最后更新: 2025-05-22 20:04 查看: 34 次反馈同步训练

高考研究：向量垂直、平行、与向量夹角

## 向量垂直于平行
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.

`例` 如图所示，在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A A_1=A D=1, E$ 为 $C D$ 的中点．
（1）求证：$B_1 E \perp A D_1$ ；
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 （2） 在棱 $A A_1$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $D P / /$ 平面 $B_1 A E$ ？若存在，求 $A P$ 的长；若不存在，说明理由．
 
 解：（1）如图
  ![图片](/uploads/2025-05/b04d81.jpg){width=250px}
  以 $A$ 为原点， $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A A_1}$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设 $A B=a$ ，
则 $A(0,0,0), D(0,1,0), D_1(0,1,1), E\left(\frac{a}{2}, 1,0\right), B_1(a, 0,1)$ ．
故 $\overrightarrow{A D_1}=(0,1,1), \overrightarrow{B_1 E}=\left(-\frac{a}{2}, 1,-1\right)$ ．
因为 $\overrightarrow{B_1 E} \cdot \overrightarrow{A D_1}=-\frac{a}{2} \times 0+1 \times 1+(-1) \times 1=0$ ，
所以 $\overrightarrow{B_1 E} \perp \overrightarrow{A D_1}$ ，即 $B_1 E \perp A D_1$ ．

(2) 存在满足要求的点 $P$ ，
假设在棱 $A A_1$ 上存在一点 $P\left(0,0, ~ z_0\right)$ ，
使得 $D P / /$ 平面 $B_1 A E$ ，此时 $\overrightarrow{D P}=\left(0,-1, z_0\right)$ ，
设平面 $B_1 A E$ 的法向量为 $n =(x, y, z)$ ．

$$
\overrightarrow{A B}_1=(a, 0,1), \quad \overrightarrow{A E}=\left(\frac{a}{2}, \quad 1, \quad 0\right)
$$

因为 $n \perp$ 平面 $B_1 A E$ ，所以 $n \perp \overrightarrow{A B_1}, n \perp \overrightarrow{A E}$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}a x+z=0, \\ \frac{a x}{2}+y=0,\end{array}\right.$

取 $x=1$ ，则 $y=-\frac{a}{2}, z=-a$ ，
故 $n=\left(1,-\frac{a}{2},-a\right)$ ．
要使 $D P / /$ 平面 $B_1 A E$ ，只需 $n \perp \overrightarrow{D P}$ ，
则 $\frac{a}{2}-a z_0=0$ ，解得 $z_0=\frac{1}{2}$ ．
所以存在点 $P$ ，满足 $D P / /$ 平面 $B_1 A E$ ，此时 $A P=\frac{1}{2}$ ．

## 夹角研究
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