最后更新: 2025-05-21 20:39 查看: 83 次反馈同步训练

高考研究：向量在复数里的应用

在复习学习时，常常遇到一个图形旋转问题，旋转问题最好的解法当然是利用复数乘法的几何意义

`例`已知向量 $a =(3,-4)$ ，将 $a$ 绕原点按逆时针方向放转 $45^{\circ}$ 得到的向量为 $c$ ，求向量 $c$ 的坐标．

解：向量法：设 $c =(x, y)$ ，则由 $| c |=| a |=5$ 得：$x^2+y^2=25$ ，由 $a \cdot c =| a | \cdot| c | \cos 45^{\circ}$ 得：$\quad 3 x-4 y=\frac{25 \sqrt{2}}{2}$ ，结合已知可知 $x>0, y<0$ ，解得：$x=\frac{7 \sqrt{2}}{2}, y=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore c=\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ．

复数法：设向量 $a =(3,-4)$ 对应的复数为 $z_1=3-4 i$ ，则所求向显 $c$ 对应的复

数为 $z_2=z_1\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)=(3-4 i)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)=\frac{7 \sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i$ ，

$$
\therefore c=\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text {. }
$$

`例` 若复数 $z_1=2+3 i$ ，$z_2=-1+ i$ ，其中 i 是虚数单位，则下列说法正确的是

A．$\frac{z_1}{z_2} \in R$
B．$\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
C．若 $z_1+m(m \in R )$ 是纯虚数，那么 $m=-2$
D．若 $\overline{z_1}, \overline{z_2}$ 在复平面内对应的向量分别为 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}(O$ 为坐标原点），则 $|\overrightarrow{A B}|=5$

解析：对于 A，$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3 i}{-1+i}=\frac{(2+3 i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{1-5 i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{5}{2} i$ ，A 错误；对于 $B , \because z_1 \cdot z_2=(2+3 i )(-1+ i )=-5- i , \therefore \overline{z_1 \cdot z_2}=-5+ i$ ；又 $\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}=(2-3 i )(-1- i )=-5+ i , \therefore \overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ ，B 正确；对于 C ，$\because z_1+m=2+m+3 i$ 为纯虚数， $\therefore m+2=0$ ，解得 $m=-2$ ，C正确；
对于 D ，由题意得 $\overrightarrow{O A}=(2,-3), \overrightarrow{O B}=(-1,-1)$ ， $\therefore \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=(-3,2)$ ， $\therefore|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ ，D 错误．

`例` 瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设 $\triangle A B C$ 中，点 $O, H, G$ 分别是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是
A． $\overrightarrow{G H}=2 \overrightarrow{O G}$
B． $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}= 0$
C．设 $B C$ 边的中点为 $D$ ，则有 $\overrightarrow{A H}=3 \overrightarrow{O D}$
D． $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}$

解析：如图，
对于 A 项，由题意得 $\overrightarrow{A G}=2 \overrightarrow{G D}, A H \perp B C$ ，所以 $\overrightarrow{G H}=2 \overrightarrow{O G}$ ，所

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