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可列集

定义1．11 与自然数集 $N$ 对等的集合称为可列集．
定理1．5 每个无穷集必包含一个可列子集．
证明 设 $A$ 为无穷集，则存在 $a_0 \in A$ ，而 $A \backslash\left\{a_0\right\}$ 非空，因此又存在 $a_1 \in$ $A \backslash\left\{a_0\right\}$ ，且 $A \backslash\left\{a_0, a_1\right\}$ 非空．重复以上推理即可见，存在可列子集 $\left\{a_0, a_1, a_2, \cdots\right.$ ， $a_k, \cdots \mid \subset A . \square$

定理1．6 $A$ 为无穷集的充分必要条件是 $A$ 与自己的某个真子集对等．
证明 必要性．设 $A$ 为无穷集，则存在 $a_0 \in A$ ，而 $A_0=A \backslash\left\{a_0\right\}$ 仍为无穷集，故由前一定理，存在可列子集 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_k, \cdots\right\} \subset A_0$ ．作映射 $f: A_0 \rightarrow A$ 如下，对于任意 $x \in A_0$ ，令

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
a_{j-1}, & x=a_j(j=1,2, \cdots), \\
x, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$

显然是 $A_0$ 到 $A$ 的一一映射，故 $A \sim A_0$ ，而 $A_0$ 是 $A$ 的真子集．
充分性显然，因为有限集不可能与它的任何真子集对等．
推论 若 $A$ 是无穷集，$B$ 是可列集，$A \cup B \sim A$ ．
证明留给读者。
知道了无穷集的这个特性，现在我们自然地可以认为，如果 $X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，但不与 $Y$ 本身对等，则 $X$ 的元素少于 $Y$ 的元素．然而对此还会有以下疑问：

问题 1 是否可能有不对等的两个集合 $X$ 与 $Y, X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，
同时 $Y$ 又与 $X$ 的一个真子集对等．如果可能，岂不是 $X$ 的元素少于 $Y$ 的元素，同时 $Y$ 的元素又少于 $X$ 的元素，这就有矛盾了。

问题 2 一个无穷集可以对等于它的真子集，因此，给一个集合增加一些新元素，结果可能得到的还是元素与原来＂一样多＂的集合．那么，是否真正存在不同的无穷集 $X$ 与 $Y, Y$ 的元素比 $X$ 的多．

我们先来回答问题 1 ，答案是否定的，这就是下面的定理．
定理1．7（伯恩斯坦（Bernstein））若集合 $X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，同时 $Y$ 与 $X$ 一个真子集对等，则 $X$ 与 $Y$ 对等．

在证明之前，先分析一下证明的思想．设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 都是单映射，并且 $f(X) \neq Y, g(Y) \neq X$（否则 $f$ 或 $g$ 是 $X$ 与 $Y$ 之间的一一映射，定理成立），见图1．4．

下面我们设法由 $f, g$ 来构造 $X$ 到 $Y$ 的一个一一对应。由于 $f$ 只实现 $X$ 与 $f(X)$ 的一一对应，达不到 $X$ 与 $Y$ 的对应．只好缩小 $X$ ，考虑 $E \subset X$ ，用 $f$ 实现 $E$ 与 $f(E)$ 的对应，而用 $g$ 实现 $Y \backslash f(E)$ 与 $g(Y \backslash f(E))$ 的对应。但这时可能有 $E$ 与 $g(Y \backslash f(E))$ 相交，对应又不一一了。因此只有考虑那些使 $E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing$的 $E$（见图1．5），但这时 $E \cup g(Y \backslash f(E))$ 又可能填不满 $X$ 。解决的办法是考虑具有上述性质的 $E$ ，然后尽量扩大它，看能不能最后达到 $E \cup g(Y \backslash f(E))$ 填满了 $X$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/775a33.jpg)
 
 证明 设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 都是单射，且 $f(X) \neq Y, g(Y) \neq X$ ．考虑集合族

$$
\Gamma=\{E \mid E \subset X, E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing\}
$$

令

$$
A=\bigcup_{E \in \Gamma} E \text {, }
$$

我们来证明 $A \in \Gamma$ ．事实上，对任意 $E \in \Gamma$ 有 $E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing$ ，由于 $f(E) \subset$ $f(A)$ ，可知

$$
E \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

因此

$$
\left(\bigcup_{E \in \Gamma} E\right) \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing \text {, }
$$

即

$$
A \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

故 $A \in \Gamma$ ，因而按包含关系来说，在 $\Gamma$ 这一族集合中 $A$ 是最大的．下面证明

$$
A \cup g(Y \backslash f(A))=X
$$

用反证法，如果不然，则存在 $x_0 \in X$ ，使得 $x_0 \notin A \cup g(Y \backslash f(A))$ ，即有 $x_0 \notin A$ 且 $x_0 \notin g(Y \backslash f(A))$ 。这时必有 $A_0=\left\{x_0\right\} \cup A \in \Gamma$ ，即在 $\Gamma$ 中 $A$ 不是最大的．这是因为，由 $x_0 \notin A$ 知 $f\left(x_0\right) \notin f(A)$ ，故 $f\left(x_0\right) \in Y \backslash f(A)$ ，从而由 $A \subset A_0$ 以及

$$
A \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

知

$$
A \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

而显然

$$
\left\{x_0\right\} \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

联合这两个式子便得

$$
\left(A \cup\left\{x_0\right\}\right) \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

这就证明了 $A_0 \in \Gamma$ ．但这与 $A$ 是集族 $\Gamma$ 中最大的集合矛盾，从而（2）式成立．现在定义

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x \in A \\
g^{-1}(x), & x \in g(Y \backslash f(A))
\end{array}\right.
$$

则 $F$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一一映射．
例 $11[-1,1] \sim(-1,1)$ ．
证明 取 $f(x)=x / 2(x \in[-1,1])$ ，则 $f:[-1,1] \rightarrow[-1 / 2,1 / 2]$ 是一一映射，而 $[-1 / 2,1 / 2] \subset(-1,1)$ ，又取 $g(y)=y(y \in(-1,1))$ ，则 $g:(-1,1)$ $\rightarrow(-1,1)$ 也是一一映射．故根据 Bernstein 定理，知 $[-1,1] \sim(-1,1)$ ．

读者可试着真正找出一个 $[-1,1]$ 与 $(-1,1)$ 的一一对应关系．
现在可以根据前面关于集合元素多少的讨论给出正式的定义。
定义 1.12 若 $A \sim B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 有相同的基数，记为 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ；若 $A$ 与 $B$ 的某个真子集对等，但不与 $B$ 本身对等，则称 $A$ 的基数小于 $B$ 的基数（或 $B$ 的基数大于 $A$ 的基数），记为 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$（或 $\overline{\bar{B}}>\overline{\bar{A}}$ ）。

与数的不等关系类似，$\overline{\bar{A}} \leqslant \overline{\bar{B}}$ 的意思是 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$ 或 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ，即 $A$ 与 $B$ 的一个子集对等。

集合的基数是自然数的推广，它描述（或表示）集合具有多少元素．对于有限集（包括空集），它就是这个集合的元素个数，即某个自然数．例如，$\overline{\bar{\varnothing}}=0$ ，又若 $A=\{a, b, c\}$ ，则 $\overline{\bar{A}}=3$ ．对于无穷集，基数代表所有与此集合对等的集合的共同属性（元素的多少相同）。按此定义，基数可以比较大小，并且这种大小关系显然满足传递律：若 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$ 且 $\overline{\bar{B}}<\overline{\bar{C}}$ ，则 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{C}}$ ．Bernstein 定理告诉我们，不存在 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$
而同时 $\overline{\bar{B}}<\overline{\bar{A}}$ 的这种可能，或者说，若 $\overline{\bar{A}} \leqslant \overline{\bar{B}}$ 又 $\overline{\bar{B}} \leqslant \overline{\bar{A}}$ ，则 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ，这就回答了问题 1 ．

下面再来讨论问题 2 ，即是否所有无穷集的基数都相同．
由定理 1.5 看到，从包含关系来说，可列集是最简单的无穷集，其基数也就应是最小的无穷基数，现在把它记为 $N _0$（读作阿列夫（Aleph）零）．下面先讨论一下可列集的运算性质，看运算结果是否仍然可列．

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