最后更新: 2025-11-09 08:35 查看: 134 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

无最大基数定理

## 无最大基数定理
**无最大基数定理**: 任意集合$A$与其幂集$P(A)$不对等，从而 $\overline{\overline{A}}<\overline{\overline{ P(A) }} .$

证明 用反证法．如果不然，设某集合 $A$ 与其幂集 $P (A)$ 对等（由于 $\overline{\bar{\varnothing}}=$ $0<1=\overline{\overline{ P(\varnothing) } }$ ，故 $A \neq \varnothing$ ），即存在一一映射．$f: A \rightarrow P (A)$ 。作 $A$ 的子集

$$
B=\{x \in A \mid x \notin f(x)\},
$$

![图片](/uploads/2025-11/0f2746.jpg){width=300px}

由 $f$ 是 $A$ 至 $P (A)$ 的一一映射知，存在 $y \in A$ 使 $f(y)=B$ ．
这时，若 $y \in B$ ，则由 $B$ 的定义知 $y \notin f(y)=B$ ，但这与假设 $y \in B$ 矛盾；又若 $y \notin B$ ，这也就是 $y \notin f(y)$ ，按 $B$ 的定义知 $y \in B$ ，这也是不可能的．元素 $y$ 与集合 $B$ 仅有的这两种关系都不成立，说明这样的映射 $f$ 不存在，这也就证明了 $A$与 $P (A)$ 不可能对等．

然而，任意非空集 $A$ 总可以与 $P (A)$ 的一个子集对等（对于 $x \in A$ ，令 $f(x)$ $=\{x\}$ ，则 $f$ 是 $A$ 到 $P (A)$ 的单射），故总有 $\overline{\bar{A}} \leqslant \overline{\bar{P}(A)}$ ，但前面已证 $\overline{\bar{A}} \neq \overline{\bar{P}(A)}$ ，因此 $\overline{\bar{A}}<\overline{ P (A)}$ ．

这样，我们可以按基数的大小把全部无穷集分成无穷多个层次，同一层次的集合有相同的基数．基数有最小的但没有最大的，无穷集当中基数最小的是可列集．任何无穷集添加或去掉一个可列集，其基数都没有变化．

> **可列集基数 $\aleph$ 。和连续统基数 $\aleph$ 是两个最重要的无穷基数，以后会用得较多。**．

由于可数集中元素比连续基数集中元素少得多，我们通常尽可能地用可数集合交并运算代替不可数集合的交并运算。这一点，在第三章测度论中有十分重要的应用。

`例` 设 $f(x)$ 是定义在点集 $E$ 上的函数，则

$$
\{x:|f(x)|=0\}=\bigcap_{\varepsilon \in \mathbf{R}^{+}}\{x:|f(x)|<\varepsilon\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{x:|f(x)|<\frac{1}{n}\right\} .
$$

解读： 第一项：$\{x : |f(x)| = 0\}$
这是函数 $f$ 的**零点集合**，即所有使得 $f(x) = 0$ 的 $x \in E$ 的集合。因为 $|f(x)| = 0$ 当且仅当 $f(x) = 0$。

第二项：$\bigcap_{\varepsilon > 0} \{x : |f(x)| < \v

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