最后更新: 2025-11-20 20:59 查看: 149 次纠错评论(0) 课件开VIP

开集与闭集

## 内点与边界
**定义1.14** 设 $E \subset \mathbf{R}^n$ ，对任意 $x_0 \subset \mathbf{R}^n$ ，若存在 $\varepsilon>0$ ，使得 $B\left(x_0, \varepsilon\right) \subset E$ ，则称 $x_0$ 为 $E$ 的**内点**，$E$ 的所有内点之集称为 $E$ 的**内域**，记为 $E^0$ ；

若对于任意 $\varepsilon>0, B\left(x_0, \varepsilon\right)$ 内部既存在属于 $E$的点，也存在不属于 $E$ 的点（即 $E \cap B\left(x_0, \varepsilon\right) \neq \varnothing, E^c \cap B\left(x_0, \varepsilon\right) \neq \varnothing$ ），则称 $x_0$ 为 $E$ 的**边界点**． $E$ 的所有边界点之集称为 $E$ 的**边界**，记为 $\partial E$（见图 1．6）．

![图片](/uploads/2025-11/23bc86.jpg){width=300px}
 
 
很明显，点集 $E$ 的内点（必属于 $E$ ）一定是它的聚点，但聚点可能是内点，也可能是边界点（不一定属于 $\boldsymbol{E}$ ）．

例如，平面上单位圆

$$
D=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^2 \mid x^2+y^2<1\right\}
$$

中每一个点都是内点，它的边界就是单位圆周．

$$
C=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^2 \mid x^2+y^2=1\right\} .
$$

而平面上单位正方形中的有理点集

$$
\mathbf{Q}_0^2=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^2 \mid 0 \leqslant x, y \leqslant 1, x \in \mathbf{Q}, y \in \mathbf{Q}\right\}
$$

就没有内点，单位闭正方形 $\overline{\mathbf{Q}_0^2}$ 的每一个点都是 $\mathbf{Q}_0^2$ 的边界点，即 $\overline{\mathbf{Q}_0^2}$ 是 $\mathbf{Q}_0^2$ 的边界．

## 开集与闭集
**定义1.15** 设 $E \subset R ^n$ ．若 $E$ 中所有的点全是内点，即 $E=E^0$ ，则 $E$ 称为**开集**；若 $E$ 含有它所有的聚点，即 $E^{\prime} \subset E$ ，则 $E$ 称为**闭集**．并集 $E \cup E^{\prime}$ 称为 $E$ 的**闭包**，记为 $\bar{E}$ ，即 $\vec{E}=E \cup E^{\prime}$ 。

> **开球，开矩体是最简单的开集；闭球，闭矩体是最简单的闭集**．

**定理1.15** 设 $E \subset R ^n$ ，则 $E$ 为开集（闭集）的充分必要条件是 $E^c= R ^n \backslash E$ 为闭集（开集）．

**证明** 必要性．设 $E$ 为开集，要证 $E^c$ 是闭集．设 $x_0$ 是 $E^c$ 的任意一个聚点，则在 $x_0$ 的任意邻域 $B\left(x_0, r\right)(r>0)$ 内总有 $E^c$ 的点，因此 $x_0$ 不可能是 $E$ 的内点，故 $x_0 \in E^c$ ，即 $E^c$ 是闭集．

充分性．设 $E$ 为闭集，要证 $E^c$ 为开集．设 $x_0 \in E^c$ ，则 $x_0$ 不可能是 $E$ 的聚点，即存在 $r>0$ ，使得 $x_0$ 的邻域 $B\left(x_0, r\right)$ 中不含 $E$ 的点．因此 $B\left(x_0, r\right)$ 中的点都是 $E^c$的点，即 $x_0$ 是 $E^c$ 的内点，故 $E^c$ 为开集．

> 根据定义，知 $R ^n$ 本身既是开集也是闭集．因此，我们规定，空集（ $R ^n$ 的余集）既是开集，也是闭集。

**定理1.16** 任意有限个开（闭）集的并与交仍是开（闭）集。
证明 只需证两个集合的情形，其余的只要用归纳法．设 $A, B$ 是 $R ^n$ 的开集．对任意的 $x_0 \in A \cup B$ ，则 $x_0 \in A$ 或 $x_0 \in B$ ．不妨设 $x_0 \in A$ ．这时存在 $r>0$ ，使得 $x_0$ 的邻域 $B\left(x_0, r\right) \subset A$ ，从而 $B\left(x_0, r\right) \subset A \cup B$ ．故 $x_0$ 是 $A \cup B$ 的内点，于是 $A \cup$ $B$ 是开集．

另外，对任意 $x_0 \in A \cap B$ ，这时 $x_0 \in A$ 且 $x_0 \in B$ ．因此存在 $r_1>0, r_2>0$ ，使 $B\left(x_0, r_1\right) \subset A, B\left(x_0, r_2\right) \subset B$ ．令 $r=\min \left(r_1, r_2\right)$ ，则 $B\left(x_0, r\right) \subset A \cap B$ ，故 $x_0$ 是 $A \cap B$的内点，从而 $A \cap B$ 是开集．

若 $A, B$ 是闭集，这时 $A^c, B^c$ 是开集．由已证的结论知 $A^c \cup B^c=(A \cap B)^c$ 是开集，因此 $A \cap B$ 是闭集．同理可证 $A \cup B$ 是闭集．

> **定理(开集与闭集的对偶性)**  设 $E$ 是开集，则 $E^c$ 是闭集；设 $E$ 是闭集，则 $E^c$ 是开集．

**推论** 若 $E$ 为开集，$F$ 为闭集，则 $E \backslash F$ 为开集，$F \backslash E$ 为闭集．

证明 只需注意 $E \backslash F=E \cap F^c, F \backslash E=F \cap E^c$ ，再应用前面的定理。

**定理1.17** 任意个开集的并是开集，任意个闭集的交是闭集。
证明可仿照定理 1.16 ，请读者把它们写出来。

`例`设 $F_1, F_2$ 是 $\mathbf{R}^1$ 中两个互不相交的闭集．证明：存在两个互不相交的开集 $G_1, G_2$ ，使 $G_1 \supset F_1, G_2 \supset F_2$ 。 
证明 对任何 $P \in F_1$ ，有 $d\left(P, F_2\right)^{(1)}>0$ ．事实上，若有 $P_0 \in F_1$ ，使 $d\left(P_0, F_2\right)=0$ ，则由于 $d\left(P_0, F_2\right)=\inf _{P \in F_2} d\left(P_0, P\right)$ ，所以由下确界定义，存在点列 $\left\{P_n\right\} \subset F_2$ ，使

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(P_0, P_n\right)=d\left(P_0, F_2\right)=0,
$$

因此 $P_0 \in F^{\prime}{ }_2 \subset F_2$ ，这与 $F_1 \cap F_2=\varnothing$ 矛盾．

对每个 $P \in F_1$ ，以 $\delta_P=\frac{1}{2} d\left(P, F_2\right)$ 为半径，作 $P$ 的邻域 $U\left(P, \delta_P\right)$ ，令 $G_1=\bigcup_{P \in F_1} U\left(P, \delta_P\right)$ ，则 $G_1$ 是开集且 $F_1 \subset G_1$ ．同理，对每个 $Q \in F_2$ ，以 $\delta_Q=\frac{1}{2} d\left(Q, F_1\right)$ 为半径，作 $Q$ 的邻域 $U\left(Q, \delta_Q\right)$ ，令 $G_2=\bigcup_{Q \in F_2} U\left(Q, \delta_Q\right)$ ，则 $G_2$ 是开集且 $F_2 \subset G_2$ 。

下证 $G_1 \cap G_2=\varnothing$ ．若 $G_1 \cap G_2 \neq \varnothing$ ，则存在 $P_0 \in G_1 \cap G_2$ ，由 $G_1$及 $G_2$ 的作法知必有 $P \in F_1, Q \in F_2$ ，使 $P_0 \in U\left(P, \delta_P\right)$ 和 $P_0 \in U\left(Q, \delta_Q\right)$ ，即 $d\left(P_0, P\right)<\delta_P=\frac{1}{2} d\left(P, F_2\right)$ ，同理 $d\left(P_0, Q\right)< \frac{1}{2} d\left(Q, F_1\right)$ ，从而有

$$
d(P, Q) \leqslant d\left(P, P_0\right)+d\left(Q, P_0\right)<\frac{1}{2}\left[d\left(P, F_2\right)+d\left(Q, F_1\right)\right] .
$$

注意到

$$
d\left(P, F_2\right) \leqslant d(P, Q), \quad d\left(Q, F_1\right) \leqslant d(P, Q),
$$

故有

$$
d(P, Q) \geqslant \frac{1}{2}\left[d\left(P, F_2\right)+d\left(Q, F_1\right)\right]>d(P, Q),
$$

由于 $F_1 \cap F_2=\varnothing$ ，所以 $P \neq Q$ ，因此 $d(P, Q)>0$ ，得到矛盾，这就证明了 $G_1 \cap G_2=\varnothing$ ．

`例` 设 $\alpha \bar{\in} \mathbf{Q}, E_\alpha=\{p+\alpha q: p, q \in \mathbf{Z}\}$ ，则有 $\bar{E}_\alpha=\mathbf{R}$ ．
证明 对任意的 $x \in \mathbf{R}, \delta>0$ ，取正整数 $m: 10^{-m}<\delta$ ，从而在点集 $\{n \alpha: n= 1,2, \cdots\}$ 中必有 $n_1 \alpha$ 与 $n_2 \alpha$ ，它们的前 $m$ 个小数相同．令 $k$ 是数 $n_1 \alpha-n_2 \alpha$ 的整数部分，则

$$
\left|n_1 \alpha-n_2 \alpha-k\right|<10^{-m}<\delta .
$$

记 $\left|\left(n_1-n_2\right) \alpha-k\right|$ 为 $l_1 \alpha+l_2\left(l_1, l_2 \in \mathbf{Z}\right)$ ，则 $0<l_2+l_1 \alpha<\delta$ ．因此，存在 $z \in \mathbf{Z}$ ，使得

$$
x-\delta<z\left(l_2+l_1 \alpha\right)<x+\delta .
$$

现在，令 $p=l_2 z, q=l_1 z$ ，可知 $p+q \alpha \in(x-\delta, x+\delta)$ 。证毕．

`例`设 $E=\{\cos n\}$ ，则 $\bar{E}=[-1,1]$ ．
证明 令 $A=\{n+2 m \pi: n, m \in \mathbf{Z}\}$ ，易知对任给 $t \in \mathbf{R}$ 以及 $\delta>0$ ，存在 $a \in A$ ，使得 $|t-a|<\delta$ ，从而知 $\bar{A}=\mathbf{R}$ ．现在设 $x \in[-1,1]$ 以及 $\varepsilon>0$ ，则存在 $t \in \mathbf{R}$ ，使得 $\cos t=x$ ，且存在 $n, m \in \mathbf{Z}$ ，使得 $t<n+2 m \pi<t+\varepsilon$ ．由此得

$$
|x-\cos n|=|\cos t-\cos (n+2 m \pi)| \leqslant n+2 m \pi-t<\varepsilon .
$$

## 开集与闭集的通俗理解

我们常见的**开区间**，就是一维空间中的一个开集：

$$
(0,1) \in R ^1
$$

在开集中，无论我们多往边界上靠，都永远能找到比当前点更靠近边界的点（比如—开始找 0.01 ，但是还可以找0.001更靠近0， 如果我们找0.001 还可以找到0.0001更靠近0，），所以说一直都可以形成一个球形邻域（对于1维只有左右2个方向趋近，如果是$R^2$则是一个圆逼近，如果是$R^2$ 则是一个球体逼近，一次类推），故为一个开集。

![图片](/uploads/2025-11/dd886f.jpg){width=300px}
 
 
 假如我们把上面的开区间的**左端点**给加上去，变为：
 $[0,1) \in R ^1$
 
  那么此时的0就不是集合 M 的内点而是边界点。
  
  ![图片](/uploads/2025-11/85f6ed.jpg){width=300px}

### 闭集

通俗一点的定义：如果一个集合 $M$ 的所有聚点都属于 $M$ ，那么这个集合就是闭集。

用数学语言来定义：

令 $M \subset( X , d)$ 的所有聚点所构成的集合为 $M ^{\prime}$ ，则集合 $\overline{ M }= M \cup M ^{\prime}$ 的闭包 ${ }^{+}$。如果集合 $M$ 满足 $M \supset \overline{ M }$ ，则称集合 $M$ 为闭集。

比如说开区间 $(0,1)$ 的闭包就是 $(0,1) \cap\{0\} \cap\{1\}=[0,1]$ 。

## 理解：无穷个开集的交，可能不是开集

**通俗解释：**

想象一下“开集”就像一个没有明确边界的“沙堆”或者“云团”，它的边缘是模糊的、开放的，你永远可以往边界再靠近一点。

现在，我们来做一件事：用一个越来越小的“开集”套筒，去套住一个固定的点。

*   **例子**：考虑所有以0为中心的开区间，比如  (-1, 1) ,  (-1/2, 1/2) ,  (-1/3, 1/3) ,  (-1/4, 1/4)  ... 以此类推。
*   每一个这样的区间都是一个开集（它不包含两端的点，所以边界是开放的）。
*   现在，我们取**所有这些无穷个开区间的交集**。结果是啥？
    *   你想，有什么数能同时在所有这些区间里吗？
    *   除了数字 **0** 本身，没有任何其他数字能满足条件。因为任何一个不等于0的数，比如0.1，总会在某个足够小的区间（比如  (-1/11, 1/11) ）里被排除出去。
    *   所以，这个无穷交集的最终结果，就是**单独的一个点 {0}**。

**为什么它不是开集了？**
因为一个单独的点  {0}  就像一个精确的针尖，它没有任何“内部”或“模糊的边缘”。你以0为中心，无论取多么小的一个开区间，这个区间里都包含了不属于  {0}  的点（比如0.0001）。所以， {0}  不符合“开集”的定义（开集中的每一个点，其周围都必须有一个完全属于该集合的小区域）。

**比喻：**
这就像你用无数张孔洞越来越小的渔网去捞鱼。每一张网（开集）的孔洞都是开放的，都能让水通过。但当你把所有这些网**重叠（交集）** 在一起时，孔洞最终会小到只剩下一个针眼，连水都过不去了——它变成了一块“实心”的布（闭集）。

## 理解： 无穷个闭集的并，可能不是闭集

**通俗解释：**

想象一下“闭集”就像一个有着坚固围墙的“城堡”或者“监狱”，它明确地包含了它的边界。

现在，我们来做另一件事：用无数个这样的“小监狱”，一个接一个地排开，试图关住所有逃向某个目标的囚犯。

*   **例子**：考虑所有这样的闭区间  [1/n, 1] ，比如  [1, 1] ,  [1/2, 1] ,  [1/3, 1] ,  [1/4, 1]  ... 以此类推。
*   每一个这样的区间都是一个闭集（因为它明确包含了它的两个端点）。
*   现在，我们取**所有这些无穷个闭区间的并集**。结果是啥？
    *    [1, 1]  就是 {1}
    *    [1/2, 1]  包含了从0.5到1的所有数
    *    [1/3, 1]  包含了从0.333...到1的所有数
    *   ...
    *   你会发现，并集包含了从0（但不包括0）到1（包括1）的所有数。也就是说，结果是 **(0, 1]**。

**为什么它不是闭集了？**
因为这个新的集合  (0, 1]  在0这一点上没有“关门”。0是这个集合的一个“聚点”（集合里的点可以无限靠近0），但0本身并不在集合里。就像一个监狱，囚犯可以无限接近围墙的某个缺口（0点），并且跑出去，所以这个监狱（并集）是有缺口的，不是“闭”的。

**比喻：**
这就像你用无数块砖（闭集）来砌一堵墙。每一块砖本身都是坚固、完整的。但当你把它们并排放在一起时，如果砖块变得越来越小（比如例子中的区间左端不断向0靠近），它们之间可能会留下一个**无限小的缝隙（在0点）**。从整体上看，这堵墙在这个缝隙处是“开放”的，不是一个完整的、无缺口的墙体（闭集）。

结论：
> 注意无穷个开集的交可能不是开集，无穷个闭集的并可能不是闭集．例如在 $R ^1$ 中，$(-1 / k, 1 / k)$ 是开集，但 $\bigcap_{k=1}^{\infty}(-1 / k, 1 / k)=\{0\}$ 不是开集；$[1 / k, 1-1 / k]$是闭集，但 $\bigcup_{k=2}^{\infty}[1 / k, 1-1 / k]=(0,1)$ 不是闭集．

## 核心结论一览表

我们先看结论，下面再解释。记住：**“开集”和“闭集”的性质是对偶的**。

**口诀：**
*   **开集**喜欢**无限并**和**有限交**。
*   **闭集**喜欢**无限交**和**有限并**。

好的，这是点集拓扑/实分析中的一个核心考点。我帮你用一个清晰的方式总结，并附上理解和记忆技巧。

---

### 详细解释与例子

#### 对于开集

1.  **有限个开集的交 ✅ (是开集)**
    *   **理解**：想象两个开球（没有边界）。它们重叠的部分，其边缘仍然是“开放”的，不会产生新的边界点。有限的交集总是能保证在每个点周围找到一个完全属于交集的小开球。
    *   **例子**：(-1, 1) ∩ (-0.5, 0.5) = (-0.5, 0.5)，仍然是开区间。

2.  **有限个开集的并 ✅ (是开集)**
    *   **理解**：把几个开球放在一起，它们的并集显然没有引入硬的边界，任何一个点都能在它所属的那个开球里找到邻域。
    *   **例子**：(0,1) ∪ (2,3) 仍然是开集。

3.  **无限个开集的交 ❌ (不一定是开集)**
    *   **理解**：这是最容易出错的地方！无穷个开集互相“挤压”，可能会产生一个精确的“点”或“线”，从而失去开集的性质（开集中的每个点都必须有一个邻域完全在集合内）。
    *   **经典反例**：考虑一列开区间：(-1/1, 1/1), (-1/2, 1/2), (-1/3, 1/3), ...
        它们的无穷交集是：{0} (一个单独的点)。
        {0} 是开集吗？不是。因为以0为中心的**任何**开区间都会包含不属于{0}的点。

4.  **无限个开集的并 ✅ (是开集)**
    *   **理解**：这是开集**定义**的一部分。拓扑的定义就要求**任意并**（包括无穷并）保持开集性质。想象把无限多个开球堆在一起，它们的边界仍然是开放的。
    *   **例子**：∪_{n=1}^∞ (1/n, 1) = (0, 1)。虽然结果是(0,1)，不包含0，但它仍然是开集（在实数标准拓扑下）。

#### 对于闭集

闭集的性质与开集完全“对偶”（通过取补集关系联系起来）。一个集合是闭集当且仅当其补集是开集。

1.  **有限个闭集的并 ✅ (是闭集)**
    *   **理解**：把几个有边界的“城堡”合并，有限的合并不会破坏“封闭”的性质，新的边界仍然是明确的。
    *   **例子**：[0,1] ∪ [2,3] 仍然是闭集。

2.  **有限个闭集的交 ✅ (是闭集)**
    *   **理解**：几个城堡的重叠部分，其边界依然是坚固的。
    *   **例子**：[-1, 1] ∩ [0, 2] = [0, 1]，仍然是闭区间。

3.  **无限个闭集的并 ❌ (不一定是闭集)**
    *   **理解**：这是另一个易错点！无穷多个闭集并在一起，它们的边界点可能会“逃逸”，使得整体不再包含所有极限点。
    *   **经典反例**：考虑一列闭区间：[1/1, 1], [1/2, 1], [1/3, 1], ...
        它们的无穷并集是：(0, 1]。
        (0, 1] 是闭集吗？不是。因为它的聚点0不属于它自己。你可以找到一个数列{1/n}在(0,1]中，且收敛于0，但0不在并集里。

4.  **无限个闭集的交 ✅ (是闭集)**
    *   **理解**：这是闭集**定义**的一部分。拓扑的定义要求**任意交**（包括无穷交）保持闭集性质。想象用无穷多个城堡的围墙去层层筛选，最后被所有围墙都围住的点，其边界必然是坚固的。
    *   **例子**：∩_{n=1}^∞ [-1/n, 1/n] = {0}。一个单独的点 {0} 是闭集（因为它的补集 (-∞,0) ∪ (0,∞) 是开集）。

---

### 记忆技巧与总结

*   **记住两个“坏人”**：在考试中，绝大部分混淆都来自于这两个反例：
    1.  **无穷个开集的交** -> 可能变成一个点 {0}（不是开集）。
    2.  **无穷个闭集的并** -> 可能变成 (0,1]（不是闭集）。

*   **利用对偶性**：如果你记不清闭集的规则，可以这样想：
    *   已知“无限个开集的并”是开集。
    *   根据德摩根定律，闭集的交 = (开集的并)的补集。
    *   开集的并是开集，其补集就是闭集。
    *   所以“无限个闭集的交”是闭集。

*   **画图想象**：
    *   对于开集，想象成**松软的云朵**。有限朵云相交，重叠部分还是云（开集）。但无限朵云相交，可能会被压缩成一个坚硬的点（非开集）。
    *   对于闭集，想象成**坚固的砖块**。有限块砖相并，还是结实的结构（闭集）。但无限块砖（越来越小）相并，中间可能会留下缝隙（非闭集）。

希望这个总结能帮你彻底理清关系！

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