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最高公因式与辗转相除法

关于两个多项式的公因式、最高公因式的概念, 我们在初中代数中已经学过，同时，我们还学习过用辗转相除、分解因式两种方法去求最高公因式，还学习了两个多项式的公倍式与最低公倍式以及求最低公倍式的方法, 并得出了最低，公倍式与最高公因式之间的关系

$$
[f(x), g(x)]=\frac{k \cdot f(x) \cdot g(x)}{(f(x) \cdot g(x))}
$$

由于最高公因式与辗转相除法在多项式理论中占有重要地位，本节将重点进一步加深学习这两个内容。

一、最高公因式
首先, 我们在已经学习的基础上, 较严格地给出最高公因式的定义:
定义
对给定的非零多项式 $f(x), g(x)$, 如果有一个多项式 $d(x)$, 能满足以下三个条件：
1. $d(x)$ 的首项系数为 1 ,
2. $d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公因式,
3. $d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的其它任何一个公因式 $\ell(x)$ 的倍式, 即 $f(x)$与 $g(x)$ 的任一公因式 $\ell(x)$ 是 $d(x)$ 的因式. 那么, $d(x)$ 就叫做多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最高公因式, 一般记作 $(f(x), g(x))=d(x)$
上述的条件 1 是为了保证 $(f(x), g(x))$ 的唯一性而提出的. 事实上, 若 $d(x)$, $d_1(x)$ 都是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最高公因式，则由条件 $2 、 3$ 就可得出 $d(x)$ 与 $d_1(x)$能互相整除, 这就有 $d(x)=k d_1(x)$, 再由条件 1 就得到 $d(x)=d_1(x)$. 这就说明, $(f(x), g(x))$ 如果存在, 一定是唯一的.

我们还知道, 若 $f(x), g(x)$ 都已分解成不可约的因式的乘积, 则在 $f(x), g(x)$的所有公因式中, 取每一个公因式的指数较小者, 这些因式的乘幂的乘积, 再乘以一个能使其首项系数为 1 的常数, 就是 $(f(x), g(x))$. 这就是我们常用的求最高公因式的视察法.

例3.15 $f(x)=x(2 x-1)^4(x+3)^3, g(x)=x^2(2 x-1)^2(x+2)^2$
试求 $(f(x), g(x))$
解: 公因式为 $x, 2 x-1, x$ 的指数 $f(x)$ 中的 $1,2 x-1$ 的指数取 $g(x)$ 中的 2 ,得：

$$
(f(x), g(x))=k \cdot x(2 x-1)^2
$$

$k$ 是待定系数, 为使 $(f(x), g(x))$ 的首期系数为 1 , 显然应取 $k=\frac{1}{4}$, 所以

$$
(f(x), g(x))=\frac{1}{4} x(2 x-1)^2
$$

例3.16 $f(x)=x^2-3 x+2, g(x)=x^4-3 x^3+5 x^2-8 x+5$
试求 $(f(x), g(x))$
解: 由视察知, $f(x)=(x-1)(x-2)$, 因而 $(f(x), g(x))$ 不可能有 $(x-1),(x-2)$外的因式，再由因式定理，求得 $g(1)=0, g(2) \neq 0$ ，所以 $x-1$ 是 $f(x), g(x)$唯一的公因式。所以

$$
(f(x), g(x))=x-1
$$

定理 1
给定非零多项式 $f(x), g(x)$, 对于任意两个多项式 $u(x), v(x)$ 来说, $f(x), g(x)$ 的公因式也一定是 $u(x) \cdot f(x)+v(x) \cdot g(x)$ 的因式.

证明：设 $d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个公因式, 则

$$
f(x)=d(x) \cdot f_1(x), \quad g(x)=d(x) \cdot g_1(x)
$$

所以

$$
u(x) \cdot f(x)+v(x) \cdot g(x)=d(x)\left[u(x) \cdot f_1(x)+v(x) \cdot g_1(x)\right]
$$

即 $d(x)$ 也是 $u(x) \cdot f(x)+v(x) \cdot g(x)$ 的一个因式.
例 3.17 已知 $f(x)=x^4-x^3+3 x^2-4 x-12, g(x)=x^4-x^3+2 x^2+3 x-22$.求 $(f(x), g(x))$.

分析: 应用定理 1 的结论, 我们可以取 $u(x)=1, v(x)=-1$, 从而可得 $f(x)-$ $g(x)=x^2-7 x+10$. 只要从 $x^2-7 x+10$ 的因式中就可以找出

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