最后更新: 2025-11-20 20:34 查看: 147 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

可列集(可数集)的性质

## 可列集(可数集)的性质

**定理1.8 两个可列集的并是可列集．**

证明 设 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_k, \cdots\right\}, B=\left\{b_1, b_2, \cdots, b_k, \cdots\right\}$ ．若 $A \cap B=\varnothing$ ，则

$$
A \cup B=\left\{a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots, a_k, b_k, \cdots\right\},
$$

可见 $A \cup B$ 是可列的．若 $A \cap B \neq \varnothing$ ，则在列举 $A \cup B$ 的元素时，凡是遇到前面出现过的就去掉，结果 $A \cup B$ 的元素仍可排列出来，即仍为可列集．

`例` 整数集 $Z$ 可列．
这是因为非负整数可列，又显然负整数也可列，故作为它们的并集，整数集也可列．

**定理1.9  可列个可列集的并集是可列集**．
证明 设 $A_i(i=1,2, \cdots)$ 是可列集，类似于上一定理的证明，不妨设所有的 $A_i$ 互不相交，即 $A_i \cap A_j=\varnothing(i, j=1,2, \cdots, i \neq j)$ ．记 $A_i=\left\{a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i k}, \cdots\right\}(i=$ $1,2, \cdots)$ 。

我们可以先把 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ 的全部元素写成矩阵形式（每个 $A_i$ 成一行）：
 ![图片](/uploads/2025-01/c51d2c.jpg)

然后按图中箭头所表示的次序，把这些元素排列出来，即
 $$
 \begin{aligned}
&\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i=\left\{a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{13}, a_{22}, a_{31}, a_{14}, a_{23}, a_{32}, a_{41}, \cdots\right\} .
\end{aligned}
$$

`例`全部有理数构成可列集．

证明1：我们把所有有理数按照下图所示排列成一个表格，然后沿着箭头数下去，可以看到，整个有理数是可数的。所以，全部有理数构成可列集
![img-text](/uploads/2023-12/image_20231206bc4f47e.png){width=500px}

证明2 首先证明，$[0,1)$ 中的有理数可列．这是因为，它们是零与全部真分数，可以写成

$$
\begin{array}{llll}
0 & & & \\
\frac{1}{2} & & & \\
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & & \\
\frac{1}{4} & \frac{2}{4} & \frac{3}{4} & \\
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\
 ...
\end{array}
$$

可见能排成序列（同前面一样注意，在排列的时候，去掉与前面重复的数）．
（2）由 $[0,1)$ 中的有理数可列易知，对于任意整数 $k,[k, k+1)$ 中的有理数可列．
（3）由于

$$
Q =\bigcup_{k=-\infty}^{+\infty} Q _k
$$

其中 $Q _k$ 是 $[k, k+1)$ 中的有理数集，故根据定理 1.9 知 $Q$ 可列．

`例`$ R^2$ 中的全部有理点

$$
Q ^2=\{(x, y) \mid x \in Q , y \in Q \}
$$

是可列集。
由于 $Q ^2$ 是可列个平行于 $x$ 轴的直线上的有理点集的并，所以这个例题实际上是定理 1.9 与例 13 的推论．

> **对 $n$ 用归纳法可知，对任意 $n, R ^n$ 中的有理点集是可列集**．

`例`设 $E_k(k=1,2, \cdots, n)$ 是可列集，则 $E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_n$ 的笛卡尔积是可列集，$\bigc

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