最后更新: 2025-05-22 19:57 查看: 113 次反馈同步训练

高考研究：空间向量的基本概念与性质

对于向量的考察，主要是掌握基本概念，相比导数、不等式、三角函数难题很高，对向量的考察相对难度不大。

## 空间向量的有关概念
 ![图片](/uploads/2025-05/3a4b2c.jpg)
 
## 空间向量的有关定理

![图片](/uploads/2025-05/ba1278.jpg)
 
## 空间向量的数量积及运算律
 ![图片](/uploads/2025-05/0efb6e.jpg)
 
 ## 内积与坐标表示
 
  ![图片](/uploads/2025-05/d939a3.jpg)
 
 ## 空间位置关系的向量表示
  空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.

## 空间位置关系的向量表示
 ![图片](/uploads/2025-05/4cf2d1.jpg)

## 一些结论
 1．三点共线：在平面中 $A, B, C$ 三点共线 $\Leftrightarrow \overrightarrow{O A}=x \overrightarrow{O B}+y \overrightarrow{O C}$（其中 $x+y$ $=1), O$ 为平面内任意一点．

2．四点共面：在空间中 $P, A, B, C$ 四点共面 $\Leftrightarrow \overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}$ （其中 $x+y+z=1$ ），$O$ 为空间中任意一点．

`例`   如图，在平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A C$ 与 $B D$ 的交点为点 $M$ ，设 $\overrightarrow{A B}= a , \overrightarrow{A D}= b , \overrightarrow{A A_1}= c$ ，则下列向量中与 $\overrightarrow{C_1 M}$ 相等的向量是
A．$-\frac{1}{2} a +\frac{1}{2} b + c$
B．$\frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b+c$
C．$-\frac{1}{2} a-\frac{1}{2} b-c$
D．$-\frac{1}{2} a-\frac{1}{2} b+c$
![图片](/uploads/2025-05/eb3133.jpg)

解析

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{C_1 M}=\overrightarrow{C_1 C}+\overrightarrow{C M}=\overrightarrow{C_1 C}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C D})=\overrightarrow{A_1 A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{D A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B A}=-\frac{1}{2} a \\
& -\frac{1}{2} b-c
\end{aligned}
$$
选C

`例` 在空间四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A B}=(-3,5,2), \overrightarrow{C D}=(-7,-1,-4)$ ，点 $E, F$ 分别为线段 $B C, A D$ 的中点，则 $\overrightarrow{E F}$ 的坐标为

A．$(2,3,3)$
B．$(-2,-3,-3)$
C．$(5,-2,1)$
D．$(-5,2,-1)$

解：因为点 $E, F$ 分别为线段 $B C, A D$ 的中点，设 $O$ 为坐标原点，所以 $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O E}, \overrightarrow{O F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}), \overrightarrow{O E}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})$ ．
所以 $\overrightarrow{E F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C D})=\frac{1}{2} \times[(3,-5,-2)$

$$
\begin{aligned}
& +(-7,-1,-4)] \\
& =\frac{1}{2} \times(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3)
\end{aligned}
$$

`例` （多选）下列说法中正确的是
A．$|a|-|b|=|a+b|$ 是 $a$ ，$b$ 共线的充要条件
B．若 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}$ 共线，则 $A B / / C D$
C．$A, B, C$ 三点不共线，对空间任意一点 $O$ ，若 $\overrightarrow{O P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{8} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{8} \overrightarrow{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面

D．若 $P, A, B, C$ 为空间四点，且有 $\overrightarrow{P A}=\lambda \overrightarrow{P B}+\mu \overrightarrow{P C}(\overrightarrow{P B}, \overrightarrow{P C}$ 不共线 $)$ ，则 $\lambda+\mu=1$ 是 $A, B, C$ 三点共线的充要条件

解：由 $|a|-|b|=|a+b|$ ，可知向量 $a$ ，b的方向相反，此时向量 $a$ ，b共线，反之，当向量 $a$ ， $b$ 同向时，不能得到 $| a |-| b |=| a + b |$ ，所以 A 不正确；若 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}$ 共线，则 $A B / / C D$ 或 $A, B, C, D$ 四点共线，所以 B 不正确；
由 $A, B, C$ 三点不共线，对空间任意一点 $O$ ，若 $\overrightarrow{O P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{8} \overrightarrow{O B}+$ $\frac{1}{8} \overrightarrow{O C}$ ，因为 $\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1$ ，
可得 $P, A, B, C$ 四点共面，所以 $C$ 正确；
若 $P, A, B, C$ 为空间四点，且有

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