最后更新: 2024-11-03 06:22 查看: 405 次反馈同步训练

多项式的导数与换元展开式

在本节里, 我们将引进多项式的导数概念及其简单性质. 并学习多项式的换元展开式，进一步把余式定理推广，为今后研究多项式函数在某定点邻近的区域内的局部性质打下一定基础。

## 一、多项式的导数
导数概念是微积分学中的重要概念, 这里仅就多项式来讨论, 我们规定:
定义 1
对任意的非负整数 $n$, 单项式 $a x^n$ 的导数就是单项式 $n a x^{n-1}$.

定义 2
对任意的非零多项式 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 的导数就是各项导数的代数和，记作

$$
f^{\prime}(x)=n a_n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_1
$$

同样, $f^{\prime}(x)$ 的导数, 记作

$$
f^{\prime \prime}(x)=n(n-1) a_n x^{n-2}+(n-1)(n-2) a_{n-1} x^{n-3}+\cdots+a_2
$$

叫做多项式 $f(x)$ 的二阶导数; $f^{\prime \prime}(x)$ 的导数, 记作 $f^{\prime \prime \prime}(x)$, 叫做 $f(x)$的三阶导数，也是 $f^{\prime}(x)$ 的二阶导数；一般地， $f^{\prime}(x)$ 的 $k-1$ 阶导数，就是 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数，记作 $f^{(k)}(x)$ ，即：

$$
\left[f^{(k-1)}(x)\right]^{\prime}=f^{(k)}(x)
$$
例 3.29 求 $f(x)=2 x^3-8 x^2+5 x-4$ 的各阶导数.

解：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & =6 x^2-16 x+5 \\
f^{\prime \prime}(x) & =12 x-16 \\
f^{\prime \prime \prime}(x) & =12 \\
f^{\prime \prime \prime \prime}(x) & =f^{(5)}(x)=\cdots=f^{(n)}(x)=0, \quad(n \geq 4)
\end{aligned}
$$

显然，一元 $n$ 次多项式的 $n$ 阶导数是一个非零常数（零次多项式），从 $n+1$ 阶系数开始，以后各高阶导数都是零；特别地，零次多项式的导数等于零；而零多项式的各阶导数仍是零。

总之，多项式的导数仍然是多项式. 而且对于系数在整数，有理数，实数范围内的各多项式集合，求导数这种运算也是封闭的。

例3.30 求多项式 $f(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \quad\left(a_3 \neq 0\right)$ 的各阶导数，并求出各阶导数在 $x=x_0$ 时的值.
解：

$$
\begin{array}{rlrl}
f^{\prime}(x) & =3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1 & f^{\prime}\left(x_0\right) & =3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1 \\
f^{\prime \prime}(x) & =6 a_3 x+2 a_2 & f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=6 a_3 x_0+2 a_2 \\
f^{\prime \prime \prime}(x) & =6 a_3 & f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=6 a_3 \\
f^{(4)}(x) & =f^{(5)}(x)=\cdots=f^{(n)}(x)=0 \\
f^{(4)}\left(x_0\right) & =f^{(5)}\left(x_0\right)=\cdots=f^{(n)}\left(x_0\right)=0
\end{array}
$$

容易证明，多项式的导数有以下性质：

性质 1
多项式 $f(x)$ 与常数 $k$ 乘积的导数等于 $f(x)$ 的导数与 $k$ 的乘积，即

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