最后更新: 2025-11-20 21:14 查看: 24 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Heine-Borel海涅-博雷尔有限覆盖定理、紧集与完备集

## Heine-Borel 海涅－博雷尔有限覆盖定理
**定理（海涅－博雷尔有限覆盖定理）**  设 $F$ 是一个有界闭集， $\mathcal{M}$ 是一族开集 $\left\{U_i\right\}_{i \in \Lambda}$ ，它覆盖了 $F$（即 $F \subset \bigcup_{i \in \Lambda} U_i$ ），则 $\mathcal{M}$ 中一定存在有限多个开集 $U_1, U_2, \cdots, U_m$ ，它们同样覆盖了 $F$（即 $F \subset \bigcup_{i=1}^m U_i$ ）。

证明 因 $F$ 是有界闭集，所以在 $\mathbf{R}^n$ 中存在闭区间 $I$ 包含 $F$ ．记 $\mathscr{D}$ 为由 $\mathscr{M}$ 中的全体开集与开集 $F^c$ 一起组成的新开集族，则 $\mathscr{D}$覆盖了 $\mathbf{R}^n$ ，因此也覆盖了 $I$ 。对于 $I$ 中任一点 $P$ ，存在 $\mathscr{D}$ 中开集 $U_P$ ，使得 $P \in U_P$ ，因而存在开区间 $I_P \subset U_P$ ，并且 $P \in I_P$ ，所以开区间族 $\left\{I_P \mid P \in I\right\}$ 覆盖了 $I$ ．由数学分析中有限覆盖定理，在这族开区间中存在有限个开区间，设为 $I_{P_1}, I_{P_2}, \cdots, I_{P_m}$ ，仍然覆盖了 $I$ ，则由 $F \subset I$ ，及 $I_{P_i} \subset U_{P_i}, i=1,2, \cdots, m$ ，得 $F \subset \bigcup_{i=1}^m U_{P_i}$ ．如果开集 $F^c$ 不在这 $m$ 个开集中，则 $U_{P_1}, U_{P_2}, \cdots, U_{P_m}$ 覆盖了 $F$ ，定理得证；否则从这 $m$ 个开集中去掉 $F^c$ ，因为 $F^c$ 与 $F$ 不相交，所以剩下的 $m-1$个开集仍然覆盖了 $F$ ．

### 紧集
**定义1**  设 $M$ 是度量空间 $X$ 中一集合， $\mathcal{M}$ 是 $X$ 中任一族覆盖了 $M$ 的开集，如果必可从 $\mathcal{M}$ 中选出有限个开集仍然覆盖 $M$ ，则称 $M$ 为 $X$ 中的**紧集**．

由定

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