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实变函数论
第一章 集合与点集
无最大基数定理
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2025-01-21 08:25
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无最大基数定理
**无最大基数定理**: 任意集合$A$与其幂集$P(A)$不对等，从而 $\overline{\bar{A}}<\overline{\overline{ P }(A)} .$ 证明 用反证法．如果不然，设某集合 $A$ 与其幂集 $P (A)$ 对等（由于 $\overline{\bar{\varnothing}}=$ $0<1=\overline{\overline{ P } \varnothing \bar{\varnothing}}$ ，故 $A \neq \varnothing$ ），即存在一一映射．$f: A \rightarrow P (A)$ 。作 $A$ 的子集 $$ B=\{x \in A \mid x \notin f(x)\}, $$ 由 $f$ 是 $A$ 至 $P (A)$ 的一一映射知，存在 $y \in A$ 使 $f(y)=B$ ． 这时，若 $y \in B$ ，则由 $B$ 的定义知 $y \notin f(y)=B$ ，但这与假设 $y \in B$ 矛盾；又若 $y \notin B$ ，这也就是 $y \notin f(y)$ ，按 $B$ 的定义知 $y \in B$ ，这也是不可能的．元素 $y$ 与集合 $B$ 仅有的这两种关系都不成立，说明这样的映射 $f$ 不存在，这也就证明了 $A$与 $P (A)$ 不可能对等． 然而，任意非空集 $A$ 总可以与 $P (A)$ 的一个子集对等（对于 $x \in A$ ，令 $f(x)$ $=\{x\}$ ，则 $f$ 是 $A$ 到 $P (A)$ 的单射），故总有 $\overline{\bar{A}} \leqslant \overline{\bar{P}(A)}$ ，但前面已证 $\overline{\bar{A}} \neq \overline{\bar{P}(A)}$ ，因此 $\overline{\bar{A}}<\overline{ P (A)}$ ． 这样，我们可以按基数的大小把全部无穷集分成无穷多个层次，同一层次的集合有相同的基数．基数有最小的但没有最大的，无穷集当中基数最小的是可列集．任何无穷集添加或去掉一个可列集，其基数都没有变化． 可列集基数 $N$ 。和连续统基数 $N$ 是两个最重要的无穷基数，以后会用得较多．
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