最后更新: 2025-03-20 08:19 查看: 102 次反馈同步训练

集合的基数与映射

## 集合的基数与映射
集合的基数描述的是，集合包含多少元素．如果集合是有限集，即元素只有有限个，则元素的多少可以用一个自然数表示，数值大自然就表示元素多．但如果集合是无穷集，该怎样表示元素的多少呢？是否可以认为所有无穷集的元素都一样多（即不能区别它们元素有多少）？无穷集元素的多少，靠数（shă）是数 （shŭ）不清的，因此需要寻找一个比较两个集合（主要是无穷集）元素多少的方法，这就是一一对应。

先看有限集的情况．例如，一个集合是在座的学生，一个是教室中的椅子，如果不去数它们，怎样判别这两个集合的元素究竟谁多谁少？我们可以让每个学生都坐下来，一位学生坐一把椅子，不同的学生坐不同的椅子．谁都知道，如果有椅子没有学生坐，则椅子多；如果有学生没有椅子坐，则学生多．说明白一点就是，让每个学生对应他坐的椅子，这是一种一一对应，如果全体学生与全部椅子一一对应，则两者的数目一样多；如果学生只与一部分椅子（椅子的一个真子集）对应，而不与全部椅子一一对应，则椅子的数目就大了（椅子多了）。用这个思想去考察无穷集，就能判定无穷集元素的多少了．下面我们先用映射的语言把一一对应说清楚。

定义1．7 设 $X, Y$ 是两个非空集合，若存在一种对应关系 $f$ ，使得每个 $x \in$ $X$ 都有惟一的 $y \in Y$ 与它对应，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，记为

$$
f: X \rightarrow Y
$$

同时称 $y=f(x)$ 为 $x$ 在映射 $f$ 下的像，$x$ 为 $y$ 的原像．若对每个 $y \in Y$ 存在 $x \in$ $X$ ，使得 $y=f(x)$ ，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的满射．

很明显， $R \rightarrow R$ 的映射就是实值函数， $R ^2 \rightarrow R$ 的映射就是二元（实）函数． $R ^n$ $\rightarrow C$（复数集）的映射就是 $(n$ 元）复值函数．可见，映射是函数概念的推广（现在很多数学书已不严格区分＂函数＂与＂映射＂这两个概念，但数集（或点集）到数集的映射习惯上仍称为函数）。

若 $A \subset X$ ，全体 $x \in A$ 在映射 $f: X \rightarrow Y$ 下的像组成的集合称为 $A$ 在 $f$ 下的像集，记为 $f(A)$ ，即

$$
f(A)=\{y \in Y \mid y=f(x), x \in A\}
$$

按像集来说，$f: X \rightarrow Y$ 是满射指的是 $f(X)=Y$ ．
定义 1.8 对于 $f: X \rightarrow Y$ ，若任意的 $x_1, x_2 \in X$ ，只要 $x_1 \neq x_2$ 就有 $f\left(x_1\right) \neq$ $f\left(x_2\right)$ ，则称 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的单射．

单射是指 $X$ 中不相同的 $x$ 有不同的像，即没有两个不同的 $x$ 有相同的像．回忆反函数的概念便可推知，若 $f: X \rightarrow Y$ 是单射，则 $f$ 在 $X$ 的像集 $f(X)$ 中具有逆映射 $f^{-1}: f(X) \rightarrow X(f(X) \subset Y)$ ，即对任意的 $y \in f(X)$ 存在惟一的 $x \in X$ 使得 $y=$ $f(x)$ 或 $x=f^{-1}(y)$ 。

定义 1.9 若 $f: X \rightarrow Y$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的一一映射．
注意，若 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一一映射，则对每个 $x \in X$ 有惟一的 $y \in Y$ 与它对应．反过来，由于 $f$ 既是满射又是单射，故存在逆映射 $f^{-1}$ ，其定义域是整个的 $Y$ ，从而对每个 $y \in Y$ 有惟一的一个 $x \in X$ 与之对应，使得 $y=f(x)$ 或 $x=f^{-1}(y)$ 。这样就在 $X$ 与 $Y$ 之间建立了一个一一对应关系。

从单射的定义立刻看出，若 $f$ 是单射，则 $f$ 是 $X$ 到 $f(X)$ 的一一映射．
现在我们可以说，若对于集合 $X$ 与 $Y$ ，存在一个一一映射 $f$ ，使得 $f(X)=Y$ ，即在 $X$ 与 $Y$ 之间建立了一

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