最后更新: 2025-03-27 14:08 查看: 177 次反馈刷题

笛卡尔积

笛卡尔积;集合运算

## 笛卡尔积
定义 1.6 对于任意给定集合 $A$ 与 $B$ ，由 $A$ 的任意元素 $x$ 和 $B$ 的任意元素 $y$组成的所有有序对 $(x, y)$ 的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的直积（或笛卡儿（Cartesian）积），记为 $A \times B$ ，即

$$
A \times B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in B\}
$$

例如，$\{1,2,3\} \times\{0,1\}=\{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)\}$ ；

$$
\begin{gathered}
R ^2= R \times R =\{(x, y) \mid x, y \in R \} ; \\
R ^n= R ^{n-1} \times R = R \times R ^{n-1}=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid x_i \in R , i=1,2, \cdots, n\right\} .
\end{gathered}
$$

显然，一般 $A \times B \neq B \times A$ ．例如当 $A=\{x \in R \mid x \geqslant 0\}, B=\{x \in R \mid x \leqslant 0\}$ 时， $A \times B=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x \geqslant 0, y \leqslant 0\right\}$（第四象限），$B \times A=\{(x, y) \mid x \leqslant 0, y \geqslant 0\}$（第二象限），二者不相等．

### **定义**  
笛卡尔积表示两个集合**所有可能有序对**的集合。例如，集合A={a, b}和集合B={0, 1, 2}的笛卡尔积为：

$A×B = {(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。$  
每个元素与另一集合的每个元素一一配对，形成有序对（顺序不可调换）。

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### **关键性质**  
1. **不满足交换律**  
   A×B ≠ B×A。例如，若A={1}，B={2}，则A×B={(1,2)}，而B×A={(2,1)}。

2. **不满足结合律**  
   (A×B)×C ≠ A×(B×C)。例如，三个集合的笛卡尔积需按顺序组合元素。

3. **满足分配律**  
   对并集/交集满足：  
   A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)。

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