最后更新: 2025-01-21 08:39 ● 参与者查看: 16 次纠错分享参与项目词条搜索

R上的点集

$R^n$上的点集
本书的目的就是建立 $R ^n$ 中点集的测度理论以及 $R ^n$ 上函数的 Lebesgue 积分，因此我们还要从一般集合的讨论回到 $R ^n$ 中的点集来． $R ^n$ 是一个有内积（从而有距离）的线性空间，用分析和集合论的方法去研究其中的点集，形成了丰富的理论，但是这里只准备介绍一些与我们的主题有关的内容．

按照代数的定义，一切有序（实）数组 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\left(x_i \in R , i=1\right.$ ， $2, \cdots, n$ ）的集合，在其中定义了加法，与实数的数乘及内积，就称为 $n$ 维（实）欧氏空间，记为 $R ^n$ ． $R ^n$ 的子集称为（ $n$ 维）点集，其元素称为（ $n$ 维）点（代数中称为向量）。一维欧氏空间 $R ^1$ 是实数域，即 $R ^1= R . n$ 维点集与一般集合最大的不同在于，点之间有距离，数学分析中利用它定义了 $R ^n$ 上点列和函数列的极限，在这个基础上可以进一步开展分析学和拓扑学的研究。对于 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ， $y=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right) \in R ^n$ ，它们间的距离 $d(x, y)$ 为

$$
d(x, y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-y_i\right)^2}
$$

特别 $d(x, x)=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ 称为 $x$ 的模，记作 $|x|$ ．因此，$d(x, y)=|x-y|$ ．

一类特殊的点集 $B(x, r)=\left\{y \in R ^n| | y-x \mid<r\right\}$（其中 $x \in R ^n$ 为定点，$r>$ 0 ）称为以 $x$ 为中心，$r$ 为半径的（ $n$ 维）开球，也称为 $x$ 的邻域． $\bar{B}(x, r)=$ $\left\{y \in R ^n| | y-x \mid \leqslant r\right\}\left(x, r\right.$ 同上）称为以 $x$ 为中心的闭球，点集 $\left\{y \in R ^{ B }| | y-x \mid\right.$ $=r\}=\bar{B}(x, r) \backslash B(x, r)$ 称为相应球的球面．点集 $I=\left\{x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid a_i<x_i\right.$ $\left.<b_i, i=1,2, \cdots, n\right\}$（其中所有 $a_i, b_i$ 为常数）称为（ $n$ 维）开矩体．若将 $I$ 的定义中的不等式 $a_i<x_i<b_i(i=1,2, \cdots, n)$ 全改为 $a_i \leqslant x_i \leqslant b_i$ 或 $a_i \leqslant x_i<b_i$ ，则相应的点集改称为闭矩体或半开矩体．数 $b_i-a_i(i=1,2, \cdots, n)$ 称为矩体的边长，边长全都相等的矩体称为方体。球和矩体是 $R ^n$ 中两类基本的点集，当 $n=1$ 时都是直线上的区间，因此它们都是区间的推广．对于 $R ^n$ 中的点集 $E$ ，
$$
\operatorname{diam} E=\sup \{|x-y| \mid x, y \in E\}
$$

称为 $E$ 的直径． $\operatorname{diam} E<\infty$ 时 $E$ 称为有界集； $\operatorname{diam} E=+\infty$ 时 $E$ 称为无界集．一个点集或有界或无界，非此即彼．点集 $E$ 有界的充分必要条件是，它包含在某个闭球或闭矩体内。

对于点列 $\left\{x_k\right\}_{k=1}^{\infty} \subset R ^n$ ，若存在定点 $x_0$ 使得 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left|x_k-x_0\right|=0$ ，也就是对于任意正数 $\varepsilon$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $k>N$ 时必有 $\left|x_k-x_0\right|<\varepsilon$ ，则称 $x_0$ 为这个点列的极限，记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_k=x_0$ ，并称 $\left\{x_k\right\}$ 为收敛点列．在几何上 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_k=x_0$ 是指，对于 $x_0$的任意邻域 $B\left(x_0, \varepsilon\right)(\varepsilon>0)$ ，存在正整数 $N$ ，当 $k>N$ 时，所有 $x_k$ 都跑到这个邻域中了，即 $x_k \in B\left(x_0, \varepsilon\right)$（当 $k>N$ ）．由于一个（无穷）点集包含许多不同的点列，因而可能有很多不同的子列极限，这就导致下述定义．

定义1．13 设 $E \subset R ^n, x_0$ 是 $R ^n$ 的一点（不必属于 $E$ ），若存在由互不相同的点组成的点列（以后简称为互异点列）$\left\{x_k\right\} \subset E$ ，使得 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_k=x_0$ ，则 $x_0$ 称为 $E$的聚点，$E$ 的所有聚点之集称为 $E$ 的导集，记为 $E^{\prime}$ ．$E$ 内的点若不是聚点，称为 $E$的孤立点（即 $E \backslash E^{\prime}$ 的点）．

因此，对于点集 $E$ ，点 $x$ 的任何邻域（不论半径多小）内，若除 $x$ 之外总有 $E$的点，则 $x$ 为聚点，也就是 $E$ 的子列极限．若 $x$ 属 $E$ 又不是聚点，则在 $x$ 的某邻域内，$x$ 是惟一属于 $E$ 之点，当然＂孤立＂了。

定理1．13 设 $E \subset R ^n$ ，点 $x_0 \in R ^n$ 是 $E$ 的聚点的充分必要条件是，对任意的 $\varepsilon>0$ ，开球 $B\left(x_0, \varepsilon\right)$ 含有 $E$ 的无限多点．

证明 若 $x_0$ 是 $E$ 的聚点，则存在互异点列 $\left\{x_k\right\} \subset E$ 使 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left|x_k-x_0\right|=0$ ，因此对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，使得只要 $k>N$ 就有 $\left|x_k-x_0\right|<\varepsilon$ ．也就是满足 $k>N$ 的点 $x_k$（ $E$ 的无限多点）都在开球 $B\left(x_0, \varepsilon\right)$ 之内。

反过来，因在 $B\left(x_0, 1\right)$ 内有 $E$ 的无限个点，可先在其中取一点 $x_1 \in E$ 且 $x_1$ $\neq x_0$ ，再在 $B\left(x_0, \varepsilon_2\right)\left(\varepsilon_2=\min \left(\left|x_1-x_0\right|, 1 / 2\right)\right)$ 中取一点 $x_2 \in E$ 且 $x_2 \neq x_0$ ，如此以往，对任意正整数 $k$ ，令 $\varepsilon_k=\min \left(\left|x_{k-1}-x_0\right|, 2^{-k+1}\right)$ ，总可在 $B\left(x_0, \varepsilon_k\right)$ 内取到 $x_k \neq x_0$ ，这样得到互异点列 $\left\{x_k\right\} \subset E$ ，并且 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_k=x_0$ ．因此 $x_0$ 是 $E$ 的聚点．

这个定理对判断点集的聚点很有用．由此，在聚点附近一定聚集着相应点集的无限多点，从而有限点集没有聚点．

例如，平面上的单位开圆

$$
D=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2<1\right\}
$$

它的全部聚点构成闭圆

$$
\bar{D}=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}
$$

而平面上单位正方形中的有理点集

$$
Q _0^2=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid 0 \leqslant x, y \leqslant 1, x \in Q , y \in Q \right\}
$$

的聚点构成单位闭正方形

$$
\overline{ R _0^2}=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid 0 \leqslant x, y \leqslant 1\right\},
$$

也就是说，单位闭正方形中的每一个点，不论它是不是有理点，都是 $Q _0^2$ 的聚点．请读者自己写出证明来。

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