最后更新: 2025-05-21 20:49 查看: 259 次反馈同步训练

高考研究：向量的数量积

## 知识点总结
### 1．向量的夹角

已知两个非零向量 $a , ~ b , ~ O$ 是平面上的任意一点，作 $\overrightarrow{O A}= a , \overrightarrow{O B}= b$ ，则 $\angle A O B=\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的夹角．
### 2．平面向量的数量积
已知两个非零向量 $a$ 与 $b$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，我们把数量 $| a || b | \cos \theta$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的数量积，记作 $a \cdot b$ ．

### 3．平面向量数量积的几何意义
设 $a, b$ 是两个非零向量，它们的夹角是 $\theta, e$ 是与 $b$ 方向相同的单位向量， $\overrightarrow{A B}= a , ~ \overrightarrow{C D}= b$ ，过 $\overrightarrow{A B}$ 的起点 $A$ 和终点 $B$ ，分别作 $\overrightarrow{C D}$ 所在直线的垂线，垂足分别为 $A_1, ~ B_1$ ，得到 $\overrightarrow{A_1 B_1}$ ，我们称上述变换为向量 $a$ 向向量 $b$ 投影， $\overrightarrow{A_1 B_1}$ 叫做向量 $a$ 在向量 $b$ 上的 $\qquad$投影向量记为 $\qquad$ $| a | \cos \theta e$ ．
 ![图片](/uploads/2025-05/df79ae.jpg)
 
 ###  4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

###  5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

![图片](/uploads/2025-05/24b95e.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-05/076783.jpg)
  
  
  `例` 在等边 $\triangle A B C$ 中，$A B=6, \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{A D}$ ，则 $\overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M B}=$ $\qquad$
  
解：如图，以 $B C$ 所在直线为 $x$ 轴，$B C$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，

$$
\begin{aligned}
& \because A B=6, \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{A D}, \\
& \therefore B(-3,0), C(3,0), \\
& M(-2,-3 \sqrt{3}), \\
& \therefore \overrightarrow{M B}=(-1,3 \sqrt{3}), \overrightarrow{M C}=(5,3 \sqrt{3}), \\
& \therefore \overrightarrow{M C} \cdot \overrightarrow{M B}=-5+27=22 .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-05/4847fc.jpg)
 
 
 `例` 已知向量 $a$ 和 $b$ 的夹角为 $30^{\circ},| a |=1,| b |=\sqrt{3}$ 则 $| a +2 b |$ 等于
A． $1+2 \sqrt{3}$
B．$\sqrt{19}$
C．$\sqrt{13+4 \sqrt{3}}$
D． $3 \sqrt{2}$

解：根据向量的运算法则和数量积的定义，
可得 $| a +2 b |=\sqrt{( a +2 b )^2}=\sqrt{ a ^2+4 a \cdot b +4 b ^2}$
$=\sqrt{1^2+4 \times 1 \times \sqrt{3} \

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