最后更新: 2025-12-03 06:41 查看: 293 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

高考研究：向量的数量积

## 知识点总结
### 1．向量的夹角

已知两个非零向量 $a , ~ b , ~ O$ 是平面上的任意一点，作 $\overrightarrow{O A}= a , \overrightarrow{O B}= b$ ，则 $\angle A O B=\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的夹角．
### 2．平面向量的数量积
已知两个非零向量 $a$ 与 $b$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，我们把数量 $| a || b | \cos \theta$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的数量积，记作 $a \cdot b$ ．

### 3．平面向量数量积的几何意义
设 $a, b$ 是两个非零向量，它们的夹角是 $\theta, e$ 是与 $b$ 方向相同的单位向量， $\overrightarrow{A B}= a , ~ \overrightarrow{C D}= b$ ，过 $\overrightarrow{A B}$ 的起点 $A$ 和终点 $B$ ，分别作 $\overrightarrow{C D}$ 所在直线的垂线，垂足分别为 $A_1, ~ B_1$ ，得到 $\overrightarrow{A_1 B_1}$ ，我们称上述变换为向量 $a$ 向向量 $b$ 投影， $\overrightarrow{A_1 B_1}$ 叫做向量 $a$ 在向量 $b$ 上的 $\qquad$投影向量记为 $\qquad$ $| a | \cos \theta e$ ．
 ![图片](/uploads/2025-05/df79ae.jpg)
 
 ###  4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

###  5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

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  ![图片](/uploads/2025-05/076783.jpg)
  
  
  `例` 在等边 $\triangle A B C$ 中，$A B=6, \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{A D}$ ，则 $\overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M B}=$ $\qquad$
  
解：如图，以 $B C$ 所在直线为 $x$ 轴，$B C$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，

$$
\begin{aligned}
& \because A B=6, \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{A D}, \\
& \therefore B(-3,0), C(3,0), \\
& M(-2,-3 \sqrt{3}), \\
& \therefore \overrightarrow{M B}=(-1,3 \sqrt{3}), \overrightarrow{M C}=(5,3 \sqrt{3}), \\
& \therefore \overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M B}=-5+27=22 .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-05/4847fc.jpg)
 
 
 `例` 已知向量 $a$ 和 $b$ 的夹角为 $30^{\circ},| a |=1,| b |=\sqrt{3}$ 则 $| a +2 b |$ 等于
A． $1+2 \sqrt{3}$
B．$\sqrt{19}$
C．$\sqrt{13+4 \sqrt{3}}$
D． $3 \sqrt{2}$

解：根据向量的运算法则和数量积的定义，
可得 $| a +2 b |=\sqrt{( a +2 b )^2}=\sqrt{ a ^2+4 a \cdot b +4 b ^2}$
$=\sqrt{1^2+4 \times 1 \times \sqrt{3} \times \cos 30^{\circ}+4 \times(\sqrt{3})^2}=\sqrt{19}$.

`例` 若 $e_1, e_2$ 是夹角为 $\frac{\pi}{3}$ 的两个单位向量，则 $a=2 e_1+e_2$ 与 $b=-3 e_1$ $+2 e_2$ 的夹角为

A．$\frac{\pi}{6}$
B．$\frac{\pi}{3}$
C．$\frac{2 \pi}{3}$
D．$\frac{5 \pi}{6}$

解：由题意可得 $e _1 \cdot e _2=1 \times 1 \times \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ ，
故 $a \cdot b =\left(2 e _1+ e _2\right) \cdot\left(-3 e _1+2 e _2\right)$

$$
\begin{aligned}
& =-6 e_1^2+e_1 \cdot e_2+2 e_2^2=-6+\frac{1}{2}+2=-\frac{7}{2}, \\
& |a|=\sqrt{\left(2 e_1+e_2\right)^2}=\sqrt{4 e_1^2+4 e_1 \cdot e_2+e_2^2}=\sqrt{7}, \\
& |b|=\sqrt{\left(-3 e_1+2 e_2\right)^2}=\sqrt{9 e_1^2-12 e_1 \cdot e_2+4 e_2^2}=\sqrt{7},
\end{aligned}
$$

故 $\cos \langle a , b \rangle=\frac{ a \cdot b }{| a || b |}=\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}=-\frac{1}{2}$ ，由于 $\langle a , b \rangle \in[0, \pi]$ ，故 $\langle a , b \rangle=\frac{2 \pi}{3}$ ．

`例` 已知向量 $a =(m, 3), b =(1, m+1)$ ．若 $a \perp b$ ，则 $m=$ 
解 $\because a \perp b , \therefore a \cdot b =m+3(m+1)=4 m+3=0$ ，解得 $m=-\frac{3}{4}$ ．

`例` 长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度 $v_1$ 的大小 $\left|v_1\right|=10 km / h$ ，水流的速度 $v_2$ 的大小 $\left|v_2\right|=4 km / h$ ，设 $v_1$ 和 $v_2$ 所成的角为 $\theta(0<\theta<\pi)$ ，若游船要从 $A$ 航行到正北方向上位

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