最后更新: 2025-12-01 14:24 查看: 208 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

用向量证明余弦定理与正弦定理

> 对于正弦定理或余弦定理使用传统的解三角形方法即可得到，但是新思想、新办法，使用向量方法更能理解向量的强大

## 余弦定理

因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究．

如图，设 $\overrightarrow{C B}= a , \overrightarrow{C A}= b , \overrightarrow{A B}= c$ ，根据向量的减法，那么

$$
c=a-b  ...(1)
$$

![图片](/uploads/2025-04/7c0e02.jpg){width=300px}
 
我们的研究目标是用 $| a |,| b |$ 和 $C$ 表示 $| c |$ ，联想到数量积的性质 $c \cdot c =| c |^2$ ，可以考虑用向量 $c$（即 $a - b$ ）与其自身作数量积运算。

由（1）得

$$
\begin{aligned}
| c |^2 & = c \cdot c =( a - b ) \cdot( a - b ) \\
& = a \cdot a + b \cdot b -2 a \cdot b \\
& = a ^2+ b ^2-2| a || b | \cos C .
\end{aligned}
$$

所以

$$
c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C .
$$

同理可得

$$
\begin{aligned}
& a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A, \\
& b^2=c^2+a^2-2 c a \cos B .
\end{aligned}
$$

于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理：
**余弦定理**（cosine theorem）三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A, \\
& b^2=c^2+a^2-2 c a \cos B, \\
& c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C .
\end{aligned}
}
$$

### 推论1
根据余弦定理可以得到
$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}, \\
& \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}, \\
& \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b} .
\end{aligned}
}
$$

### 推理2 勾股定理
在余弦定理里，取$C$为直角，即得
$$
c^2=a^2+b^2 
$$

`例` 在 $\triangle A B C$ 中，已知 $b=60 \mathrm{~cm}, c=34 \mathrm{~cm}, A=41^{\circ}$ ，解这个三角形

解：由余弦定理，得

$$
\begin{aligned}
a^2 & =b^2+c^2-2 b c \cos A \\
& =60^2+34^2-2 \times 60 \times 34 \times \cos 41^{\circ} \\
& \approx 1676.78,
\end{aligned}
$$

所以

$$
a \approx 41(\mathrm{~cm}) .
$$

由余弦定理的推论，得

$$
\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}=\frac{34^2+41^2-60^2}{2 \times 34 \times 41}=-\frac{763}{2788},
$$

利用计算器，可得 $B \approx 106^{\circ}$ ．
所以 $C=180^{\circ}-(A+B) \approx 180^{\circ}-\left(41^{\circ}+106^{\circ}\right)=33^{\circ}$ ．

## 正弦定理

如图 ，在  $\triangle A B C$ 中，过点 $A$ 作与 $\overrightarrow{A C}$ 垂直的单位向量 $j$ ，则 $j$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{2}-A, j$ 与 $\overrightarrow{C B}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{2}-C$ ．因为 $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}$ ，所以

![图片](/uploads/2025-04/8078d6.jpg){width=300px}

$$
j \cdot(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B})=j \cdot \overrightarrow{A B}
$$

由分配律，得

$$
j \cdot \overrightarrow{A C}+j \cdot \overrightarrow{C B}=j \cdot \overrightarrow{A B}
$$

即
$$
| j ||\overrightarrow{A C}| \cos \frac{\pi}{2}+| j ||\overrightarrow{C B

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