最后更新: 2025-01-21 08:41 ● 参与者查看: 28 次纠错分享参与项目词条搜索

Bolzano-Weierstrass 聚点原理与开集闭集

定理1．14（Bolzano－Weierstrass 聚点原理）$\quad R ^n$ 中的任意有界无限点集必有聚点。

证明 以 $n=2$ 为例．若 $E \subset R ^2$ 为有界无限点集，取可列集 $\left\{z_1, z_2, \cdots, z_k, \cdots\right\}$ $\subset E$ ，设 $z_k=\left(x^{(k)}, y^{(k)}\right)$ ，则 $\left\{x^{(k)}\right\} \subset R$ 为有界数列．由实数的波尔查诺－魏尔斯特拉斯（Bolzano－Weierstrass）定理，它有收敛子列 $\left\{x^{\left(k_i\right)}\right\}$ 。考虑相应的 $\left\{y^{\left(k_i\right)}\right\}$ ，它也是有界实数列，同理又有收玫子列 $\left\{y^{\left(k_{i j}\right)}\right\}$ ，则点列 $\left\{\left(x^{\left(k_{i j}\right)}, y^{\left(k_{i j}\right)}\right)\right\}$ 是 $E$ 的收敛子列，它的极限就是 $E$ 的聚点．

定义1．14 设 $E \subset R ^n$ ，对任意 $x_0 \subset R ^n$ ，若存在 $\varepsilon>0$ ，使得 $B\left(x_0, \varepsilon\right) \subset E$ ，则称 $x_0$ 为 $E$ 的内点，$E$ 的所有内点之集称为 $E$ 的内域，记为 $E^0$ ；若对于任意 $\varepsilon>0, B\left(x_0, \varepsilon\right)$ 内部既存在属于 $E$的点，也存在不属于 $E$ 的点（即 $E \cap B\left(x_0, \varepsilon\right) \neq$ $\left.\varnothing, E^c \cap B\left(x_0, \varepsilon\right) \neq \varnothing\right)$ ，则称 $x_0$ 为 $E$ 的边界点． $E$ 的所有边界点之集称为 $E$ 的边界，记为 $\partial E$（见图 1．6）．
 ![图片](/uploads/2025-01/06dc52.jpg)
 
 很明显，点集 $E$ 的内点（必属于 $E$ ）一定是
它的聚点，但聚点可能是内点，也可能是边界点（不一定属于 $E$ ）．
例如，平面上单位圆

$$
D=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2<1\right\}
$$

中每一个点都是内点，它的边界就是单位圆周．

$$
C=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2=1\right\}
$$

而平面上单位正方形中的有理点集

$$
Q _0^2=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid 0 \leqslant x, y \leqslant 1, x \in Q , y \in Q \right\}
$$

就没有内点，单位闭正方形 $\overline{ Q _0^2}$ 的每一个点都是 $Q _0^2$ 的边界点，即 $\overline{ Q _0^2}$ 是 $Q _0^2$ 的边界。

定义1．15 设 $E \subset R ^n$ ．若 $E$ 中所有的点全是内点，即 $E=E^0$ ，则 $E$ 称为开集；若 $E$ 含有它所有的聚点，即 $E^{\prime} \subset E$ ，则 $E$ 称为闭集．并集 $E \cup E^{\prime}$ 称为 $E$ 的闭包，记为 $\bar{E}$ ，即 $\vec{E}=E \cup E^{\prime}$ 。

开球，开矩体是最简单的开集；闭球，闭矩体是最简单的闭集．
定理1．15 设 $E \subset R ^n$ ，则 $E$ 为开集（闭集）的充分必要条件是 $E^e= R ^n \backslash E$ 为

闭集（开集）．
证明 必要性．设 $E$ 为开集，要证 $E^c$ 是闭集．设 $x_0$ 是 $E^c$ 的任意一个聚点，则在 $x_0$ 的任意邻域 $B\left(x_0, r\right)(r>0)$ 内总有 $E^c$ 的点，因此 $x_0$ 不可能是 $E$ 的内点，故 $x_0 \in E^c$ ，即 $E^c$ 是闭集．

充分性．设 $E$ 为闭集，要证 $E^c$ 为开集．设 $x_0 \in E^c$ ，则 $x_0$ 不可能是 $E$ 的聚点，即存在 $r>0$ ，使得 $x_0$ 的邻域 $B\left(x_0, r\right)$ 中不含 $E$ 的点．因此 $B\left(x_0, r\right)$ 中的点都是 $E^c$的点，即 $x_0$ 是 $E^c$ 的内点，故 $E^c$ 为开集．

根据定义，知 $R ^n$ 本身既是开集也是闭集．因此，我们规定，空集（ $R ^n$ 的余集）既是开集，也是闭集。

定理1．16 任意有限个开（闭）集的并与交仍是开（闭）集。
证明 只需证两个集合的情形，其余的只要用归纳法．设 $A, B$ 是 $R ^n$ 的开集．对任意的 $x_0 \in A \cup B$ ，则 $x_0 \in A$ 或 $x_0 \in B$ ．不妨设 $x_0 \in A$ ．这时存在 $r>0$ ，使得 $x_0$ 的邻域 $B\left(x_0, r\right) \subset A$ ，从而 $B\left(x_0, r\right) \subset A \cup B$ ．故 $x_0$ 是 $A \cup B$ 的内点，于是 $A \cup$ $B$ 是开集．

另外，对任意 $x_0 \in A \cap B$ ，这时 $x_0 \in A$ 且 $x_0 \in B$ ．因此存在 $r_1>0, r_2>0$ ，使 $B\left(x_0, r_1\right) \subset A, B\left(x_0, r_2\right) \subset B$ ．令 $r=\min \left(r_1, r_2\right)$ ，则 $B\left(x_0, r\right) \subset A \cap B$ ，故 $x_0$ 是 $A \cap B$的内点，从而 $A \cap B$ 是开集．

若 $A, B$ 是闭集，这时 $A^c, B^c$ 是开集．由已证的结论知 $A^c \cup B^c=(A \cap B)^c$ 是开集，因此 $A \cap B$ 是闭集．同理可证 $A \cup B$ 是闭集．

推论 若 $E$ 为开集，$F$ 为闭集，则 $E \backslash F$ 为开集，$F \backslash E$ 为闭集．
证明 只需注意 $E \backslash F=E \cap F^c, F \backslash E=F \cap E^c$ ，再应用前面的定理。
定理 1.17 任意个开集的并是开集，任意个闭集的交是闭集。
证明可仿照定理 1.16 ，请读者把它们写出来。
注意无穷个开集的交可能不是开集，无穷个闭集的并可能不是闭集．例如在 $R ^1$ 中，$(-1 / k, 1 / k)$ 是开集，但 $\bigcap_{k=1}^{\infty}(-1 / k, 1 / k)=\{0\}$ 不是开集；$[1 / k, 1-1 / k]$是闭集，但 $\bigcup_{k=2}^{\infty}[1 / k, 1-1 / k]=(0,1)$ 不是闭集．

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