最后更新: 2025-11-20 20:18 查看: 158 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

伯恩斯坦Bernstein定理★★★★★

## 伯恩斯坦Bernstein定理
上一节介绍了无穷集的一个特性：**如果集合$A$与他的子集一一对应则$A$是无穷集**。现在我们自然地可以认为，如果 $X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，但不与 $Y$ 本身对等，则 $X$ 的元素少于 $Y$ 的元素．然而对此还会有以下疑问：

**问题1** 是否可能有不对等的两个集合 $X$ 与 $Y, X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，同时 $Y$ 又与 $X$ 的一个真子集对等．如果可能，岂不是 $X$ 的元素少于 $Y$ 的元素，同时 $Y$ 的元素又少于 $X$ 的元素，这就有矛盾了。

**问题2** 一个无穷集可以对等于它的真子集，因此，给一个集合增加一些新元素，结果可能得到的还是元素与原来＂一样多＂的集合．那么，是否真正存在不同的无穷集 $X$ 与 $Y, Y$ 的元素比 $X$ 的多．

我们先来回答问题 1 ，答案是否定的，这就是下面的伯恩斯坦定理．

> 为了方便解释先给出2个定义：
**定义1**  若 $A$ 和 $B$ 对等，则称它们有相同的基数，记为 $\overline{\bar{A}}=\overline{\bar{B}}$ ．
**定义2** 设 $A, B$ 是两个集合，如果 $A$ 不与 $B$ 对等，但存在 $B$的真子集 $B^*$ ，有 $A \sim B^*$ ，则称 $A$ 比 $B$ 有较小的基数（或 $B$ 比 $A$有较大的基数）并记为 $\overline{\bar{A}}<\overline{\bar{B}}$（或 $\overline{\bar{B}}>\overline{\bar{A}}$ ）．

## 伯恩斯坦定理
**定理1.7 (伯恩斯坦（Bernstein))**  若集合 $X$ 与 $Y$ 的一个真子集对等，同时 $Y$ 与 $X$ 一个真子集对等，则 $X$ 与 $Y$ 对等．

注 利用基数的说法更容易理解。即：设 $\overline{\bar{X}} \leqslant \overline{\bar{Y}}, \overline{\bar{Y}} \leqslant \overline{\bar{X}}$ 则 $\overline{\bar{X}}=\overline{\bar{Y}}$ ．

**分析**：在证明之前，先分析一下证明的思想．设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 都是单映射，并且 $f(X) \neq Y, g(Y) \neq X$（否则 $f$ 或 $g$ 是 $X$ 与 $Y$ 之间的一一映射，定理成立），见下左图

![图片](/uploads/2025-11/4caf41.jpg){width=600px}

下面我们设法由 $f, g$ 来构造 $X$ 到 $Y$ 的一个一一对应。由于 $f$ 只实现 $X$ 与 $f(X)$ 的一一对应，达不到 $X$ 与 $Y$ 的对应．只好缩小 $X$ ，考虑 $E \subset X$ ，用 $f$ 实现 $E$ 与 $f(E)$ 的对应，而用 $g$ 实现 $Y \backslash f(E)$ 与 $g(Y \backslash f(E))$ 的对应。但这时可能有 $E$ 与 $g(Y \backslash f(E))$ 相交，对应又不一一了。因此只有考虑那些使 $E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing$的 $E$（见图1．5），但这时 $E \cup g(Y \backslash f(E))$ 又可能填不满 $X$ 。解决的办法是考虑具有上述性质的 $E$ ，然后尽量扩大它，看能不能最后达到 $E \cup g(Y \backslash f(E))$ 填满了 $X$ ．
 
 
 **证明** 设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 都是单射，且 $f(X) \neq Y, g(Y) \neq X$ ．考虑集合族

$$
\Gamma=\{E \mid E \subset X, E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing\}
$$

令

$$
A=\bigcup_{E \in \Gamma} E \text {, }
$$

我们来证明 $A \in \Gamma$ ．事实上，对任意 $E \in \Gamma$ 有 $E \cap g(Y \backslash f(E))=\varnothing$ ，由于 $f(E) \subset$ $f(A)$ ，可知

$$
E \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

因此

$$
\left(\bigcup_{E \in \Gamma} E\right) \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing \text {, }
$$

即

$$
A \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

故 $A \in \Gamma$ ，因而按包含关系来说，在 $\Gamma$ 这一族集合中 $A$ 是最大的．下面证明

$$
A \cup g(Y \backslash f(A))=X ...(2)
$$

用反证法，如果不然，则存在 $x_0 \in X$ ，使得 $x_0 \notin A \cup g(Y \backslash f(A))$ ，即有 $x_0 \notin A$ 且 $x_0 \notin g(Y \backslash f(A))$ 。这时必有 $A_0=\left\{x_0\right\} \cup A \in \Gamma$ ，即在 $\Gamma$ 中 $A$ 不是最大的．这是因为，由 $x_0 \notin A$ 知 $f\left(x_0\right) \notin f(A)$ ，故 $f\left(x_0\right) \in Y \backslash f(A)$ ，从而由 $A \subset A_0$ 以及

$$
A \cap g(Y \backslash f(A))=\varnothing
$$

知

$$
A \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

而显然

$$
\left\{x_0\right\} \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

联合这两个式子便得

$$
\left(A \cup\left\{x_0\right\}\right) \cap g\left(Y \backslash f\left(A_0\right)\right)=\varnothing
$$

这就证明了 $A_0 \in \Gamma$ ．但这与 $A$ 是集族 $\Gamma$ 中最大的集合矛盾，从而（2）式成立．现在定义

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x \in A \\
g^{-1}(x), & x \in g(Y \backslash f(A))
\end{array}\right.
$$

则 $F$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一一映射．

**定理的特例**：设集合 $A, B, C$ 满足下述关系：
$$
C \subset A \su

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：可列集

下一篇：可列集(可数集)的性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)