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高等数学
第七章 多元函数积分学
平面薄片的转动惯量
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2024-10-07 09:27
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平面薄片的转动惯量
## 平面薄片的转动惯量 设 $x O y$ 平面上有 $n$ 个质点，它们分别位于点 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，质量分别 为 $m_i(i=1,2, \cdots, n)$. 该质点系对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量分别为 $I_x=\sum_{i=1}^n y_i^2 m_i ， I_y=\sum_{i=1}^n x_i^2 m_i$. 现在讨论相应的连续刚体的情况: 设有一平面薄片，它在 $x O y$ 平面上占有 (有界闭) 区域 $D$ ，面密度为连续 函数 $\rho=\rho(x, y) ，(x, y) \in D$. 运用元素法求其转动惯量. 在 $D$ 上任取一直径很小的区域 $\mathrm{d} \sigma$ (其面积也记为 $\mathrm{d} \sigma$ )， $(x, y)$ 为 $\mathrm{d} \sigma$ 中的一 点，由于 $\mathrm{d} \sigma$ 很小，且 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续， 因此相应于 $\mathrm{d} \sigma$ 部分的质量 $\mathrm{d} M=\rho(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，且这部分质量可近似看作是集中在 点 $(x, y)$ 上，于是可写出 $\mathrm{d} \sigma$ 对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量: $$ \mathrm{d} I_x=y^2 \rho(x, y) \mathrm
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