最后更新: 2025-11-25 09:32 查看: 181 次纠错评论(0) 课件开VIP

集合的映射、特征函数与基

## 集合的映射
集合的基数描述的是，集合包含多少元素．如果集合是有限集，即元素只有有限个，则元素的多少可以用一个自然数表示，数值大自然就表示元素多．但如果集合是无穷集，该怎样表示元素的多少呢？是否可以认为所有无穷集的元素都一样多（即不能区别它们元素有多少）？无穷集元素的多少，靠数（shă）是数 （shŭ）不清的，因此需要寻找一个比较两个集合（主要是无穷集）元素多少的方法，这就是一一对应。

> 先看有限集的情况．例如，一个集合是在座的学生，一个是教室中的椅子，如果不去数它们，怎样判别这两个集合的元素究竟谁多谁少？我们可以让每个学生都坐下来，一位学生坐一把椅子，不同的学生坐不同的椅子．谁都知道，如果有椅子没有学生坐，则椅子多；如果有学生没有椅子坐，则学生多．说明白一点就是，让每个学生对应他坐的椅子，这是一种一一对应，如果全体学生与全部椅子一一对应，则两者的数目一样多；如果学生只与一部分椅子（椅子的一个真子集）对应，而不与全部椅子一一对应，则椅子的数目就大了（椅子多了）。用这个思想去考察无穷集，就能判定无穷集元素的多少了．下面我们先用映射的语言把一一对应说清楚。

**定义1.7** 设 $X, Y$ 是两个非空集合，若存在一种对应关系 $f$ ，使得每个 $x \in$ $X$ 都有惟一的 $y \in Y$ 与它对应，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，记为

$$
f: X \rightarrow Y
$$

同时称 $y=f(x)$ 为 $x$ 在映射 $f$ 下的**像**，$x$ 为 $y$ 的**原像**．若对每个 $y \in Y$ 存在 $x \in$ $X$ ，使得 $y=f(x)$ ，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的**满射**．

![图片](/uploads/2025-11/eada57.jpg)
 集合映射关系可能图
 
很明显， $R \rightarrow R$ 的映射就是实值函数（例如 $y=2x$）， $R ^2 \rightarrow R$ 的映射就是二元实函数(例如$z=x^2+y^2$)． $R ^n$ $\rightarrow C$（复数集）的映射就是 $(n$ 元）复值函数．可见，映射是函数概念的推广（现在很多数学书已不严格区分＂函数＂与＂映射＂这两个概念，但数集（或点集）到数集的映射习惯上仍称为函数）。

若 $A \subset X$ ，全体 $x \in A$ 在映射 $f: X \rightarrow Y$ 下的像组成的集合称为 $A$ 在 $f$ 下的**像集**，记为 $f(A)$ ，即

$$
f(A)=\{y \in Y \mid y=f(x), x \in A\}
$$

按像集来说，$f: X \rightarrow Y$ 是满射指的是 $f(X)=Y$ ．

**定义1.8** 对于 $f: X \rightarrow Y$ ，若任意的 $x_1, x_2 \in X$ ，只要 $x_1 \neq x_2$ 就有 $f\left(x_1\right) \neq$ $f\left(x_2\right)$ ，则称 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的**单射**．

单射是指 $X$ 中不相同的 $x$ 有不同的像，即没有两个不同的 $x$ 有相同的像．回忆反函数的概念便可推知，若 $f: X \rightarrow Y$ 是单射，则 $f$ 在 $X$ 的像集 $f(X)$ 中具有逆映射 $f^{-1}: f(X) \rightarrow X(f(X) \subset Y)$ ，即对任意的 $y \in f(X)$ 存在惟一的 $x \in X$ 使得 $y=$ $f(x)$ 或 $x=f^{-1}(y)$ 。

> **定义1.9 若 $f: X \rightarrow Y$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的一一映射（也叫做双射）**．

注意，若 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一一映射，则对每个 $x \in X$ 有惟一的 $y \in Y$ 与它对应．反过来，由于 $f$ 既是满射又是单射，故存在逆映射 $f^{-1}$ ，其定义域是整个的 $Y$ ，从而对每个 $y \in Y$ 有惟一的一个 $x \in X$ 与之对应，使得 $y=f(x)$ 或 $x=f^{-1}(y)$ 。这样就在 $X$ 与 $Y$ 之间建立了一个一一对应关系(参考上图左边第一个图）。

从单射的定义立刻看出，若 $f$ 是单射，则 $f$ 是 $X$ 到 $f(X)$ 的一一映射．
现在我们可以说，若对于集合 $X$ 与 $Y$ ，存在一个一一映射 $f$ ，使得 $f(X)=Y$ ，即在 $X$ 与 $Y$ 之间建立了一个一一对应，则可以认为 $X$ 与 $Y$ 的元素一样多．

**定义1.10** 若存在一个由集合 $X$ 到集合 $Y$ 的一一映射，即集合 $X$ 与 $Y$ 之间存在一一对应，则称 $X$ 与 $Y$ 是**对等**的，记为 $X \sim Y$ ．

前面讨论的结果用这个定义来说就是，**对等集合的元素一样多**．
对等关系显然具有下列性质：
（i）（反身性）$X \sim X$ ；
（ii）（对称性）若 $X \sim Y$ ，则 $Y \sim X$ ；
（iii）（传递性）若 $X \sim Y, Y \sim Z$ ，则 $X \sim Z$ ．

`例`自然数集与偶数集是对等的．
因若取 $f(n)=2 n \quad(n \in N)$ ，则 $f$ 是一一映射：

$$
\begin{aligned}
& 0,1,2,3,4,5, \cdots, n \cdots \text {, }
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& 0,2,4,6,8,10, \cdots, 2 n, \cdots \text {. }
\end{aligned}
$$

### 特征函数

集合之间的映射不仅其本身具有实际的意义，而且是研究集合结构与性质的有效手段。当 $Y$ 是 $\mathbf{R}$ 时，$f: X \rightarrow Y$ 一般称为函数。特别地，对于 $X$ 中的子集 $A$ ，我们作

$$
\chi_A(x)= \begin{cases}1, & x \in A, \\ 0, & x \in X \backslash A,\end{cases}
$$

且称 $\chi_A: X \rightarrow \mathbf{R}$ 是定义在 $X$ 上的 $A$ 的特征函数．
由此可以看出，特征函数 $\chi_A$ 在一定意义上可作为 $A$ 本身的代表，从而可以通过对它的研究来了解集合本身．例如，$A \neq B$ 就是 $\chi_A \neq \chi_B$ ，而 $A \subset B$ 与 $\chi_A(x) \leqslant \chi_B(x)$ 是等价的，等等．显然，我们有下列简单事实：
（i）$\chi_{A \cup B}(x)=\chi_A(x)+\chi_B(x)-\chi_{A \cap B}(x)$ ；
（ii）$\chi_{A \cap B}(x)=\chi_A(x) \cdot \chi_B(x)$ ；
（iii）$\chi_{A \backslash B}(x)=\chi_A(x)\left(1-\chi_B(x)\right)$ ；
（iv）$\chi_{A \triangle B}(x)=\left|\chi_A(x)-\chi_B(x)\right|$ ．

`例`我们可给出有限集合的一个不依赖于元素个数概念的定义：集合 $A$ 称为有限集合，如果 $A=\varnothing$ 或者 $A$ 和正整数的某截段 $\{1,2, \cdots, n\}$ 对等．

`例` $\{$ 正奇数全体 $\} \sim\{$ 正偶数全体 $\}$ ．事实上，只要令 $\varphi(x)=x+1$ 即可

`例`实数区间 $(-\pi / 2, \pi / 2)$ 与 $R$ 对等．
这是因为 $y=\tan x(\forall x \in(\pi / 2, \pi / 2))$ 是区间 $(-\pi / 2, \pi / 2)$ 到 $R$ 的一一映射．

`例` $\{$ 正整数全体 $\} \sim\{$ 正偶数全体 $\}$ ．这只需令 $\varphi(x)=2 x, x$ 是正整数

从这两个例题我们看到，有的无穷集可以对等于它的某个真子集．对于无穷集 $X$ 与 $Y$ ，只凭 $X$对等于 $Y$ 的某个真子集，就说 $Y$ 的元素比 $X$ 的多，这是不合理的．
 
 
## 基

**定义1**  若 $A$ 和 $B$ 对等，则称它们有相同的基数，记为 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ．
**定义2**  设 $A, B$ 是两个集合，如果 $A$ 不与 $B$ 对等，但存在 $B$的真子集 $B^*$ ，有 $A \sim B^*$ ，则称 $A$ 比 $B$ 有较小的基数（或 $B$ 比 $A$有较大的基数）并记为 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$（或 $\overline{\bar{B}}>\overline{\bar{A}}$ ）．

## 理解：基是什么意思
集合的**基**，也叫**势**或**基数**，通俗地理解就是**集合中元素的“个数”**。

### 1. 直观理解：元素的个数

对于有限集合来说，基的概念非常简单直接。

- 集合 A = {苹果, 香蕉, 橙子}，它的基就是 3。
- 集合 B = {1, 2, 3, 4, 5}，它的基就是 5。

我们把这个“个数”叫做集合的**基数**，记作 |A|。所以 |A| = 3，|B| = 5。

**关键点：** 基描述的是集合的“规模”或“大小”，而不关心元素具体是什么。

---

### 2. 核心思想：如何比较两个集合的“大小”？

当集合是无限的时候，我们不能用“数数”的方法了。这时，基的概念就上升到了一个更本质的层面：**一一对应**。

我们定义：如果两个集合 A 和 B 的元素之间存在一个**一一对应**（即双射）的关系，我们就说它们**具有相同的基数**（等势）。

**举个例子：**

- 集合 C = {1, 2, 3}
- 集合 D = {a, b, c}

我们可以建立一一对应：1→a, 2→b, 3→c。所以 |C| = |D|。

这个思想对于无限集合至关重要。

---

### 3. 无限集合的基：奇妙的世界

无限集合也有大小之分，而且有些无限比另一些无限“更大”。基数就是用来严格区分这些无限大小的工具。

#### 可数无限

最简单的无限集合是**自然数集** N = {1, 2, 3, 4, ...}。
它的基数被称为 **ℵ₀**（阿列夫零）。

**如果一个无限集合的元素可以和自然数集建立一一对应，那么这个集合的基数就是 ℵ₀，我们称它为“可数无限”**。

例子：
- **偶数集** {2, 4, 6, 8, ...}：可以和自然数一一对应（n → 2n），所以它的基也是 ℵ₀。
- **整数集** Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}：也可以和自然数一一对应（通过重新排列），所以它的基也是 ℵ₀。
- **有理数集** Q（所有分数）：令人惊讶的是，有理数集也可以和自然数一一对应，所以它的基数也是 ℵ₀。

这说明了一个反直觉的结论：在无限的世界里，“整体可以和部分一样大”。

#### 不可数无限

那么有没有比自然数集“更大”的无限集合呢？有！

**实数集 R**（包括所有小数，比如π, e, √2等）就无法和自然数集建立一一对应。康托尔用著名的**对角线论证法**证明了这一点。

实数集的基数被称为 **c**（连续统的势），并且有 **c > ℵ₀**。

**幂集的基数**

对于任何集合 A，它的**幂集**（即所有子集构成的集合）的基数严格大于 A 本身的基数。
- 如果 |A| = n，那么 |P(A)| = 2ⁿ。
- 这个结论对无限集也成立。自然数集的幂集的基数等于实数集的基数 c。
- 这告诉我们，不存在“最大的无限”，可以无限地产生更大的无限（ℵ₀, 2^ℵ₀, 2^(2^ℵ₀), ...）。

### 4. 总结

- **基本定义**：基数是集合大小的度量。
- **有限集**：基数就是元素的个数。
- **无限集**：基数的比较依赖于“一一对应”的原则。
    - **可数无限**（ℵ₀）：能与自然数一一对应的集合。
    - **不可数无限**（如 c）：不能与自然数一一对应的集合，例如实数集。
- **重要性**：基数是集合论的基础，是现代数学的基石之一，它让我们能够严谨地讨论和比较“无限”这个概念。

## 本章解读 自然数和偶数一样多

### 从“有限”到“无限”的惊人飞跃

在有限集合中，对等很简单，就是“元素个数相等”。但实变函数研究的主要是**无限集合**，这里面的对等就非常反直觉了！
著名的例子：自然数和偶数一样多？自然数分为奇数和偶数，然后你又说自然数和偶数一样多，是不是很反直觉？

*   **集合A**：所有自然数 {1, 2, 3, 4, 5, ...}
*   **集合B**：所有正偶数 {2, 4, 6, 8, 10, ...}

直觉上，偶数明明是自然数的一部分，怎么会一样多呢？

但根据“对等”的定义，我们可以玩配对游戏：
*   让自然数1 配对 偶数2
*   让自然数2 配对 偶数4
*   让自然数3 配对 偶数6
*   ...
*   **规则：每个自然数 n 配对 偶数 2n**

你看，按照这个规则，**每一个自然数都找到了一个唯一的偶数作为搭档，同时每一个偶数也都被一个自然数找到了**。这个配对游戏成功了！

所以，在集合对等的意义上，**自然数集和正偶数集是“一样大”的**！

### 总结

*   **通俗意思**：两个集合能玩“一一配对”的游戏，一个不多，一个不少。
*   **数学本质**：存在一个**一一映射**（双射） between 两个集合。
*   **重要性**：这是现代集合论中定义“集合大小”（基数/势）的基础。所有能与自然数集建立一一对应的集合，都称为“可数集”，它们构成了最小的无限大。

希望这个解释能让你对“集合对等”有一个清晰直观的理解！它其实就是把我们生活中“数人数”的概念，用“配对”这种更本质的方式，推广到了无限的奇妙世界。

> 在上面这个例子里，你会发现一个有趣的现象：偶数是自然数的子集，但是却和自然数一样多，这给我们提供了一个思路:如果一个集合他的子集和他本身一样多，那么他就是无限集，详见下一节的介绍。

## 实数和$(0,1)$ 一样多

在数学的集合论中，如果两个集合之间存在一个 **双射**（一一对应且映上的函数），我们就说它们有相同的 **基数**（大小）。  
实数集 $\mathbb{R}$ 和区间 $(0,1)$ 都是无限集，并且是“不可数无穷大”，属于同一个基数 $\mathfrak{c}$（连续统基数）。 我们可以构造一个具体的双射：

### 方法 1：通过一个简单双射
考虑函数  
$$
f: (0,1) \to \mathbb{R}
$$
$$
f(x) = \tan\left(\pi x - \frac{\pi}{2}\right)
$$
- 当 $x \to 0^+$，$\pi x - \pi/2 \to -\pi/2$，$\tan \to -\infty$  
- 当 $x \to 1^-$，$\pi x - \pi/2 \to \pi/2$，$\tan \to +\infty$  
- 在 $(0,1)$ 内，$\pi x - \pi/2$ 单调递增地从 $-\pi/2$ 到 $\pi/2$，$\tan$ 单调递增地覆盖全部实数。

因此 $f$ 是双射。

### 方法 2：几何直观
也可以通过图形伸缩和平移来理解：  
先把 $(0,1)$ 拉伸成 $(-\pi/2, \pi/2)$（线性映射），再用 $\tan$ 映射到 $\mathbb{R}$。参考下图，对于函数
$ f(x) = \tan\left(\pi x - \frac{\pi}{2}\right) $
当$x \in (0,1)$，值域 $f(x) \in (-\infty, +\infty)$

![img-text](/uploads/2024-09/0d4b62.svg)

这表明对$R$的研究，只要映射到$(0,1)$即可

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