串集合，比如：*A₁, A₂, A₃, A₄, ...*
**上极限集，通俗的理解就是：哪些元素会“无穷多次”地出现在这一串集合里。**

---

### 一个生动的比喻：一场永不结束的“点名游戏”

想象一个教室，里面有很多学生（这些学生就是所有可能的“元素”）。现在，老师每天（对应序列的每一项 *A₁, A₂, A₃...* ）都会叫一个学生名单（集合）上来做题。

*   **第1天**，老师叫了：{小明， 小红}
*   **第2天**，老师叫了：{小红， 小刚}
*   **第3天**，老师叫了：{小明， 小刚}
*   **第4天**，老师叫了：{小红， 小芳}
*   **第5天**，老师叫了：{小明， 小芳}
*   ... 如此继续下去，永不停止。

现在，我们问一个问题：**哪些学生是老师“经常”点名的？**

这里“经常”不是指次数多，而是指“永不缺席太久”（因为后面会介绍无穷几何，里面的元素都是无穷多，所以不能用次数）。换句话说，无论你观察多久，总能在未来的某一天又看到他的名字。

我们来分析一下：

*   **小明**：第1天、第3天、第5天... 都出现了。虽然他可能中间会缺席一两天（比如第2、4天），但你总能发现，在未来的名单里他又出现了。所以小明是“经常”被点名的。
*   **小红**：第1天、第2天、第4天... 也都出现了。同样，她也会缺席（第3、5天），但未来总会回来。所以小红也是“经常”被点名的。
*   **小刚**：第2天、第3天出现了。但之后呢？从第4天开始，他的名字再也没有出现过。所以，他只是“偶尔”被点名，不是“经常”。
*   **小芳**：第4天、第5天出现了。但她之后会不会再来？我们不知道。如果她从此再也不来了，那她就只是“偶尔”被点名。如果她未来还会出现，那她就是“经常”的。

**上极限集，就是这个“经常被点名”的学生名单。**

用数学的语言说：一个元素 *x* 属于上极限集，当且仅当它属于**无穷多个** *Aₙ*。也就是说，存在无限多个下标 *n*，使得 *x ∈ Aₙ*。

在我们的例子中：
*   小明、小红显然属于无穷多个 *Aₙ*。
*   如果小芳在未来无限多次地出现，她就属于上极限集；如果她只出现了那两次，之后永远不来了，她就不属于。

---

### 数学符号和更精确的解释

上极限集记为：
$$
\limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m
$$

这个看起来很复杂的式子，其实就是在说我们上面的思想：

1.  $\bigcup$ (并集) 表示“至少出现一次”。
2.  $\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m$ 这个集合，包含了从第 *n* 天开始，到**未来所有日子**里**至少出现过一次**的所有学生。我们称这个集合为“从第n天开始的**未来之星**”名单。
3.  随着 *n* 增大（比如从第100天开始看，从第10000天开始看），这个“未来之星”名单会越来越小，因为那些只出现在早期（前99天、前9999天）的学生会被排除掉。
4. $\bigcap$ (交集) 表示“无论从多远的未来开始看，都始终在名单上”。

所以， $\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m$ 的意思就是：找出那些学生，**无论你从多么遥远的未来（第N天）开始观察，他们在从那天往后的无穷日子里，都至少会出现一次**。

这恰恰就是“会无穷多次出现”的严格定义。

## 理解：下极限集
我们继续用那个“永不结束的点名游戏”来通俗地解释**下极限集**。

**回顾一下场景：**
老师每天点一个名单（集合序列 *A₁, A₂, A₃...*）。
- **第1天**：{小明， 小红}
- **第2天**：{小红， 小刚}
- **第3天**：{小明， 小刚}
- **第4天**：{小红， 小芳}
- **第5天**：{小明， 小芳}
- ...

---

### 下极限集：谁是“几乎永远在场”的忠实学生？

如果说**上极限集**关心的是“哪些学生会无限次回来”（像神出鬼没的明星），那么**下极限集**关心的就是“哪些学生最终会稳定地、几乎每天都来”（像公司的忠实员工）。

更精确地说：一个元素 *x* 属于下极限集，当且仅当存在某一个时间点 *N*，从第 *N* 天开始，**往后每一天**的名单上都有 *x*。

换句话说，这个学生可能前期偶尔缺席，但到了某个时候（比如实习期结束、转正后），他就**再也不缺席**了，成为名单上的“常驻嘉宾”。

---

### 用例子来分析：

我们来看上面的名单，找找谁是“几乎永远在场”的：

- **小明**：他第1天在，但第2天不在了，第3天在，第4天又不在... 他总是在“在场”和“缺席”之间反复横跳。我们找不到从哪一天开始，他**之后每一天**都在。所以，小明**不属于**下极限集。
- **小红**：同样，她第1、2天在，第3天不在，第4天在，第5天不在... 她也在反复横跳。所以，小红也**不属于**下极限集。
- **小刚**：他只在第2、3天出现，之后似乎就消失了。他更不符合条件。
- **小芳**：她第4天出现，第5天也在。如果从第4天开始看，她似乎满足了？不，我们要求的是“从第N天开始，**往后所有的每一天**”她都在。我们不知道第6天及以后她是否还在。如果她从第4天开始，**永远**都在名单上，那她就属于下极限集。但只要她未来缺席一次，就不算。

**结论：** 在这个有限的例子中，我们**看不出**有谁满足下极限集的条件。因为名单变化太频繁，没有出现一个“稳定下来”的学生。

---

### 一个能体现下极限集的例子

让我们修改一下名单：

- **第1天**: {小明}
- **第2天**: {小明}
- **第3天**: {小明，小红}
- **第4天**: {小明，小红}
- **第5天**: {小明，小红}
- **第6天及以后**: {小明，小红，小刚} // 假设从这一天开始，这三个人永远同时被点名。

现在我们来分析：

- **小明**：他从第1天开始就每天都在，所以他当然是“几乎永远在场”。
- **小红**：她从第3天开始，就每天都在了。所以她也属于下极限集。
- **小刚**：他从第6天开始，就每天都在了。所以他也属于下极限集。

因此，这个新序列的**下极限集**是 {小明， 小红， 小刚}。

---

### 数学符号与思想

下极限集记为：
$$
\liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m
$$

这个式子是这样理解的：

1.  $\bigcap$ (交集) 表示“每天都出现”。
2.  $ \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m$ 这个集合，包含了从第 *n* 天开始，到**未来所有日子**里**每天都出现**的学生。我们称之为“从第n天开始的**永久居民**”名单。
3.  随着 *n* 增大，这个“永久居民”名单会**变大**（或者不变）。为什么？因为要求变宽松了！比如，一个学生从第100天才开始每天都来，他进不了“从第1天开始的永久居民”名单，但他可以进入“从第100天开始的永久居民”名单。
4.  $ \bigcup$ (并集) 表示“只要有一天能成为永久居民，就算数”。

所以，$ \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m$ 的意思就是：找出那些学生，**存在某一个起点 *N*，使得他从第 *N* 天开始，就永远留在名单里了**。

这恰恰就是“最终始终出现”的严格定义。

### 上下极限集的关系与总结

| 特征 | 上极限集 | 下极限集 |
| :--- | :--- | :--- |
| **绰号** | **频繁访客集** | **永久居民集** |
| **核心问题** | 你会不会无穷多次回来？ | 你是不是最终再也不走了？ |
| **性格** | 宽容 | 严格 |
| **数学定义** | $\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m$ | $\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m$ |
| **关系** | **下极限集 ⊆ 上极限集** （永久居民必然是频繁访客，反之则不一定） |

**最终形象化的理解：**

- **下极限集 (永久居民)**：序列最终稳定下来后的**核心部分**。
- **上极限集 (频繁访客)**：序列所有振动和变化中，**始终参与其中**的部分。

当“频繁访客”和“永久居民”是同一批人时（即上下极限集相等），我们就说这个集合序列收敛了，有了一个明确的**极限集**。

## 对应数学的应用

> 要证明一个数无穷大，就是构造 1,2,3...n , 如果证明一个数无穷小，就构造 1, $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$...$\frac{1}{n}$

想一想高等数学里，如何证明 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}=0$ ,我们找到一个ε ,当$n>N$时，其值趋近0.

## 例题
`例`设 $A_n$ 是如下一列点集：

$$
\begin{aligned}
& A_{2 m+1}=\left[0,2-\frac{1}{2 m+1}\right], m=0,1,2, \cdots, \\
& A_{2 m}=\left[0,1+\frac{1}{2 m}\right], m=1,2,3, \cdots
\end{aligned}
$$

我们来确定 $\left\{A_n\right\}$ 的上极限和下极限．
因为闭区间 $[0,1]$ 中的点属于每个 $A_n, n=1,2,3, \cdots$ ，而对于开区间 $(1,2)$ 中的每个点 $x$ ，必存在自然数 $N(x)$ ，使得当 $n>N(x)$时，

$$
1+\frac{1}{2 n}<x \leqslant 2-\frac{1}{2 n+1},
$$

即当 $n \geqslant N(x)$ 时，$x \bar{\in} \dot{A}_{2 n}$ ，但 $x \in A_{2 n+1}$ ，换句话说，对于开区间 $(1,2)$ 中的 $x$ ，具有充分大的奇数指标的集都含有 $x$ ，即 $\left\{A_n\right\}$ 中有无限多个集合含有 $x$ ，而充分大的偶数指标的集都不含有 $x$ ，即 $\left\{A_n\right\}$ 中不含 $x$ 的集不会是有限个。又区间 $[0,2)$ 以外的点都不属于任何 $A_n$ ，因此

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} A_n=[0,2), \quad \underline{\lim _{n \rightarrow \infty}} A_n=[0,1] .
$$

`例`设 $f(x)$ 是定义在 $E$ 上的有限函数，若 $F_n=\{x$ ： $\left.|f(x)| \geqslant \frac{1}{n}\right\}, n=1,2, \cdots$ 则 $\left\{F_n\right\}$ 是增加集列，且

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} F_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{x:|f(x)| \geqslant \frac{1}{n}\right\}=\{x: f(x) \neq 0\} ;
$$
 
若 $E_n=\{x: f(x)>n\}, n=1,2, \cdots$ 则 $\left\{E_n\right\}$ 是减少集列，易知

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} E_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{x: f(x)>n\}=\varnothing
$$

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