最后更新: 2024-11-03 06:02 查看: 477 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

余式定理与因式定理

在初中代数中已经学习过余式定理，它是直接由带余除法引出来的一个重
要定理，在代数学中有一系列的理论和应用价值，本节将进一步学习和推广这一定理．
## 一、余式定理
对多项式的讨论, 可以从形式上作带余除法, 从而求得商式及余式; 也可以从函数观点求得在 $x$ 取某一值时的值, 这两种观点有什么联系呢? 要沟通这两种观点的方法, 就是余式定理.

**余式定理**
用一次多项式 $x-\alpha$ 去除多项式 $f(x)$ 所得的余式是一个常数, 这个常数就等于 $f(\alpha)$ 。

证明: $f(x)$ 除以 $x-\alpha$, 由带余除法得:

$$
f(x)=(x-\alpha) \cdot q(x)+r
$$

令 $x=\alpha$, 即得 $f(\alpha)=r$, 所以

$$
f(x)=q(x) \cdot(x-\alpha)+f(\alpha)
$$

这样一来, 我们若要求 $f(x)$ 除以一次式 $x-\alpha$ 的余式时, 除用带余除法外, 还可以用余式定理直接求出多项式的值 $f(\alpha)$. 两种观点, 两种方法的效果是一样的。

例 3.9 试求 $f(x)$ 除以 $g(x)=k(x+\alpha)$ 所得的余式.
解: 除式 $g(x)=k\left[x-\left(-\frac{\alpha}{k}\right)\right]$
如果设 $g_1(x)=x-\left(-\frac{\alpha}{k}\right)$, 则 $g(x)=k \cdot g_1(x)$, 由余式定理可知 $f(x)$ 除以 $g_1(x)$ 所得的余式为

$$
r_1=f\left(-\frac{\alpha}{k}\right)
$$

：除式乘以一个非零数 $k$ 时，余式不变，所以 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 所得的余式就等于 $f(x)$ 除以 $g_1(x)$ 所得的余式. 所以

$$
r=r_1=f\left(-\frac{\alpha}{k}\right)
$$

例 3.10 试求 $f(x)$ 除以 $g(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ 的余式.
解: 设 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 所得的商式为 $q(x)$, 余式为 $r(x)$, 则有

$$
f(x)=q(x)(x-\alpha)(x-\beta)+r(x) ...(3.5)
$$

其中, $0 \leq \operatorname{degr}(x)<2$ 或 $r(x)=0$ 。
因而可进一步设 $r(x)=a x+b$, 代人 (3.5) 得

$$
f(x)=q(x)(x-\alpha)(x-\beta)+a x+b  ...(3.6)
$$

令 $x=\alpha$, 由 (3.6) 得

$$
f(\alpha)=a \alpha+b ...(3.7)
$$

令 $x=\beta$, 由 (3.6) 得

$$
f(\alpha)=a \beta+b  ...(3.8)
$$

将 (3.7), (3.8) 联立可以解出

$$
a=\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}, \quad b=\frac{\alpha f(\beta)-\beta f(\alpha)}{\alpha-\beta}
$$

所以, 所求的余式为

$$
r(x)=\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta} x+\frac{\alpha f(\beta)-\beta f(\alpha)}{\alpha-\beta}
$$

## 因式定理
两个多项式做带余除法时, 如果 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 所得的余式 $r(x)=0$, 即

$$
f(x)=q(x) \cdot g(x)
$$

我们就说 $f(x)$ 能被 $g(x)$ 整除，也可以说 $g(x)$ 整除 $f(x)$ 或 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的一个因式, $f(x)$ 是 $g(x)$ 一个倍式. 显然, 它们的商式 $q(x)$ 也是 $f(x)$ 的一个因式，而 $f(x)$ 也是 $q(x)$ 的一个倍式。

由余式定理可以推证出下列因式定理：
### 因式定理
**$(x-\alpha)$ 是 $f(x)$ 的一个因式的必要充分条件是 $f(\alpha)=0$.**

证明：先证必要性. 由于 $(x-\alpha)$ 是 $f(x)$ 的一个因式，因而有

$$
f(x)=(x-\alpha) \cdot q(x)
$$

这就是说, $f(x)$ 除以 $x-\alpha$ 时, 余式 $r=0$.
但由余式定理知， $f(x)$ 除以 $x-\alpha$ 的余式为 $f(\alpha)$ ，因此， $f(\alpha)=0$ 。
再证充分性. 由于 $f(\alpha)=0$ ，因而根据余式定理可以得出

$$
f(x)=q(x) \cdot(x-\alpha)+f(\alpha)
$$

即

$$
f(x)=q(x)(x-\alpha)
$$

因此 $x-\alpha$ 是 $f(x)$ 的因式.
我们已经知道, 若在 $x=\alpha$ 时, $f(x)$ 的值 $f(\alpha)=0$, 则称 $\alpha$ 是 $f(x)$的一个根, 或者说, $\alpha$ 是 $f(x)$ 的一个零点. 如, $f(x)=2 x^2-7 x+3$, 由于 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f(3)=0$, 因而就说 $\frac{1}{2}, 3$ 都是 $f(x)$ 的根.

这样一来, 因式定理又可以叙述为: $(x-\alpha)$ 是 $f(x)$ 的一个因式的充要条件是 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的一个根。

因式定理还可以推广到一般, 这就是:

> 若 $

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