最后更新: 2024-11-03 06:22 ● 参与者查看: 122 次纠错分享参与项目词条搜索

多项式的导数与换元展开式

在本节里, 我们将引进多项式的导数概念及其简单性质. 并学习多项式的换元展开式，进一步把余式定理推广，为今后研究多项式函数在某定点邻近的区域内的局部性质打下一定基础。

## 一、多项式的导数
导数概念是微积分学中的重要概念, 这里仅就多项式来讨论, 我们规定:
定义 1
对任意的非负整数 $n$, 单项式 $a x^n$ 的导数就是单项式 $n a x^{n-1}$.

定义 2
对任意的非零多项式 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$ 的导数就是各项导数的代数和，记作

$$
f^{\prime}(x)=n a_n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_1
$$

同样, $f^{\prime}(x)$ 的导数, 记作

$$
f^{\prime \prime}(x)=n(n-1) a_n x^{n-2}+(n-1)(n-2) a_{n-1} x^{n-3}+\cdots+a_2
$$

叫做多项式 $f(x)$ 的二阶导数; $f^{\prime \prime}(x)$ 的导数, 记作 $f^{\prime \prime \prime}(x)$, 叫做 $f(x)$的三阶导数，也是 $f^{\prime}(x)$ 的二阶导数；一般地， $f^{\prime}(x)$ 的 $k-1$ 阶导数，就是 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数，记作 $f^{(k)}(x)$ ，即：

$$
\left[f^{(k-1)}(x)\right]^{\prime}=f^{(k)}(x)
$$
例 3.29 求 $f(x)=2 x^3-8 x^2+5 x-4$ 的各阶导数.

解：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & =6 x^2-16 x+5 \\
f^{\prime \prime}(x) & =12 x-16 \\
f^{\prime \prime \prime}(x) & =12 \\
f^{\prime \prime \prime \prime}(x) & =f^{(5)}(x)=\cdots=f^{(n)}(x)=0, \quad(n \geq 4)
\end{aligned}
$$

显然，一元 $n$ 次多项式的 $n$ 阶导数是一个非零常数（零次多项式），从 $n+1$ 阶系数开始，以后各高阶导数都是零；特别地，零次多项式的导数等于零；而零多项式的各阶导数仍是零。

总之，多项式的导数仍然是多项式. 而且对于系数在整数，有理数，实数范围内的各多项式集合，求导数这种运算也是封闭的。

例3.30 求多项式 $f(x)=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \quad\left(a_3 \neq 0\right)$ 的各阶导数，并求出各阶导数在 $x=x_0$ 时的值.
解：

$$
\begin{array}{rlrl}
f^{\prime}(x) & =3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1 & f^{\prime}\left(x_0\right) & =3 a_3 x_0^2+2 a_2 x_0+a_1 \\
f^{\prime \prime}(x) & =6 a_3 x+2 a_2 & f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=6 a_3 x_0+2 a_2 \\
f^{\prime \prime \prime}(x) & =6 a_3 & f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=6 a_3 \\
f^{(4)}(x) & =f^{(5)}(x)=\cdots=f^{(n)}(x)=0 \\
f^{(4)}\left(x_0\right) & =f^{(5)}\left(x_0\right)=\cdots=f^{(n)}\left(x_0\right)=0
\end{array}
$$

容易证明，多项式的导数有以下性质：

性质 1
多项式 $f(x)$ 与常数 $k$ 乘积的导数等于 $f(x)$ 的导数与 $k$ 的乘积，即

$$
[k f(x)]^{\prime}=k \cdot f^{\prime}(x)
$$

证明: 设 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$, 则

$$
k f(x)=k a_n x^n+k a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+k a_1 x+k a_0
$$

因此:

$$
\begin{aligned}
{[k f(x)]^{\prime} } & =k n a_n x^{n-1}+k(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+k a_1 \\
& =k\left[n a_n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_1\right] \\
& =k f^{\prime}(x)
\end{aligned}
$$

性质 2
两多项式 $f(x), g(x)$ 和的导数等于这两个多项式的导数和, 即

$$
[f(x)+g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
$$

证明: 设 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, g(x)=b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+$ $\cdots+b_1 x+b_0$, 不失一般性, 不妨设 $n>m$, 则有

$$
f(x)+g(x)=a_n x^n+\cdots+\left(a_m+b_m\right) x^m+\cdots+\left(a_1+b_1\right) x+a_0+b_0
$$

因此:

$$
\begin{aligned}
{[f(x)+g(x)]^{\prime} } & =n a_n x^{n-1}+\cdots+m\left(a_m+b_m\right) x^{m-1}+\cdots+a_1+b_1 \\
& =\left(n a_n x^{n-1}+\cdots+m a_m x^{m-1}+\cdots+a_1\right)+\left(m b_m x^{m-1}+\cdots+b_1\right) \\
& =f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
\end{aligned}
$$

综合性质 1,2 , 就可以得出：对任意的两个常数 $\mu, \lambda$ 和多项式 $f(x), g(x)$,下述等式是成立的, 即

$$
[\mu \cdot f(x)+\lambda \cdot g(x)]^{\prime}=\mu f^{\prime}(x)+\lambda g^{\prime}(x)
$$

性质 3
两个多项式 $f(x), g(x)$ 的乘积的导数等于 $f(x)$ 的导数乘以 $g(x)$ 与 $g(x)$的导数乘以 $f(x)$ 的和, 即

$$
[f(x) g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+g^{\prime}(x) f(x)
$$

性质 4
一个多项式 $f(x)$ 的 $m$ 次方的导数为

$$
\left[f^m(x)\right]^{\prime}=m f^{m-1}(x) f^{\prime}(x)
$$

性质 3, 4的证明亦可以像前两个性质一样通过实际计算进行, 但较繁, 这里略去不证, 同学们可通过练习验证.

上一篇：最高公因式与辗转相除法

下一篇：插值公式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)