最后更新: 2025-03-20 08:12 查看: 49 次反馈刷题

上极限集与下极限集

## 上极限集与下极限集
定义 1.4 若集合列 $\left\{A_k\right\}$ 满足

$$
A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_k \subset \cdots
$$

则称为渐张集列，若它满足

$$
A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_k \supset \cdots,
$$

则称为渐缩集列．渐张集列与渐缩集列统称为单调集列．

若 $\left\{A_k\right\}$ 是渐张集列，则称 $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$ 为 $\left\{A_k\right\}$ 的极限（集）；若 $\left\{A_k\right\}$ 为渐缩集列，则称 $\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k$ 为 $\left\{A_k\right\}$ 的极限（集）；单调集列 $\left\{A_k\right\}$ 的极限记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ ．

注意，单调集列 $\left\{A_k\right\}$ 的极限是由属于无穷多个 $A_k$ 的元素组成的，也是由属于这个集列中某一项 $A_K$ 以后的一切（即所有的 $k>K$ ）$A_k$ 的元素组成的．

例 6 设 $f$ 是 $R$ 上的实值函数，若记 $A_k=\{x| | f(x) \mid<k\}$ ，则 $\left\{A_k\right\}$ 是渐张集列，于是 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k= R$ ；若记 $B_k=\{x| | f(x) \mid<1 / k\}$ ，则 $\left\{B_k\right\}$ 是渐缩集列，于是 $\lim _{k \rightarrow \infty} B_k=\bigcap_{k=1}^{\infty} B_k=\{x \mid f(x)=0\}$ 为 $f$ 的零点集．

若 $f$ 是单调函数，记 $C_k=\{x| | f(x+0)-f(x-0) \mid \geqslant 1 / k\}$ ，则 $\left\{C_k\right\}$ 是渐张集列， $\lim _{k \rightarrow \infty} C_k=\bigcup_{k=1}^{\infty} C_k=J$（ $f$ 的间断点集） ．

定义1．5 对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ ，由所有属于无穷多个 $A_k$ 的元素组成的集合称为 $\left\{A_k\right\}$ 的上极限集，记为 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ；由属于某一项 $A_K$ 以后的所有 $A_k$ 的元素组成的集合称为 $\left\{A_k\right\}$ 的下极限集，记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ ．当 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ 时，就说 $\left\{A_k\right\}$ 是收玫的，并将 $A=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ 称为 $\left\{A_k\right\}$ 的极限，记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ ．

上，下极限集用符号来表示就是

$$
\begin{aligned}
& \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\left\{x \mid \exists \text { 无穷个 } k_j \text {, 使得 } x \in A_{k_j}\right\}, \\
& \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\left\{x \mid \exists K \text {, 当 } k>K \text { 时, } x \in A_k\right\} .
\end{aligned}
$$

由定义可见，对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ 总有 $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k \subset \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，但是上，下极限可能不相等．然而若 $\left\{A_k\right\}$ 是单调集列，则必存在集 $A=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\lim _{k \rightarrow \infty} A_k$ ．因而，单调集列必定收玫，并且其极限与前面单独定义的相同．

例 7 设 $A_{2 k-1}=[0,2] \subset R , A_{2 k}=[1,3] \subset R \left(k \in N _{+}\right)$，可见 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=[0,3]$ ， $\lim _{k \rightarrow \infty} A_k=[1,2]$ ，故 $\left\{A_k\right\}$ 不收玫．

从下一个定理可以看出，集列的上，下极限可以用这个集列中的集合的交与并表示出来，从而它不能算作一种新的运算．

定理 1.4 对于任意集列 $\left\{A_k\right\}$ 有
$$
\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k ; \quad \lim _{k \rightarrow \infty} A_k=\bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{k=j}^{\infty} A_k .
$$

证明 仍然是证明等式两端的集合互相包含．首先，若 $x \in \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，则有正整数的子列 $\left\{k_j \mid k_j \in N _{+}, k_j<k_{j+1}, j=1,2, \cdots\right\}$ ，使得 $x \in A_{k_j}(j=1,2, \cdots)$ ．由于 $k_j \geqslant j$ ，故有 $x \in \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k,(j=1,2, \cdots)$ ，从面 $x \in \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，此即 $\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k \subset \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ．反过来，若 $x \in \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，则对每个 $j \in N _{+}$，有 $x \in \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k$ ，从而由并集的定义知，存在正整数 $k_j \geqslant j$ 使得 $x \in A_{k_j}$ ．因为这样的 $A_{k_j}$ 组成一个无穷序列，所以 $x$ $\in \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，即 $\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} A_k \subset \varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k$ ，故前一个等式成立．

关于第二个等式，首先可证 $\left(\lim _{k \rightarrow \infty} A_k\right)^c=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} A_k^c$ ，然后利用已经证明了的前一式以及 De Morgan 法则即可得到．读者可按此思路写出详细证明过程．

例 8 设 $f$ 和 $f_1, f_2, \cdots$ 都是 $R ^n$ 上的实值函数，试证明

$$
\left\{x \mid \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)\right\}=\bigcap_{l=1}^{\infty} \bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{k=j}^{\infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\}
$$

证明 按照极限的定义，$x \in R ^n$ 使 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)$ 即是，对于任意正数 $\varepsilon$ ，只要 $k$ 充分大就有 $\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon$ ，因此

$$
\left\{x \in R ^n \mid \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)\right\}=\bigcap_{0<\varepsilon<\infty} \lim _{k \rightarrow \infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<\varepsilon\right\}
$$

但是可证

$$
\bigcap_{\varepsilon \in(0, \infty)} \lim _{k \rightarrow \infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<\varepsilon\right\}=\bigcap_{l=1}^{\infty} \lim _{k \rightarrow \infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\},
$$

从而

$$
\left\{x \mid \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)\right\}=\bigcap_{l=1}^{\infty} \lim _{k \rightarrow \infty}\left\{x| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\},
$$

再用定理1．4中的下极限集的表示式代人，即得所需结论．$\square$
从极限的定义看，等式（1）其实是容易理解的。事实上，$x$ 属于左边的集合，满足 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x) ; x$ 属于右边的集合，是指对任意正整数 $l$ ，存在 $j$ ，使得当 $k \geqslant$ $j$ 时，$\left|f_k(x)-f(x)\right|<\frac{1}{l}$ ．这两者当然是等价的．因此，可以说，这个等式只是用集合论的语言把极限定义描述出来而已。

由于在 $E$ 内 $\left\{f_k\right\}$ 不收敛到 $f$ 的点之集（包括使 $\left\{f_k(x)\right\}$ 无极限以及 $\left\{f_k(x)\right\}$虽有极限但极限不是 $f(x)$ 的点 $x)$ 是 $E \backslash\left\{x \in E \mid \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=f(x)\right\}$ ，因此由前面已证的与 De Morgan 法则，立即可知
$$
\begin{aligned}
& \left\{x \in E \mid\left\{f_k(x)\right\} \text { 不收敛到 } f(x)\right\}=E \backslash \bigcap_{l=1}^{\infty} \lim _{k \rightarrow \infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\} \\
= & \bigcup_{l=1}^{\infty} \varlimsup_{k \rightarrow \infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant 1 / l\right\} \\
= & \bigcup_{l=1}^{\infty} \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant 1 / l\right\} .
\end{aligned}
$$

其实，这最后一个等式，从极限否定意义的说法看，也是不难理解的．事实上，$x$ 属于最左边的集合，是指 $\left\{f_k(x)\right\}$ 不收玫于 $f(x) ; x$ 属于右边的集合，是指存在一个正整数 $l$ ，以及无穷个 $k$ ，使得 $\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant 1 / l$ ．这两者当然是等价的．

函数列的收敛点集和不收玫点集的这种表示，对以后研究函数列的收玫情况很有用处（参见第三章 § 3．2）。

最后再介绍一种集合的运算，有时用它表示一些集合显得很方便．

## 通俗解释

例如，对数集 $A=[0,1)$ 来说，数 1 是 $A$ 的一个上界．当然由此可见比 1 大的每一个数都是 $A$ 的上界．又可以看出，数 0 是 $A$ 的一个下界，同时每个负数也都是 $A$ 的下界．

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