最后更新: 2025-11-20 20:18 查看: 210 次纠错评论(0) 课件开VIP

伯恩斯坦Bernstein定理★★★★★

## 伯恩斯坦Bernstein定理
上一节介绍了无穷集的一个特性：**如果集合$A$与他的子集一一对应则$A$是无穷集**。现在我们自然地可以认为，如果 $X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，但不与 $Y$ 本身对等，则 $X$ 的元素少于 $Y$ 的元素．然而对此还会有以下疑问：

**问题1** 是否可能有不对等的两个集合 $X$ 与 $Y, X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，同时 $Y$ 又与 $X$ 的一个真子集对等．如果可能，岂不是 $X$ 的元素少于 $Y$ 的元素，同时 $Y$ 的元素又少于 $X$ 的元素，这就有矛盾了。

**问题2** 一个无穷集可以对等于它的真子集，因此，给一个集合增加一些新元素，结果可能得到的还是元素与原来＂一样多＂的集合．那么，是否真正存在不同的无穷集 $X$ 与 $Y, Y$ 的元素比 $X$ 的多．

我们先来回答问题 1 ，答案是否定的，这就是下面的伯恩斯坦定理．

> 为了方便解释先给出2个定义：
**定义1**  若 $A$ 和 $B$ 对等，则称它们有相同的基数，记为 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ．
**定义2** 设 $A, B$ 是两个集合，如果 $A$ 不与 $B$ 对等，但存在 $B$的真子集 $B^*$ ，有 $A \sim B^*$ ，则称 $A$ 比 $B$ 有较小的基数（或 $B$ 比 $A$有较大的基数）并记为 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$（或 $\overline{\bar{B}}>\overline{\bar{A}}$ ）．

## 伯恩斯坦定理
**定理1.7 (伯恩斯坦（Bernstein))**  若集合 $X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，同时 $Y$ 与 $X$ 一个真子集对等，则 $X$ 与 $Y$ 对等．

注 利用基数的说法更容易理解。即：设 $\overline{\bar{X}} \leqslant \overline{\bar{Y}}, \overline{\bar{Y}} \leqslant \overline{\bar{X}}$ 则 $\overline{\bar{X}}=\overline{\bar{Y}}$ ．

**分析**：在证明之前，先分析一下证明的思想．设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 都是单映射，并且 $f(X) \neq Y, g(Y) \neq X$（否则 $f$ 或 $g$ 是 $X$ 与 $Y$ 之间的一一映射，定理成立），见下左图

![图片](/uploads/2025-11/4caf41.jpg){width=600px}

下面我们设法由 $f, g$ 来构造 $X$ 到 $Y$ 的一个一一对应。由于 $f$ 只实现 $X$ 与 $f(X)$ 的一一对应，达不到 $X$ 与 $Y$ 的对应．只好缩小 $X$ ，考虑 $E \subset X$ ，用 $f$ 实现 $E$ 与 $f(E)$ 的对应，而用 $g$ 实现 $Y \backslash f(E)$ 与 $g(Y \backslash f(E))$ 的对应。但这时可能有 $E$ 与 $g(Y \backslash f(E))$ 相交，对应又不一一了。因此只有考虑那些使 $E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing$的 $E$（见图1．5），但这时 $E \cup g(Y \backslash f(E))$ 又可能填不满 $X$ 。解决的办法是考虑具有上述性质的 $E$ ，然后尽量扩大它，看能不能最后达到 $E \cup g(Y \backslash f(E))$ 填满了 $X$ ．
 
 
 **证明** 设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 都是单射，且 $f(X) \neq Y, g(Y) \neq X$ ．考虑集合族

$$
\Gamma=\{E \mid E \subset X, E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing\}
$$

令

$$
A=\bigcup_{E \in \Gamma} E \text {, }
$$

我们来证明 $A \in \Gamma$ ．事实上，对任意 $E \in \Gamma$ 有 $E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing$ ，由于 $f(E) \subset$ $f(A)$ ，可知

$$
E \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

因此

$$
\left(\bigcup_{E \in \Gamma} E\right) \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing \text {, }
$$

即

$$
A \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

故 $A \in \Gamma$ ，因而按包含关系来说，在 $\Gamma$ 这一族集合中 $A$ 是最大的．下面证明

$$
A \cup g(Y \backslash f(A))=X ...(2)
$$

用反证法，如果不然，则存在 $x_0 \in X$ ，使得 $x_0 \notin A \cup g(Y \backslash f(A))$ ，即有 $x_0 \notin A$ 且 $x_0 \notin g(Y \backslash f(A))$ 。这时必有 $A_0=\left\{x_0\right\} \cup A \in \Gamma$ ，即在 $\Gamma$ 中 $A$ 不是最大的．这是因为，由 $x_0 \notin A$ 知 $f\left(x_0\right) \notin f(A)$ ，故 $f\left(x_0\right) \in Y \backslash f(A)$ ，从而由 $A \subset A_0$ 以及

$$
A \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

知

$$
A \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

而显然

$$
\left\{x_0\right\} \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

联合这两个式子便得

$$
\left(A \cup\left\{x_0\right\}\right) \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

这就证明了 $A_0 \in \Gamma$ ．但这与 $A$ 是集族 $\Gamma$ 中最大的集合矛盾，从而（2）式成立．现在定义

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x \in A \\
g^{-1}(x), & x \in g(Y \backslash f(A))
\end{array}\right.
$$

则 $F$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一一映射．

**定理的特例**：设集合 $A, B, C$ 满足下述关系：
$$
C \subset A \subset B .
$$

若 $B \sim C$ ，则 $B \sim A$ ．

### 理解伯恩斯坦定理
伯恩斯坦定理说的是：如果集合A的元素“不多于”集合B的元素，同时集合B的元素也“不多于”集合A的元素，那么集合A和集合B的元素数量“相等”。
这里的“不多于”和“相等”不是在指有限的个数，而是指集合的势，即无限集合的大小。

这个定理最早由康托提出，但他未能给出严格证明。 后来由德国数学家费利克斯·伯恩斯坦和恩斯特·施勒德尔独立证明了它（约在1896-1897年）。这也是为什么它有时被称为Cantor-Bernstein-Schröder定理

> **这个定理的伟大之处在于，其实，直接证明两个无穷集合相等并不容易，但是这个定义定理我们：它允许我们无需直接构造复杂的双射，就能证明两个集合等势。我们只需要分别找到两个方向的两个单射就可以了，这通常比直接找一个双射要简单得多。**

请看下面例题

`例` 证明： $[-1,1] \sim (-1,1)$ ．

分析：**从直觉上看， $[-1,1]$ 包含了端点，而 $(-1,1)$ 并不包含断点，所以会让人感觉$[-1,1]$的基比$(-1,1)$大一点点 ，但是，对于无穷集合不能靠感觉，需要根据定义，看看能不能找到映射**

证明：记集合$X=[-1,1]$,集合$Y=(-1,1)$
① $ \Rightarrow $ 我们找一个映射 $f(x)= \frac{x}{2}, (x \in[-1,1])$ ，则 $f:[-1,1] \rightarrow[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 是一一映射，而 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2} ] \subset(-1,1)$ . **这就说明$X$里的每个元素都和$Y$的一个子集$ [-\frac{1}{2},\frac{1}{2} ] $ 一一映射**。

② $ \Leftarrow $ 取 $g(y)=y,(y \in(-1,1))$ ，则 $g:(-1,1)$ $\rightarrow(-1,1)$ 也是一一映射． 而$(-1,1) \subset [-1,1]$, **这就说明$Y$里的每个元素都和$X$的一个子集$ (-1,1) $ 一一映射**。

$X$和$Y$的一个子集一一映射，$Y$和$X$的一个子集一一映射，故根据 Bernstein 定理，知 $[-1,1] \sim(-1,1)$ 等势。

证毕

我们可试着真正找出一个 $[-1,1]$ 与 $(-1,1)$ 的一一对应关系．

`例`  $ [-1,1] \sim \mathbf{R}$ ．这是因为已知 $(-1,1) \sim \mathbf{R}$ ，利用上面的推论，则有

$$
(-1,1) \subset[-1,1] \subset \mathbf{R} .
$$

如果我们要直接建立 $[-1,1]$ 与 $\mathbf{R}$ 之间的一一对应关系，就会比较烦琐些．至少用一个连续函数来表达是不可能的，因为闭区间上的连续函数之值域仍为一个闭区间．

事实上，通过$y=tan x$ 可以知道 $(-1,1)$和R建立了一一映射关系，但是直接使用 $[-1,1]$和R建立了一一映射关系比较难。

## 例题

`例` 我们来证明自然数集 $\mathbb{N}$ 和整数集 $\mathbb{Z}$ 是等势的。

1.  **证明 |$\mathbb{N}$| ≤ |$\mathbb{Z}$|**:
    *   构造一个单射 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$。令 $f(n) = n$（把自然数映射成非负整数）。
    *   这显然是一个单射，因为不同的自然数映射到不同的整数。
    *   所以，$|\mathbb{N}| \leq |\mathbb{Z}|$.

2.  **证明 |$\mathbb{Z}$| ≤ |$\mathbb{N}$|**:
    *   构造一个单射 $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$。我们可以这样定义：
        $$
        g(z) = \begin{cases}
        2z, & \text{如果 } z \ge 0 \\
        -2z - 1, & \text{如果 } z < 0
        \end{cases}
        $$
    *   这个函数把非负整数映射成偶数（0, 2, 4, ...），把负整数映射成奇数（1, 3, 5, ...）。它也是一个单射。
    *   所以，$|\mathbb{Z}| \leq |\mathbb{N}|$.

3.  **应用伯恩斯坦定理**:
    *   由于我们既证明了 $|\mathbb{N}| \leq |\mathbb{Z}|$，又证明了 $|\mathbb{Z}| \leq |\mathbb{N}|$，根据伯恩斯坦定理，我们得出结论：
        $$
        |\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}|
        $$
    *   也就是说，自然数和整数可以一一对应，它们是“一样多”的。

（你可以尝试写出这个双射：0->0, 1->-1, 2->1, 3->-2, 4->2, ...）

**伯恩斯坦定理是集合论中比较两个无限集大小的基石工具。** 它告诉我们“势”的概念在比较无限集时是良序的——不可能出现A比B小，同时B又比A小这种矛盾的情况。它极大地简化了证明两个无限集等势的过程，在数学的许多领域都有深远的影响。

## 基数
**定义1.12** 若 $A \sim B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 有相同的基数，记为 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ；若 $A$ 与 $B$ 的某个真子集对等，但不与 $B$ 本身对等，则称 $A$ 的基数小于 $B$ 的基数（或 $B$ 的基数大于 $A$ 的基数），记为 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$（或 $\overline{\bar{B}}>\overline{\bar{A}}$ ）。

与数的不等关系类似，$\overline{\bar{A}} \leqslant \overline{\bar{B}}$ 的意思是 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$ 或 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ，即 $A$ 与 $B$ 的一个子集对等。

集合的基数是自然数的推广，它描述（或表示）集合具有多少元素．对于有限集（包括空集），它就是这个集合的元素个数，即某个自然数．例如，$\overline{\bar{\varnothing}}=0$ ，又若 $A=\{a, b, c\}$ ，则 $\overline{\bar{A}}=3$ ．对于无穷集，基数代表所有与此集合对等的集合的共同属性（元素的多少相同）。按此定义，基数可以比较大小，并且这种大小关系显然满足传递律：若 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$ 且 $\overline{\bar{B}}<\overline{\bar{C}}$ ，则 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{C}}$ ．Bernstein 定理告诉我们，不存在 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$
而同时 $\overline{\bar{B}}<\overline{\bar{A}}$ 的这种可能，或者说，若 $\overline{\bar{A}} \leqslant \overline{\bar{B}}$ 又 $\overline{\bar{B}} \leqslant \overline{\bar{A}}$ ，则 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ，这就回答了问题 1 ．

下面再来讨论问题 2 ，即是否所有无穷集的基数都相同．

由定理 1.5 看到(定理1.5说每个无穷集必有一个可列集），从包含关系来说，**可列集是最简单的无穷集，其基数也就应是最小的无穷基数**，现在把它记为 **$N_0$（读作阿列夫（Aleph）零)**

## 伯恩斯坦集证法2

> 以下证明伯恩斯坦集来自《实变函数与泛函分析基础》程其襄

**定理伯恩斯坦（Bernstein）定理** 设 $A, B$ 是两个非空集合．如果 $A$ 对等于 $B$ 的一个子集，$B$ 又对等于 $A$ 的一个子集，那么 $A$ 对等于 $B$ ．

注 利用基数的说法是：设 $\overline{\bar{A}} \leqslant \overline{\bar{B}}, \overline{\bar{B}} \leqslant \overline{\bar{A}}$ 则 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ．
证明 由假设，存在 $A$ 到 $B$ 的子集 $B_1$ 上的一一映射 $\varphi_1$ 及 $B$ 到 $A$ 的子集 $A_1$ 上的一一映射 $\varphi_2$ 。因为 $B_1 \subset B$ ，记 $A_2=\varphi_2\left(B_1\right)$ 。显然 $\varphi_2$ 是 $B_1$ 到 $A_2$ 上的一一映射，即

$$
A \stackrel{\varphi_1}{\sim} B_1 \stackrel{\varphi_2}{\sim} A_2,
$$

并且 $A_2 \subset A_1$ ．作映射 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 的复合映射 $\varphi$ 如下：当 $x \in A$ 时，$\varphi(x)= \varphi_2\left(\varphi_1(x)\right)$ 。那么 $\varphi$ 实现了 $A$ 到 $A_2$ 上的一一对应。因为 $A_1$ 是 $A$ 的子集， $A_3=\varphi\left(A_1\right)$ 是 $A_2$ 的子集，所以

$$
A_1 \stackrel{\varphi}{\sim} A_3
$$

并且 $A_3 \subset A_2$ ．（图1．5）

![图片](/uploads/2025-11/3f1645.jpg)
 
 
 照这样进行下去，我们得到一列子集：

$$
A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots .
$$

于是在同一个映射 $\varphi$ 之下，有

$$
\begin{aligned}
& A \sim A_2 \sim A_4 \sim \cdots, \\
& A_1 \sim A_3 \sim A_5 \sim \cdots .
\end{aligned}
$$

这样我们可以把 $A$ 分解为一系列互不相交的子集的并：

$$
A=\left(A-A_1\right) \cup A_1=\left(A-A_1\right) \cup\left(A_1-A_2\right) \cup A_2
$$

$$
=\left(A-A_1\right) \cup\left(A_1-A_2\right) \cup\left(A_2-A_3\right) \cup \cdots \cup D \text {, }
$$

其中 $D=A \cap A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots$ ．
类似地，$A_1=\left(A_1-A_2\right) \cup\left(A_2-A_3\right) \cup\left(A_3-A_4\right) \cup \cdots \cup D_1$ ，其中 $D_1=A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots$ ．

易知 $D=D_1$ ，所以 $D \sim D_1$ ．又因为映射 $\varphi$ 是一一映射，容易看出：

$$
\begin{gathered}
A-A_1 \sim A_2-A_3, \\
A_1-A_2 \sim A_3-A_4, \\
\cdots \\
A_n-A_{n+1} \sim A_{n+2}-A_{n+3}, \\
\cdots
\end{gathered}
$$
显然，我们可以把 $A$ 及 $A_1$ 的上述分解写成

$$
\begin{gathered}
A=D \bigcup\left(A-A_1\right) \cup\left(A_1-A_2\right) \cup\left(A_2-A_3\right) \bigcup\left(A_3-A_4\right) \bigcup \cdots, \\
A_1=D \bigcup\left(A_2-A_3\right) \bigcup\left(A_3-A_4\right) \bigcup\left(A_4-A_5\right) \bigcup\left(A_3-A_4\right) \bigcup \cdots .
\end{gathered}
$$

它们的对应项在映射 $\varphi$ 之下是对等的，从而有 $A \sim A_1$ ．而 $A_1 \sim B$ ，所以 $A \sim B$ ．

注意，这一定理给我们提供了一个判定两个集合对等的有力工具．作为定理的应用，我们可证明如下结论．设 $A \supset B \supset C$ ，且 $A \sim C$ ，则 $A \sim B \sim C$ ．事实上，由假设知

$$
B \sim C^* \subset C \text { 及 } C \sim B^* \subset B \text {, }
$$

再由伯恩斯坦定理知 $B \sim C$ ，从而 $A \sim B$ ，故 $A \sim B \sim C$ ．

## 本节解读
这个定理听起来很高深，但它想说明的问题其实非常直观，甚至有点像“魔法”。

### 一句话通俗版

**伯恩斯坦定理告诉我们：如果你能用一个方法证明集合A不比集合B大，同时也能用另一个方法证明集合B不比集合A大，那么这两个集合其实是一样大的。**

这就像在说：如果你证明了你的钱不比我多，同时我也证明了我的钱不比你多，那么咱俩的钱肯定是一样多的。

---

### 一个生动的比喻：“旅馆房间”和“客人”

想象有两家无限大的旅馆：**“动物旅馆”**和**“植物旅馆”**。

*   **动物旅馆**的每个房间都住着一只动物（狮子、老虎、熊猫……）。
*   **植物旅馆**的每个房间都放着一株植物（橡树、敛瑰、兰花……）。

现在我们想知道，是动物的种类多，还是植物的种类多？

**第一步：证明“动物”不比“植物”多**
*   我们制定一个规则：**给每只动物分配一株它最喜欢的植物**（比如，狮子喜欢橡树，老虎喜欢敛瑰……）。
*   关键是，**不允许有两只动物喜欢同一株植物**（不能分配冲突）。
*   如果我们能成功地为每一只动物都分配到一个**独一无二的**植物，那就说明动物数量没有超过植物数量。动物旅馆的“客人”都能在植物旅馆找到专属房间。

**第二步：证明“植物”不比“动物”多**
*   我们再反过来，制定一个规则：**给每株植物分配一个最喜欢它的动物**（比如，橡树喜欢狮子，敛瑰喜欢老虎……）。
*   同样，**不允许有两株植物喜欢同一只动物**。
*   如果我们也能成功地为每一株植物都分配到一个**独一无二的**动物，那就说明植物数量也没有超过动物数量。植物旅馆的“客人”也都能在动物旅馆找到专属房间。

**伯恩斯坦定理的结论：**
既然我们已经证明了：
1.  动物数量 ≤ 植物数量
2.  植物数量 ≤ 动物数量

那么唯一的可能性就是：**动物和植物的数量是“一样多”的！**

这里的“一样多”在数学上叫做“等势”，意味着我们可以在动物和植物之间建立一个**一一对应**的关系，就像给每个客人都找到了一个完全属于自己的房间，没有空余，也没有重叠。

---

### 总结核心思想

1.  **核心比较**：定理处理的是比较两个集合（一堆东西的集合）的大小，尤其是当它们都是**无限集**时（比如所有自然数、所有实数）。
2.  **关键方法**：它不要求你直接去数（无限集也数不完），而是通过寻找两种“映射”或“配对”关系来间接比较。
    *   如果能从A到B建立一个“一对一”的映射，说明A不比B大。
    *   如果能从B到A也建立一个“一对一”的映射，说明B不比A大。
3.  **神奇结论**：当这两个条件都满足时，就必然存在一个从A到B的“一一对应”（双射），证明它们大小相等。

**一个数学上的著名例子：**
自然数（1, 2, 3, ...）和偶数（2, 4, 6, ...）谁更多？
*   自然数→偶数：每个数n乘以2，得到2, 4, 6... （一对一）
*   偶数→自然数：每个偶数除以2，得到1, 2, 3... （一对一）
根据伯恩斯坦定理，它们的大小是相等的！这正是无限集合反直觉的地方，而伯恩斯坦定理为我们提供了处理这种问题的强大工具。

希望这个解释能让你对伯恩斯坦定理有一个清晰而通俗的理解！

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