最后更新: 2025-03-20 09:13 查看: 101 次反馈刷题

波尔查诺-魏尔斯特拉斯 Bolzano-Weierstrass 聚点原理

## 定理1.14 Bolzano－Weierstrass 聚点原理  
$R ^n$ 中的任意有界无限点集必有聚点(极限点)。

**证明** 以 $n=2$ 为例．若 $E \subset R ^2$ 为有界无限点集，取可列集 $\left\{z_1, z_2, \cdots, z_k, \cdots\right\}$ $\subset E$ ，设 $z_k=\left(x^{(k)}, y^{(k)}\right)$ ，则 $\left\{x^{(k)}\right\} \subset R$ 为有界数列．由实数的波尔查诺－魏尔斯特拉斯（Bolzano－Weierstrass）定理，它有收敛子列 $\left\{x^{\left(k_i\right)}\right\}$ 。考虑相应的 $\left\{y^{\left(k_i\right)}\right\}$ ，它也是有界实数列，同理又有收敛子列 $\left\{y^{\left(k_{i j}\right)}\right\}$ ，则点列 $\left\{\left(x^{\left(k_{i j}\right)}, y^{\left(k_{i j}\right)}\right)\right\}$ 是 $E$ 的收敛子列，它的极限就是 $E$ 的聚点．

## 通俗理解聚点原理

①想象在一条直线上分布着无数个点（如密集的钉子），聚点就是这样一个位置：无论你把放大镜（邻域）聚焦得多小，总能看到无数个钉子。例如，数列 1,0,1,0,1,0… 的聚点是 0 和 1，因为无论靠近哪个点，另一侧的点仍会“挤进来”

②有的序列可以有多个聚点。例如，实数序列

$$
\left\{x_n\right\}=\frac{1}{3},-\frac{2}{4}, \frac{3}{5},-\frac{4}{6}, \frac{5}{7},-\frac{6}{8}, \ldots
$$

就有两个聚点 1 和 -1 ．当序列的极限存在时，序列的极限是此序列的唯一聚点。

③规定在一个数列中如有某数重复出现无穷多次，则该数也看作数列的聚点，例如数列 $1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{3}, 1, \frac{1}{4}, \ldots$ ，中 0是一个聚点，由于 1 在数列中出现无穷多次，故 1 也是聚点。按照这个规定，显然任何有界无穷数列必至少有一个聚点 。

## 定义
定义1.14 设 $E \subset R ^n$ ，对任意 $x_0 \subset R ^n$ ，若存在 $\varepsilon>0$ ，使得 $B\left(x_0, \varepsilon\right) \subset E$ ，则称 $x_0$ 为 $E$ 的内点，$E$ 的所有内点之集称为 $E$ 的内域，记为 $E^0$ ；若对于任意 $\varepsilon>0, B\left(x_0, \varepsilon\right)$ 内部既存在属于 $E$的点，也存在不属于 $E$ 的点（即 $E \cap B\left(x_0, \varepsilon\right) \neq$ $\left.\varnothing, E^c \cap B\left(x_0, \varepsilon\right) \neq \varnothing\right)$ ，则称 $x_0$ 为 $E$ 的边界点． $E$ 的所有边界点之集称为 $E$ 的边界，记为 $\partial E$（见图 1．6）．
 ![图片](/uploads/2025-01/06dc52.jpg)
 
 很明显，点集 $E$ 的内点（必属于 $E$ ）一定是
它的聚点，但聚点可能是内点，也可能是边界点（不一定属于 $E$ ）．
例如，平面上单位圆

$$
D=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2<1\right\}
$$

中每一个点都是内点，它的边界就是单位圆周．

$$
C=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x^2+y^2=1\right\}
$$

而平面上单位正方形中的有理点集

$$
Q _0^2=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid 0 \leqslant x, y \leqslant 1, x \in Q , y \in Q \right\}
$$

就没有内点，单位闭正方形 $\overline{ Q _0^2}$ 的每一个点都是 $Q _0^2$ 的边界点，即 $\overline{ Q _0^2}$ 是 $Q _0^2$ 的边界。

## 意义
聚点是拓扑空间的基本概念之一。设$A$为拓扑空间$X$的子集，$a∈X$，若$a$的任意邻域都含有异于$a$的$A$中的点，则称$a$是$A$的聚点。集合$A$的所有聚点的集合称为$A$的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor，G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。

聚点就是以这个点为球心（圆心）任意画一个球（圆）,无论你这个球（圆）画得多小，一定都能包含无穷个原集合的点这个点就称为**聚点**

你看后面极限的定义，实际上聚点就是说可以求极限的点

海恩-波莱尔定理（Heine-Borel）假设$E$为有界闭集，且对$E$内每一点$z$都作一个以这一点为圆心的圆域 (这个圆的半径没有限制，它可以取任意正实数)，则在这些圆中必可以找到有限多个来把有界闭集$E$复盖住，换句话说，$E$的每一点至少属于这有限个圆域中的一个圆域的内部。此定理又叫做有限覆盖定理，它是实变函数论里的重要定理。

## Bolzano-Weierstrass 定理的通俗解释

**核心思想**  
无论你有一串怎么排的数字（比如随机撒在纸上的一串点），只要它们没超出某个范围（比如纸的大小），就一定能从中找到一个“规律点”——这个点附近有无数个数字无限接近它。就像你有一堆乱序的扑克牌，虽然打乱了顺序，但总能找到至少一张牌，使得后面有无数张牌和它挨得很近。

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**举个生活化的例子**  
1. **一维情况**：想象在一条1米长的直线上撒了无数颗豆子，这些豆子代表一个数列。无论怎么撒，只要豆子都在1米内，你总能找到一颗豆子，它后面跟着的豆子会越来越密集地聚集在它附近。  
2. **二维情况**：如果在一张A4纸上随机画了无数个点，这些点构成一个无限集合。根据定理，无论怎么画，总能找到至少一个点，使得周围有无数个点无限靠近它（比如纸的边缘或某个中心点）。

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**为什么强调“有界”和“无限”？**  
• **有界**：比如纸的大小是有限的，如果豆子撒到宇宙里（无界），可能找不到这样的规律点。  
• **无限**：如果只有有限颗豆子，当然可以直接数出来；但如果是无限颗，就需要用这个定理保证一定能找到规律点。

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**定理的“魔力”在哪里？**  
1. **数学分析**：证明函数在闭区间上有界或连续，比如用它来推导极值定理。  
2. **计算机科学**：处理大数据时，即使数据混乱，也能通过找规律点快速优化算法。  
3. **现实应用**：比如设计电路板时，用有限个传感器覆盖整个区域，确保检测无死角（类似有限覆盖定理的延伸）。

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**与其他定理的关系**  
• **闭区间套定理**：两者都利用了实数的完备性，但Bolzano-Weierstrass更关注“找规律点”，而闭区间套定理是“无限套娃必有芯”。  
• **Heine-Borel定理**：实数轴的完备性让这两个定理等价，共同支撑了数学分析的基础。

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**总结**  
Bolzano-Weierstrass定理就像给“混乱的数字”装上了导航仪，告诉你即使面对无穷无尽的混乱数据，也一定能找到隐藏其中的规律。它是数学分析的“指南针”，也是理解实数连续性的关键工具。

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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