在线学习
重点科目
初中数学
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
数学公式
主要科目
复变函数
离散数学
数学分析
实变函数
群论
数论
未整理科目
近世代数
数值分析
常微分方程
偏微分方程
大学物理
射影几何
微分几何
泛函分析
拓扑学
数学物理
趣味数学
科数网
首页
教材
高考区
考研区
VIP
科数网
题库
在线学习
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
高中物理
复变函数
离散数学
你好
游客，
登录
注册
在线学习
高等数学
第七章 多元函数积分学
平面薄片的转动惯量
最后
更新:
2024-10-07 09:27
查看:
62
次
反馈
刷题
平面薄片的转动惯量
## 平面薄片的转动惯量 设 $x O y$ 平面上有 $n$ 个质点，它们分别位于点 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，质量分别 为 $m_i(i=1,2, \cdots, n)$. 该质点系对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量分别为 $I_x=\sum_{i=1}^n y_i^2 m_i ， I_y=\sum_{i=1}^n x_i^2 m_i$. 现在讨论相应的连续刚体的情况: 设有一平面薄片，它在 $x O y$ 平面上占有 (有界闭) 区域 $D$ ，面密度为连续 函数 $\rho=\rho(x, y) ，(x, y) \in D$. 运用元素法求其转动惯量. 在 $D$ 上任取一直径很小的区域 $\mathrm{d} \sigma$ (其面积也记为 $\mathrm{d} \sigma$ )， $(x, y)$ 为 $\mathrm{d} \sigma$ 中的一 点，由于 $\mathrm{d} \sigma$ 很小，且 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续， 因此相应于 $\mathrm{d} \sigma$ 部分的质量 $\mathrm{d} M=\rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，且这部分质量可近似看作是集中在 点 $(x, y)$ 上，于是可写出 $\mathrm{d} \sigma$ 对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量: $$ \mathrm{d} I_x=y^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma ， \quad \mathrm{~d} I_y=x^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma ， $$ 故薄片对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量分别为 $$ I_x=\iint_D y^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, \quad I_y=\iint_D x^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma . $$ `例` 求曲线 $r=a(1+\cos \theta)$ 所围平面薄片 $(\rho=1)$ 对极轴的转动惯量. 解 $$ \begin{aligned} I_x & =\iint_D y^2 \rho \mathrm{d} \sigma=\int_{-\pi}^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{a(1+\cos \theta)}(r \sin \theta)^2 r \mathrm{~d} r=\frac{a^4}{4} \int_{-\pi}^\pi \sin ^2 \theta(1+\cos \theta)^4 \mathrm{~d} \theta \\ & =\frac{21}{32} \pi a^4 \end{aligned} $$
开VIP会员
非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问
题库训练
自我测评
投稿
上一篇：
质量与质心
下一篇：
三重积分的概念
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
纠错
高考
考研
关于
赞助
公式
科数网是专业专业的数学网站。