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笛卡尔积(直积)

## 笛卡尔积

最后再介绍一种集合的运算，有时用它表示一些集合显得很方便．

**定义1.6** 对于任意给定集合 $A$ 与 $B$ ，由 $A$ 的任意元素 $x$ 和 $B$ 的任意元素 $y$组成的所有有序对 $(x, y)$ 的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的直积（或笛卡儿（Cartesian）积），记为 $A \times B$ ，即

$$
A \times B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in B\}
$$

`例` $\{1,2,3\} \times\{0,1\}=\{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)\}$ ；

在上例子里$A=\{1,2,3\}$, $B=\{0,1\}$ ,从$A,B$里各拿一个元素出来配对，组成的集合就是$A$与$B$的直积。

又如，
$$
\begin{array}{l}
R ^2= R \times R =\{(x, y) \mid x, y \in R \} ; \\
R ^n= R ^{n-1} \times R = R \times R ^{n-1}=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid x_i \in R , i=1,2, \cdots, n\right\} .
\end{array}
$$

显然，一般 $A \times B \neq B \times A$ ．例如当 $A=\{x \in R \mid x \geqslant 0\}, B=\{x \in R \mid x \leqslant 0\}$ 时， $A \times B=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x \geqslant 0, y \leqslant 0\right\}$（第四象限），$B \times A=\{(x, y) \mid x \leqslant 0, y \geqslant 0\}$（第二象限），二者不相等．

### 推广
 
若 $A_i(i=1,2, \cdots, n)$ 是集合，则 $A=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right): x_i \in A_i\right.$ ， $i=1,2, \cdots, n\}$ 称为 $A_i(i=1,2, \cdots, n)$ 的直积，记为

$$
\prod_{i=1}^n A_i \text { 或 } A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \text {. }
$$

上面通俗解释是
$A_1=\{x_1,x_2,x_3,x_4....x_n\}$,
$A_2=\{x_1,x_2,x_3,x_4....x_n\}$,
$A_3=\{x_1,x_2,x_3,x_4....x_n\}$,
...
$A_n=\{x_1,x_2,x_3,x_4....x_n\}$,

从每个集合取出一个元素组成一个新的集合，用
$y$ 表示其中的元素，则
$y=\{x_1,x_2,x_3,x_4....x_n\}$,

这和例1的思想类似。类似地，

$$
\begin{gathered}
\prod_{i=1}^{\infty} A_i=A_1 \times A_2 \times \cdots=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots\right): x_i \in A_i, i=1,2, \cdots\right\}, \\
A^n=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{n \text { 个 }} .
\end{gathered}
$$

## 课外阅读 笛卡尔积的作用

> 笛卡尔积的功能在这里其实并没有提醒，迪卡人家在数据库设计里会大量使用，而且功能非常强大。

想象你有一个学生表，一个课程表，还有每个学生的选课表，每个表都可以看成一个集合。

1. **学生表（Students）**
学生表可以想象班级里所有同学
| 学号 | 姓名 |
|------|------|
| S1   | 张三 |
| S2   | 李四 |
| S3   | 王五 |

2. **课程表（Courses）**
课程表可以想象班级里所有可选课程
| 课程号 | 课程名称 |
|--------|----------|
| C1     | 数学     |
| C2     | 英语     |
| C3     | 物理     |

3. **选课表（Enrollments）**
| 学号 | 课程号 |
|------|--------|
| S1   | C1     |
| S1   | C2     |
| S2   | C2     |
| S3   | C3     |

#### 需求1 
列出所有学生和所有课程的可能组合，无论学生是否选修了某门课程。
  
**笛卡尔积结果的意义**：
| 学号 | 姓名 | 课程号 | 课程名称 |
|------|------|--------|----------|
| S1   | 张三 | C1     | 数学     |
| S1   | 张三 | C2     | 英语     |
| S1   | 张三 | C3     | 物理     |
| S2   | 李四 | C1     | 数学     |
| S2   | 李四 | C2     | 英语     |
| S2   | 李四 | C3     | 物理     |
| S3   | 王五 | C1     | 数学     |
| S3   | 王五 | C2     | 英语     |
| S3   | 王五 | C3     | 物理     |

#### 需求2 
 列出每个学生及其选修的课程，假设存在一个选课表（Enrollments）记录了学生与课程的对应关系。在上面结果的基础上， 根据两个表中相同的属性名自动匹配行，就可以得到下面的结果
 
**结果**：
| 学号 | 姓名 | 课程名称 |
|------|------|----------|
| S1   | 张三 | 数学     |
| S1   | 张三 | 英语     |
| S2   | 李四 | 英语     |
| S3   | 王五 | 物理     |

更详细介绍可以参考 《离散数学》[二元关系](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2039)

其他版本
【数学分析】集合论中的术语与集合运算【离散数学】笛卡儿积

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