最后更新: 2025-11-09 15:25 查看: 145 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

聚点、内点、界点、孤立点、开核、导集、闭包

## 内点、外点、边界点
数学分析中，经常要遇到开区间 $(a, b)$ 和闭区间 $[a, b]$ 这样的点集．在实变函数论中，我们要将它们扩展为更一般的开集和闭集，并由此生成许多重要的集合类。现在我们从原始概念说起。

设 $E$ 是 $n$ 维空间 $\mathbf{R}^n$ 中的一个点集，$P_0$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中的一个定点，我们来研究 $P_0$ 与 $E$ 的关系。现在有三种互斥的情形：

第一，在 $P_0$ 的附近根本没有 $E$ 的点；
第二，$P_0$ 附近全是 $E$ 的点；
第三，$P_0$ 附近既有 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点．
针对这些情况我们给出下述定义。

**定义1** 如果存在 $P_0$ 的某一邻域 $U\left(P_0\right)$ ，使 $U\left(P_0\right) \subset E$ ，则称 $P_0$ 为 $E$ 的**内点**；

如果 $P_0$ 是 $E^c$ 的内点（这里余集是对全空间 $\mathbf{R}^n$ 来作的，即 $E^c=\mathbf{R}^n \backslash E$ ，以后仿此），则称 $P_0$ 为 $E$ 的**外点**；

如果 $P_0$ 既非 $E$ 的内点又非 $E$ 的外点，也就是：$P_0$ 的任一邻域内既有属于 $E$ 的点，也有不属于 $E$ 的点，则称 $P_0$ 为 $E$ 的**界点**或**边界点**。

上述三个概念中当然以内点最为重要，因为其他两个概念都是由此派生出来的．

上面点的关系可以用下图表示。
 ![图片](/uploads/2025-11/b11c2a.jpg){width=400px}

## 聚点、孤立点、外点
**定义** 2 设 $E$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中一点集，$P_0$ 为 $\mathbf{R}^n$ 中一定点，如果 $P_0$ 的任一邻域内都含有无穷多个属于 $E$ 的点，则称 $P_0$ 为 $E$ 的一个**聚点**。

**由聚点定义可知有限集没有聚点．**

显然 $E$ 之内点必为 $E$ 之聚点，但 $E$ 之聚点却不一定是 $E$ 的内点，因为还可能是 $E$ 的界点。其次，$E$ 之内点一定属于 $E$ ，但 $E$的聚点则可以属于 $E$ 也可以不属于 $E$ ．

**定理1 下面的三个陈述是等价的：
（1）$P_0$ 是 $E$ 的聚点；
（2）在 $P_0$ 的任一邻域内，至少含有一个属于 $E$ 而异于 $P_0$的点；
（3）存在 $E$ 中互异的点所成点列 $\left\{P_n\right\}$ ，使 $P_n \rightarrow P_0 \quad(n \rightarrow \infty)$ **

证明 由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现证由（2）推出（3）．

由假定在 $U\left(P_0, 1\right)$ 中至少有一点 $P_1$ 属于 $E$ 而异于 $P_0$ ，令 $\delta_1=\min \left\{d\left(P_1, P_0\right), \frac{1}{2}\right\}$ ，则在 $U\left(P_0, \delta_1\right)$ 中至少有一点 $P_2$ 属于 $E$而异于 $P_0$ ，令 $\delta_2=\min \left\{d\left(P_2, P_0\right), \frac{1}{3}\right\}$ ，则在 $U\left(P_0, \delta_2\right)$ 中又至少有一点 $P_3$ 属于 $E$ 而异于 $P_0$ ，这样无限继续下去，便得到点列 $\left\{P_n\right\}$ ，它显然满足要求．

再介绍一个派生的概念．

由定理 1 可知：$P_0$ 是 $E$ 的孤立点的充分必要条件是：存在 $P_0$的某邻域 $U\left(P_0\right)$ ，使 $E \cap U\left(P_0\right)=\left\{P_0\right\}$ 。

由此又知：$E$ 的界点不是聚点便是孤立点。
既然这样，所有 $\mathbf{R}^n$ 中的点，对 $E$ 来说又可分为聚点，孤立点，外点三种．故可列表如下：
 
$\mathbf{R}^n$ 中的点（对 $E$ 来说）$\left\{\begin{array}{l}\text { 内点，} \\ \text { 界点，} \\ \text { 外点 }\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\text { 聚点，} \\ \text { 孤立点，} \\ \text { 外点．}\end{array}\right.$

注意，对一个具体的点集 $E$ 来说，上述任何分类中的三种点不一定都出现．界点或聚点可以属于 $E$ ，也可以不属于 $E$ ．

**点集的两种分法**
点集的不同分法在生活中也会遇到，比如将人分为：男人和女人，也可以将人分为中国人和

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