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多项式及其代数运算

在中学我们已经学习过多项式及其四则运算，并着重学习了一元多项式的带余除法、余式定理和多元多项式的乘法公式，因式分解．这都是重要的基础
知识，在数学和实际中都有广泛的应用，本章将从理论和应用上对多项式的基础知识作进一步的研究、提高，我们研究的重点仍然是一元多项式．

多项式的概念我们并不陌生，尤其是一元多项式，每个人都能举出不少例
子．它的四则运算也会用各种方法进行．总括我们已经学过的知识，可以一般
地系统整理如下：

## 多项式的概念
定义 1
形如 $a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 的式子, 叫做 $x$ 的一元多项式 （简称多项式）. 其中, $a_i(i=0,1,2, \ldots, n)$ 是已知实数, $n$ 是已知非负整数。
- 一元多项式一般简记为 $f(x)$ 或 $g(x)$ 等, 即

$$
f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0
$$

在多项式 $f(x)$ 中, $a_i x^i(i=0,1,2, \ldots, n)$ 叫做 $f(x)$ 的 $i$ 次项, $a_i$ 叫做 $i$次项的系数; 当 $a_i \neq 0$ 时, 多项式 $f(x)$ 称为一元 $i$ 次多项式, 并把它的**次数记作 $\operatorname{deg} f(x)=i$**.

特别地, 当 $n=0$ 时, 多项式成为 $f(x)=a$, 这时, 若 $a_0 \neq 0$, 就叫做零次多项式; 若 $a_0=0$ 就叫做零多项式, 它的次数不定义.

例如, $f_1(x)=7 x^3-1$ 叫做一元三多项式, $f_2(x)=-5$ 叫做零次多项式, $f_3(x)=0$ 叫做零多项式, 它不定义次数.
注意：在初中我们把多项式中的字母. 称为未知数，也称为元. 现在我们还可以用函数的观点把它称为自变数，甚至可以更一般地称为不定元. 它和数作运算时满足数系运算通性，即满足加法和乘法的结合律、交换律以及乘法对加法的分配律；同时，零与 1 的运算特性、指数运算律仍然适合.

这样一来，任何一个 $n$ 次多项式，经过整理合并同类项，总可以写成标准形式

$$
f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \quad\left(a_n \neq 0\right)
$$

或者

$$
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}+a_n x^n \quad\left(a_n \neq 0\right)
$$

其中 (3.1) 称为多项式 $f(x)$ 的降幂标准式, (3.2) 称为多项式 $f(x)$ 的升幂标准式。

例如, 多项式 $g(x)=5 x-7 x^2+13 x^4-8 x-x^3+10 x^2-1$ 经过整理后,可以写成降幂或升幂两种标准形式

$$
g(x)=13 x^4-x^3+3 x^2-3 x-1
$$

或者

$$
g(x)=-1-3 x+3 x^2-x^3+13 x^4
$$

### 定义 2
如果用一个已知数 $b$ 去代替多项式中的元 $x$, 就得到

$$
f(b)=a_n b^n+a_{n-1} b^{n-1}+\cdots+a_1 b+a_0
$$

那么, 数 $f(b)$ 就叫做当 $x=b$ 时 $f(a)$ 的值.

例 3.1 已知 $f(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \quad\left(a_3 \neq 0\right)$, 试求 $f(0), f(1), f(-1)$, $f(m)$ 。

解:

$$
\begin{aligned}
f(0) & =a_0 \\
f(1) & =a_3+a_2+a_1+a_0 \\
f(-1) & =-a_3+a_2-a_1+a_0 \\
f(m) & =a_3 m^3+a_2 m^2+a_1 m+a_0
\end{aligned}
$$

例 3.2 已知 $f(x)=x^2+2 x+8$, 求 $f(-x), f(x+1)$.
分析：由于 $-x, x+1$ 都不是已知数，因而所求的 $f(-x), f(x+1)$ 也不会是一个已知数值, 严格地说题目已不是求值问题. 但我们可以理解为要求用 $-x$ 与 $x+1$ 分别代替 $f(x)$ 中的 $x$ 所得的新多项式. 实际上就是换元, 其运算程序与求多项式的值是相同的.
解:

$$
\begin{aligned}
f(-x) & =(-x)^2+2(-x)+3=x^2-2 x+3 \\
f(x+1) & =(x+1)^2+2(x+1)+3 \\
& =x^2+2 x+1+2 x+2+3=x^2+4 x+6
\end{aligned}
$$

### 定义 3
两个多项式

$$
\begin{aligned}
& f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \\
& g(x)=b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0
\end{aligned}
$$

如果它们的各同次项系数对应相等, 即 $a_k=b_k$ ( $k$ 为非负整数) 我们就说这两个多项式相等, 记作 $f(x)=g(x)$.

不难知道, 两个非零多项式相等的必要条件是它们的次数相等, 即如果 $f(x)=g(x)$, 那么 $\operatorname{deg} f(x)=\operatorname{deg} g(x)$ 。

应该指出，如果把多项式看作一个函数式，那么两个多项式相等就可推出当自变数取任意允许值时，两个多项式的值都是相等的。在这种意义下，我们把两个多项式相等也可以说成 "恒等"。
例 3.3 已知多项式

$$
f(x)=x^3+(a+3) x^2+b x-1
$$

与多项式

$$
g(x)=x^3-(1-b) x^2+(10-a) x-1
$$

相等, 试求 $a, b$ 的值.
解: 设 $f(x)=g(x)$, 且都已是降幂标准式, 所以它们的各同次项系数对应相等.因而有

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ a + 3 = - ( 1 - b ) } \\
{ b = 1 0 - a }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
a-b=-4 \\
a+b=10
\end{array}\right.\right.
$$

所以

$$
a=3, \quad b=7
$$

例 3.4 已知一个恒等式：

$$
-11 x^2+23 x=a(3+x)(3-x)+b(2 x-1)(3-x)+c(3+x)(2 x-1)
$$

试求 $a, b, c$.
分析：如果设

$$
\begin{aligned}
& f(x)=-11 x^2+23 x \\
& g(x)=a(3+x)(3-x)+b(2 x-1)(3-x)+c(3+x)(2 x-1)
\end{aligned}
$$

由题目知 $f(x)=g(x)$, 再根据定义 3 , 将 $g(x)$ 的表达式展开并整理成降幂排列的标准式, 写出含有 $a, b, c$ 的方程组, 从而解出 $a, b, c$; 这样的方法可行, 但太繁. 还可以从函数的观点出发, 由于 $f(x)=g(x)$, 所以给 $x$ 代以任意实数 $t$, 都有 $f(t)=g(t)$. 本题中只要恰当选择 $x$ 的值, 就可以简便地求出

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