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聚点、内点、界点、孤立点、开核、导集、闭包

## 内点、外点、边界点
数学分析中，经常要遇到开区间 $(a, b)$ 和闭区间 $[a, b]$ 这样的点集．在实变函数论中，我们要将它们扩展为更一般的开集和闭集，并由此生成许多重要的集合类。现在我们从原始概念说起。

设 $E$ 是 $n$ 维空间 $\mathbf{R}^n$ 中的一个点集，$P_0$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中的一个定点，我们来研究 $P_0$ 与 $E$ 的关系。现在有三种互斥的情形：

第一，在 $P_0$ 的附近根本没有 $E$ 的点；
第二，$P_0$ 附近全是 $E$ 的点；
第三，$P_0$ 附近既有 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点．
针对这些情况我们给出下述定义。

**定义1** 如果存在 $P_0$ 的某一邻域 $U\left(P_0\right)$ ，使 $U\left(P_0\right) \subset E$ ，则称 $P_0$ 为 $E$ 的**内点**；

如果 $P_0$ 是 $E^c$ 的内点（这里余集是对全空间 $\mathbf{R}^n$ 来作的，即 $E^c=\mathbf{R}^n \backslash E$ ，以后仿此），则称 $P_0$ 为 $E$ 的**外点**；

如果 $P_0$ 既非 $E$ 的内点又非 $E$ 的外点，也就是：$P_0$ 的任一邻域内既有属于 $E$ 的点，也有不属于 $E$ 的点，则称 $P_0$ 为 $E$ 的**界点**或**边界点**。

上述三个概念中当然以内点最为重要，因为其他两个概念都是由此派生出来的．

上面点的关系可以用下图表示。
 ![图片](/uploads/2025-11/b11c2a.jpg){width=400px}

## 聚点、孤立点、外点
**定义** 2 设 $E$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中一点集，$P_0$ 为 $\mathbf{R}^n$ 中一定点，如果 $P_0$ 的任一邻域内都含有无穷多个属于 $E$ 的点，则称 $P_0$ 为 $E$ 的一个**聚点**。

**由聚点定义可知有限集没有聚点．**

显然 $E$ 之内点必为 $E$ 之聚点，但 $E$ 之聚点却不一定是 $E$ 的内点，因为还可能是 $E$ 的界点。其次，$E$ 之内点一定属于 $E$ ，但 $E$的聚点则可以属于 $E$ 也可以不属于 $E$ ．

**定理1 下面的三个陈述是等价的：
（1）$P_0$ 是 $E$ 的聚点；
（2）在 $P_0$ 的任一邻域内，至少含有一个属于 $E$ 而异于 $P_0$的点；
（3）存在 $E$ 中互异的点所成点列 $\left\{P_n\right\}$ ，使 $P_n \rightarrow P_0 \quad(n \rightarrow \infty)$ **

证明 由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现证由（2）推出（3）．

由假定在 $U\left(P_0, 1\right)$ 中至少有一点 $P_1$ 属于 $E$ 而异于 $P_0$ ，令 $\delta_1=\min \left\{d\left(P_1, P_0\right), \frac{1}{2}\right\}$ ，则在 $U\left(P_0, \delta_1\right)$ 中至少有一点 $P_2$ 属于 $E$而异于 $P_0$ ，令 $\delta_2=\min \left\{d\left(P_2, P_0\right), \frac{1}{3}\right\}$ ，则在 $U\left(P_0, \delta_2\right)$ 中又至少有一点 $P_3$ 属于 $E$ 而异于 $P_0$ ，这样无限继续下去，便得到点列 $\left\{P_n\right\}$ ，它显然满足要求．

再介绍一个派生的概念．

由定理 1 可知：$P_0$ 是 $E$ 的孤立点的充分必要条件是：存在 $P_0$的某邻域 $U\left(P_0\right)$ ，使 $E \cap U\left(P_0\right)=\left\{P_0\right\}$ 。

由此又知：$E$ 的界点不是聚点便是孤立点。
既然这样，所有 $\mathbf{R}^n$ 中的点，对 $E$ 来说又可分为聚点，孤立点，外点三种．故可列表如下：
 
$\mathbf{R}^n$ 中的点（对 $E$ 来说）$\left\{\begin{array}{l}\text { 内点，} \\ \text { 界点，} \\ \text { 外点 }\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\text { 聚点，} \\ \text { 孤立点，} \\ \text { 外点．}\end{array}\right.$

注意，对一个具体的点集 $E$ 来说，上述任何分类中的三种点不一定都出现．界点或聚点可以属于 $E$ ，也可以不属于 $E$ ．

**点集的两种分法**
点集的不同分法在生活中也会遇到，比如将人分为：男人和女人，也可以将人分为中国人和外国人。

![图片](/uploads/2025-11/b49b14.jpg)

通过上图可以看到，聚点比内点大了那么一点点，这个一点点就是“边界”。参考下图，内点不包括边界，而聚点包括边界。
   ![图片](/uploads/2025-11/788e78.jpg)
  
  
  
  
  
 ## 开核、导集、闭包
 根据上面引入的概念，对于一个给定的点集 $E$ ，我们可以考虑上述各种点的集合，其中重要的是下面四种。

**定义4** 设 $E$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中一个点集，有
（1）$E$ 的全体内点所成的集合，称为 $E$ 的**开核**，记为 $\stackrel{\circ}{E}$ ，即

$$
\stackrel{\circ}{E}=\{x \text { : 存在 } U(x) \subset E\} \text {; }
$$

（2）$E$ 的全体聚点所成的集合，称为 $E$ 的**导集**，记为 $E^{\prime}$ ，即 $E^{\prime}=\{x$ ：对任意 $U(x), U(x) \cap E \backslash\{x\} \neq \varnothing\} ;$

（3）$E$ 的全体界点所成的集合，称为 $E$ 的**边界**，记为 $\partial E$ ，即 $\partial E=\left\{x\right.$ ：对任意 $\left.U(x), U(x) \cap E \neq \varnothing, U(x) \cap E^c \neq \varnothing\right\}$ ；

（4）$\{E$ 的孤立点 $\}=\{x$ ：存在 $U(x), U(x) \cap E=\{x\}\}$ ．
（5）$E \cup E^{\prime}$ 称为 $E$ 的**闭包**，记为 $\bar{E}$ ，由（2），

$$
\bar{E}=\{x \text { : 对任意 } U(x), U(x) \cap E \neq \varnothing\} \text {. }
$$

由（5）还可得到

$$
\boxed{
\bar{E}=E \cup \partial E=\stackrel{\circ}{E} \cup \partial E=E^{\prime} \cup\{E \text { 的孤立点 }\}
}
$$

及闭包与内核的对偶关系：

$$
\boxed{
(\stackrel{\circ}{E})^c=\overline{E^c},(\bar{E})^c=\left(\stackrel{\circ}{E}^c\right) .
}
$$

细分上面的关系如下
 
  ![图片](/uploads/2025-11/d26bbc.jpg)
 
 
  
**定理2** 设 $A \subset B$ ，则 $A^{\prime} \subset B^{\prime}, \stackrel{\circ}{A} \subset \stackrel{\circ}{B}, \bar{A} \subset \bar{B}$ ．

**定理3** $(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$ ．
证明 因为 $A \subset A \cup B, B \subset A \cup B$ ，故从定理 2， $A^{\prime} \subset(A \cup B)^{\prime}, B^{\prime} \subset(A \cup B)^{\prime}$ 从而

$$
A^{\prime} \cup B^{\prime} \subset(A \cup B)^{\prime} .
$$

另一方面，假设 $P \in(A \cup B)^{\prime}$ ，则必有 $P \in A^{\prime} \cup B^{\prime}$ ．否则，若 $P \notin A^{\prime} \cup B^{\prime}$ ，那么将有 $P \notin A^{\prime}$ 且 $P \notin B^{\prime}$ ．因而有 $P$ 的某一邻域 $U_1(P)$ ，在 $U_1(P)$ 内除 $P$ 外不含 $A$ 的任何点，同时有 $P$ 的某一邻域 $U_2(P)$ ，在 $U_2(P)$ 内除 $P$ 外不含 $B$ 的任何点，则由邻域基本性质（3）知，存在 $U_3(P) \subset U_1(P) \cap U_2(P)$ ，在 $U_3(P)$ 中除点 $P$ 外不含 $A \cup B$ 中的任何点，这与 $P \in(A \cup B)^{\prime}$ 的假设矛盾．

下面的定理告诉我们什么时候 $E^{\prime} \neq \varnothing$ 。
**定理4［博尔扎诺一魏尔斯特拉斯（Bolzano－Weierstrass）定理**］设 $E$ 是一个有界的无限集合，则 $E$ 至少有一个聚点．

证明方法与数学分析中在 $\mathbf{R}^1$ 与 $\mathbf{R}^2$ 时的证明相同，在此略去，请读者自行给出。

**定理5** 设 $E \neq \varnothing, E \neq \mathbf{R}^n$ ，则 $E$ 至少有一界点（即 $\partial E \neq \varnothing$ ）．
证明 略．

`例` 考虑一个集合 $E = (0, 1) ∪ {2}$ 下面分析他的点集。
解： 
① 0.5 是集合的内点，也是聚点。
② 0 是集合的边界点，也是聚点（但不属于E）。
③ 2 是边界点，也是孤立点（因为属于E）。
④  3 是外点。
 
 
 
 
  
## 导集与聚点
 简单来说，**导集**是一个集合，而**聚点**是构成这个集合的元素。

下面我们来详细解释它们的定义和区别。

---

### 1. 定义

#### 聚点

设 $ A $ 是拓扑空间 $ X $ 中的一个子集，点 $ x \in X $ 称为 $ A $ 的**聚点**（或极限点），如果满足以下**等价条件**中的任意一个：

1.  **去心邻域定义**：$ x $ 的**每一个**邻域（开邻域）都至少包含 $ A $ 中一个**异于 $ x $** 的点。
    用数学语言表达就是：对于 $ x $ 的任意邻域 $ U $，有
    $$
    (U \setminus \{x\}) \cap A \neq \emptyset
    $$

2.  **闭包定义**：$ x $ 属于 $ A $ 的闭包，但 $ x $ 不一定属于 $ A $。即 $ x \in \overline{A \setminus \{x\}} $。

**核心思想**：聚点 $ x $ 是 $ A $ 中的点（或其他点）“无限靠近”的点。你可以想象在 $ x $ 的周围，无论你取多么小的一个范围，里面都挤满了 $ A $ 的点（并且至少有一个不是 $ x $ 本身）。

**例子**：
- 在实数集 $ \mathbb{R} $ 中，考虑开区间 $ A = (0, 1) $。区间内的每一个点（如 0.5）都是聚点，因为它的任何小邻域都包含 $ A $ 的其他点。此外，**端点 0 和 1 也是聚点**，因为无论你取 0 多么小的邻域 $ (-\epsilon, \epsilon) $，它都会包含 $ (0, \epsilon) $ 中的点，这些点都属于 $ A $。

#### 导集

集合 $ A $ 的**导集**，记作 $ A‘ $ 或 $ d(A) $，是指 $ A $ 的**所有聚点**构成的集合。

$$
A’ = \{ x \in X \mid x \text{ 是 } A \text{ 的聚点} \}
$$

**核心思想**：导集是聚点的“大本营”，是所有满足聚点条件的点的集合。

**例子**：
- 继续上面的例子，$ A = (0, 1) $，那么它的导集 $ A’ = [0, 1] $。
- 考虑集合 $ B = \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{Z}^+ \} $。它的聚点只有一个，就是 0。因为对于 0 的任意邻域，总能包含某个 $ \frac{1}{n} $；而对于其他点，比如 $ \frac{1}{2} $，我可以找到一个足够小的邻域，使其不包含序列中的其他点。所以，$ B’ = \{0\} $。

---

### 2. 区别与联系

我们可以用一个简单的表格来总结：

| 特征 | 聚点 | 导集 |
| :--- | :--- | :--- |
| **本质** | 一个**点** | 一个**集合** |
| **定义对象** | 针对某个集合 $ A $ 而言的**点** $ x $ | 针对某个集合 $ A $ 而言的**点的集合** |
| **关系** | 导集 $ A’ $ 中的**元素**就是聚点 | 聚点的**全体**构成了导集 $ A’ $ |
| **记号** | $ x $ 是 $ A $ 的聚点 | $ A’ $ |

**关键联系**：

1.  **闭包的定义**：一个集合 $ A $ 的闭包 $ \overline{A} $ 等于 $ A $ 与其导集的并集：
    $$
    \overline{A} = A \cup A‘
    $$
    这意味着，一个集合的闭包由两部分组成：它自己的所有点，加上它所有“无限靠近”的聚点。

2.  **闭集的定义**：一个集合是**闭集**，当且仅当它包含其所有的聚点。即：
    $$
    A \text{ 是闭集} \iff A’ \subseteq A
    $$
    这也等价于 $ A = \overline{A} $。

---

### 3. 特殊情况的辨析

理解一些特殊情况有助于加深概念：

- **孤立点**：如果 $ a \in A $，但存在 $ a $ 的一个邻域，其中除了 $ a $ 本身之外不包含 $ A $ 的任何其他点，那么 $ a $ 是 $ A $ 的一个**孤立点**。
    - **关键**：孤立点**属于 $ A $**，但**不是 $ A $ 的聚点**。
    - **例子**：$ B = \{0\} \cup \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{Z}^+ \} $。在这个集合中，每个 $ \frac{1}{n} $ 都是孤立点，因为它们都有一个小邻域不包含序列中的其他点。0 是唯一的聚点。所以 $ B’ = \{0\} $。注意，0 本身不属于 $ B $ 吗？在这个例子里，0 被我们特意加入了集合 $ B $，所以 0 是集合 $ B $ 的一个点，但它**仍然是聚点**吗？是的！因为 0 的任意邻域仍然包含了无数个 $ \frac{1}{n} $。所以一个点可以同时属于集合并且是它的聚点。

- **内点**：如果 $ a \in A $，并且存在 $ a $ 的一个邻域**完全包含于 $ A $**，则 $ a $ 是 $ A $ 的内点。
    - **关系**：内点**一定是聚点**（因为内点的邻域里全是 $ A $ 的点，当然包含异于自身的点）。但聚点不一定是内点，比如上面例子中 $ (0,1) $ 的聚点 0 和 1，就不是内点。

### 总结

你可以这样记忆：

- **聚点**是一个**身份**或**属性**，描述一个点与集合 $ A $ 的“亲近”程度。
- **导集**是一个**俱乐部**，只有拥有“聚点”这个身份的点才能加入。

所以，当有人说“x 是 A 的聚点”时，他在描述一个点的性质。当有人说“A 的导集是 [0,1]”时，他在列出所有拥有这个性质的点的名单。

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