最后更新: 2025-05-21 21:01 查看: 27 次反馈同步训练

高考研究：向量的综合运用

`例` 如图，已知平面内有三个向量 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}$ ，其中 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ， $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O C}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，且 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=1,|\overrightarrow{O C}|=2 \sqrt{3}$ ．若 $\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}(\lambda$ ， $\mu \in R )$ ，则 $\lambda+\mu=$ $\qquad$ ．
 ![图片](/uploads/2025-05/da146d.jpg)
 解：方法一
  ![图片](/uploads/2025-05/ef7a94.jpg)
  
  如图，作平行四边形 $O B_1 C A_1$ ，
则 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B_1}+\overrightarrow{O A_1}$ ，
因为 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 的夹角为 $120^{\circ}, \overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O C}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，
所以 $\angle B_1 O C=90^{\circ}$ ．
在 Rt $\triangle O B_1 C$ 中，$\angle O C B_1=30^{\circ},|\overrightarrow{O C}|=2 \sqrt{3}$ ，
所以 $\left|\overrightarrow{O B_1}\right|=2,\left|\overrightarrow{B_1 C}\right|=4$ ，
所以 $\left|\overrightarrow{O A_1}\right|=\left|\overrightarrow{B_1 C}\right|=4$ ，
所以 $\overrightarrow{O C}=4 \overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}$ ，所以 $\lambda=4, \mu=2$ ，所以 $\lambda+\mu=6$ ．

方法二
 ![图片](/uploads/2025-05/c046d5.jpg)
 
 方法二 以 $O$ 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 $A(1,0), B\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), C(3, \sqrt{3})$ ．
由 $\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$ ，
得 $\left\{\begin{array}{l}3=\lambda-\frac{1}{2} \mu, \\ \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \mu,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=4, \\ \mu=2 .\end{array}\right.$ 所以 $\lambda+\mu=6$ ．

`例` 如果 $e_1, ~ e_2$ 是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是
A．$e_1$ 与 $e_1+e_2$
B．$e_1-2 e_2$ 与 $e_1+2 e_2$
C． $e _1+ e _2$ 与 $e _1- e _2$
D． $e _1-2 e _2$ 与 $- e _1+2 e _2$

解：对 A 项，设 $e _1+ e _2=\lambda e _1$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=1, \\ 1=0,\end{array}\right.$ 无解，故 $e_1$ 与 $e_1+e_2$ 不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对 B 项，设 $e _1-2 e _2=\lambda\left( e _1+2 e _2\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=1, \\ -2=2 \lambda,\end{array}\right.$ 无解，故 $e_1-2 e_2$ 与 $e_1+2 e_2$ 不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对 C 项，设 $e _1+ e _2=\lambda\left( e _1- e _2\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=1, \\ 1=-\lambda,\end{array}\right.$ 无解，故 $e_1+e_2$ 与 $e_1-e_2$ 不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对D项，$e_1-2 e_2=-\left(-e_1+2 e_2\right)$ ，所以 $e_1-2 e_2$ 与 $-e_1+2 e_2$ 为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底．

`例`已知 $a , ~ b$ 是单位向量， $a \cdot b =0$ ，且向量 $c$ 满足 $| c - a - b |=1$ ，则 $| c |$ 的取值范围是

A．$[\sqrt{2}-1, \sqrt{2}+1]$
B．$[\sqrt{2}-1, \sqrt{2}]$
C．$[\sqrt{2}, \sqrt{2}+1]$
D．$[2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}]$

解：$a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$ ，
设 $a =(1,0), b =(0,1), c =(x, y),| c - a - b |=|(x-1, y-1)|=$ $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=1$ ，
$\therefore(x-1)^2+(y-1)^2=1, ~|c|$ 表示以 $(1,1)$ 为圆心， 1 为半径的圆上的点到原点的距离，

故 $\sqrt{1^2+1^2}-1 \leqslant|c| \leqslant \sqrt{1^2+1^2}+1$ ，

$$
\therefore \sqrt{2}-

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