最后更新: 2025-11-10 08:49 查看: 124 次纠错评论(0) 课件开VIP

代数数与超越数

## 代数数与超越数

**定理1** 设 $A_i$ 是可数集，$i=1,2, \cdots, n$ ，则 $A=A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 是可数集．

证明 用归纳法证明．显然 $i=1$ 时，结论成立．假设已证：若 $A_i$ 是可数集，$i=1,2, \cdots, n-1$ ，则 $A=A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_{n-1}$ 是可数集．因已知 $A_n$ 可数，故可设 $A_n=\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right\}$ 。记 $\hat{A}_k=A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_{n-1} \times\left\{x_k\right\}$ ，则 $\hat{A}_k \sim A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_{n-1}, k=1,2, \cdots$ ，因此 $\hat{A}_k$是可数集．又 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n=\bigcup_{k=1}^{\infty} \hat{A}_k$ ，由定理 $4, A=A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 是可数集．

这个定理表明：如果集合$A_i$是可数集，那么他们的笛卡尔积(直积)仍然是可数集。

例如$A_1=\{自然数集\}$，$A_2=\{整数集\}$，那么$A_1 \times A_2$ 仍然是可数集。由此推出下面一个性质

`例` **证明：整系数多项式$a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n$的全体是一可数集．**

证明 对任意 $n$ ，设 $A_n$ 是 $n$ 次整系数多项式的全体组成的集合，则 $A_n=\left\{a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n\right\} \sim \mathbf{Z}_0 \times \underbrace{\mathbf{Z} \times \cdots \times \mathbf{Z}}_{n \uparrow}$ ，其中 $\mathbf{Z}_0=\mathbf{Z} \backslash\{0\}$ 和 $\mathbf{Z}$ 都是可数集，因此由定理1， $A_n$ 是可数集．从而整系数多项式的全体组成的集合 $A=\bigcup_{n=0}^{\infty} A_n$ 也是可数集。

### 理解证明思路
我们一步步推理。

1. 问题重述  
我们要证明的是：所有整系数多项式  
$$
a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1} x + a_n
$$
的全体是一个**可数集**。  
这里 $n$ 可以是任意自然数（包括 $n=0$ 的常数多项式），并且系数 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 都是整数，通常还要求 $a_0 \neq 0$ 当 $n \ge 1$ 时（否则会与低次多项式重复），但即使不要求 $a_0 \neq 0$，集合也是可数的，我们下面会说明。
 
2. 思路分析  
我们要处理的是**所有次数**的整系数多项式，而不仅仅是某一固定次数的多项式。  
设  
$$
P_n = \{\text{所有次数为 } n \text{ 的整系数多项式} \}
$$
那么全体整系数多项式集合为  
$$
P = \bigcup_{n=0}^\infty P_n
$$  
如果每个 $P_n$ 都是可数的，并且可数多个可数集的并仍是可数的，那么 $P$ 可数。

3. 证明每个 $P_n$ 可数

对于固定的 $n$，一个 $n$ 次多项式由它的系数  
$$
(a_0, a_1, \dots, a_n)
$$
唯一决定，其中 $a_0 \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$，$a_1, \dots, a_n \in \mathbb{Z}$。  
（如果允许 $a_0=0$，则它实际上是低次多项式，已经在低次集合里，所以为了避免重复计数，可以要求 $a_0 \neq 0$，但这对“可数性”没有影响，因为重复元素不影响集合的势。）

我们考虑更简单的映射：  
$$
\varphi: P_n \to \mathbb{Z}^{n+1}
$$
定义为  
$$
\varphi(a_0 x^n + \dots + a_n) = (a_0, a_1, \dots, a_n)
$$
这是一个单射（不同的多项式对应不同的系数向量）。

已知 $\mathbb{Z}$ 是可数集，那么 $\mathbb{Z}^{n+1}$ 作为有限个可数集的笛卡尔积，也是可数的。  
因此 $P_n$ 与 $\mathbb{Z}^{n+1}$ 的一个子集等势，所以 $P_n$ 至多可数。  
并且显然 $P_n$ 是无限的（例如 $x^n + k$ 对于不同整数 $k$ 给出无限多个多项式），所以 $P_n$ 是可数无限集。

4. 可数多个可数集的并

已知：
$$
P = \bigcup_{n=0}^\infty P_n
$$
每个 $P_n$ 可数，且 $n$ 跑遍自然数（可数多个指标）。  
可数多个可数集的并仍是可数的（可用对角线法列出所有元素）。

更具体地，我们可以将多项式按**高度**来排列：  
定义多项式 $a_0 x^n + \dots + a_n$ 的**高度**为  
$$
h = n + |a_0| + |a_1| + \dots + |a_n|
$$
对于每个固定的高度 $h \ge 0$，只有有限个整系数多项式满足这个高度（因为 $n \le h$，且每个 $|a_i| \le h$）。  
于是我们可以按高度 $h=0,1,2,\dots$ 枚举所有多项式，每个高度内按任意顺序排列。  
这样 $P$ 就是可数集。

5. 最终结论

因此，所有整系数多项式的全体 $P$ 是可数集。

**最终证明简述**：
1. 固定次数 $n$，整系数 $n$ 次多项式与 $\mathbb{Z}^{n+1}$ 的子集一一对应（或与 $(\mathbb{Z}\setminus\{0\}) \times \mathbb{Z}^n$ 一一对应），而 $\mathbb{Z}^{n+1}$ 可数，所以每个 $P_n$ 可数。
2. $P = \bigcup_{n=0}^\infty P_n$ 是可数多个可数集的并，因此可数。

这样我们就完成了证明。

### 推论

每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理．

> **定理2 代数数的全体成一可数集。**

## 代数数与超越数

> **所谓代数数，乃是整系数多项式的根。**

想象一下，数字世界是一个巨大的学校，里面的学生（数字）分为两个主要的班级：代数数与超越数。

### 1. 代数数

**通俗解释：** 那些“听话的”、“守规矩”的学生。他们满足一个条件：能被一个**带有整数系数**的“**方程**”管住。

**更技术一点：**
如果一个数是某个**整系数多项式方程**的根（即解），那么它就是代数数。这里有两个约束点：
①“整系数：方程里的所有数字（比如 $2, -5, 1$）都必须是整数。
②多项式方程：长得像这样的方程：$ a_n x^n + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 $

**举个例子就明白了：**

*   **有理数（分数）全是代数数。**
    *   比如数字 **1/2**，它是由方程 $ 2x - 1 = 0 $ 定义出来的。解这个方程，x 就等于 1/2。
    *   整数本身就更不用说了，比如数字 **3**，它是方程 $ x - 3 = 0 $ 的根。

*   **很多常见的无理数也是代数数。**
    *   最经典的例子是 **$\sqrt{2}$**。我们知道它约等于1.414...，是个无限不循环小数（无理数）。但它是由方程 $ x^2 - 2 = 0 $ 定义出来的。解这个方程，$x$ 就等于 $\sqrt{2}$。
    
    *   再比如 **$\sqrt[3]{5} + 1$** 这种看起来复杂的数，它也是某个更复杂的整系数方程（比如 $ (x-1)^3 = 5 $ 展开后）的根。

*   **复数也是代数数。**
      *   比如$x^2+1=0$ 他的根是$x=\pm i$ 也可以用整系数方程表示。

**比喻：**
代数数就像是乐高积木搭建的模型。给你一盒有限的、规定好的积木块（整数）和搭建规则（加、减、乘、乘方），你总能精确地搭建出这个模型。它可能很复杂，但原理上是清晰、可构造的。

---

### 2. 超越数

**通俗解释：** 那些“野生的”、“不受约束”的学生。它们非常“叛逆”，没有任何一个带有整数系数的“方程”能完全管住它们。

**更技术一点：**
一个数是超越数，它**不是**任何整系数多项式方程的根。你找不到任何一个由整数构成的方程能把它精确地定义出来。

**例子（最著名的两个）：**

1.  **π (圆周率)**：
    *   我们都知道 π ≈ 3.14159... 它代表圆的周长与直径之比。
    *   你永远无法写出一个像 $ x^3 + 2x^2 - 5x + 1 = 0 $ 这样的方程，让它的解恰好等于 π。它是“超越”于所有这类方程之上的。

2.  **e (自然常数)**：
    *   e ≈ 2.71828...，是自然对数的底，在复利计算、微积分等领域无处不在。
    *   和 π 一样，e 也无法被任何整系数多项式方程所捕获。
    
    
    
**关键特性：**

*   **超越数一定是无理数**：因为它们不能写成整数之比（有理数），也无法被简单的方程定义。
*   **但无理数不一定是超越数**：比如 $\sqrt{2}$，它是无理数，但它是代数数（因为它满足 $x^2 - 2 = 0$）。所以，超越数是无理数中“更刁钻”的那一部分。
*   **超越数“更多”**：这是一个反直觉但至关重要的结论。虽然在中学阶段我们熟悉的超越数只有 π 和 e 等少数几个，但从数学的“数量”（集合的势）上来看，**超越数比代数数要多得多、多到无穷**！实数轴上的绝大部分点，其实都是超越数。代数数相比之下，只是沧海一粟。

**比喻：**
超越数就像自然界中一片雪花的形状，或者一段海岸线的轮廓。它们无限复杂，没有任何有限的、简单的规则（方程）能够完美地描述它们。它们是数学宇宙中那片深邃、广阔且充满未知的“黑暗森林”。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：可列集(可数集)的性质

下一篇：不可数集与幂集

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)