最后更新: 2025-11-20 20:47 查看: 193 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Bolzano-Weierstrass 波尔查诺-威尔斯特拉斯聚点原理

## 极限无穷大有什么意义
先补充一个额外小知识，对于一个数列极限，如果极限是一个确定的数，那么这个数列是有界的，但是如果这个极限是无穷大，我们仍然称呼他是有界的，只是这个“界”是无穷大，既然是无穷大为什么还要说他是有界的呢？ 极限无穷大分为正无穷与负无穷。 **极限为无穷大的意义，在于它精确地描述了一种“单向的、无界的”增长或减少趋势。它赋予了“发散”一种明确的结构和方向，是数学分析中用来刻画函数和序列渐近行为的一个强大而基本的工具。**

在严格的数学语境下，我们说“极限存在”通常指的是极限是一个**有限的实数**。因此，如果 $ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty $，我们更精确的说法是“**该数列的极限不存在（为有限实数），而是发散至无穷**”。
但这只是一种术语上的约定。说“极限是无穷大”本身就是一个非常有价值且被广泛使用的陈述。

## 定理 Bolzano－Weierstrass 聚点原理  
**(Bolzano－Weierstrass 波尔查诺-威尔斯特拉斯 聚点原理)**   $R ^n$ 中的任意有界无限点集必有聚点(极限点)。

**证明** 以 $n=2$ 为例．若 $E \subset R ^2$ 为有界无限点集，取可列集 $\left\{z_1, z_2, \cdots, z_k, \cdots\right\}$ $\subset E$ ，设 $z_k=\left(x^{(k)}, y^{(k)}\right)$ ，则 $\left\{x^{(k)}\right\} \subset R$ 为有界数列．由实数的波尔查诺－魏尔斯特拉斯（Bolzano－Weierstrass）定理，它有收敛子列 $\left\{x^{\left(k_i\right)}\right\}$ 。考虑相应的 $\left\{y^{\left(k_i\right)}\right\}$ ，它也是有界实数列，同理又有收敛子列 $\left\{y^{\left(k_{i j}\right)}\right\}$ ，则点列 $\left\{\left(x^{\left(k_{i j}\right)}, y^{\left(k_{i j}\right)}\right)\right\}$ 是 $E$ 的收敛子列，它的极限就是 $E$ 的聚点．

这个定理在《数学分析》里的意思是：**任何有界数列，一定存在有收敛的子数列**

![图片](/uploads/2025-11/81214d.jpg){width=400px}
 
 因为实数只是在一维方向上，而在《实变函数》里延伸到多维方向上。即  **$R^n$ 中任一有界无限点集E至少有一个聚点**。

## 理解：Bolzano-Weierstrass 聚点原理

一句话概括**一个拥挤的广场上，只要人数无限多，再乱也至少有一个“人气中心”。**

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### 详细通俗解释

想象一个场景：

**场景：一个有限的操场**

*   **条件1 - “有界”/“有限”**：你有一个**有限的**操场（比如一个标准的400米环形跑道围起来的区域）。这个操场再大，也有边界，人不能跑到无限远的地方去。这就对应了数学中的 **“有界”**。
*   **条件2 - “无限”**：现在，有**无限多**

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