最后更新: 2025-04-06 09:04 查看: 14 次反馈刷题

空间向量在解析几何里的应用

## 直线的方向向量
直线上两个不同点 $P, Q$ 之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量 $\overrightarrow{P Q}$ 来表示。不过，我们没有把直线 $l$ 规定成有向直线，直线 $Q P$ 与 $P Q$ 是同一条直线，两个相反向量 $\overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{Q P}$ 的方向都代表直线 $P Q$ 的方向，此时这两个方向平行。因此，我们把与直线 $l$ 平行的非零向量 $v$ 都称为 $l$ 的**方向向量**，用它们来表示直线的方向。

直线 $l$ 的方向向量 $v$ 并不唯一，$v$ 的所有的非零实数倍 $\lambda v$ 都是方向向量；反过来，所有的方向向量都与 $l$ 平行，因此它们相互平行，互为实数倍．

`例`求直线 $y=k x+b$ 的全体方向向量．
解 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. }
$$

方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得：

> 斜率为 $k$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍．

## 直线的法向量

一般直线方程 $A x+B y+C=0(A, B$ 不同时为 0$)$ ． 图象上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标均满足方程，得

$$
\begin{gathered}
A x_0+B y_0+C=0, \\
A x+B y+C=0,
\end{gathered}
$$

以上两个等式相减得

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 ....②
$$

等式②的左边可看成向量 $\boldsymbol{n} =(A, B)$ 与 $\overrightarrow{P Q}=\left(x-x_0, y-y_0\right)$ 的数量积，则②式可改写为

$$
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{P Q}=(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...③
$$

③ 式用几何语言来描述就是

$$
(A, B) \perp \overrightarrow{P Q}
$$

这说明：过定点 $P$ 及任意点 $Q$ 的线段垂直于 $n =\overrightarrow{O N}$ ，动点 $Q$ 组成的图形就是过定点 $P$ 且与 $O N$ 垂直的直线 $l$（如图）．

![图片](/uploads/2025-02/6fcb1b.jpg)
 
  
用向量运算叙述出来就是：

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O N} \cdot \overrightarrow{P Q}=0 & \Leftrightarrow(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 \\
& \Leftrightarrow A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
\end{aligned} ...（7）
$$

由此得到直线 $l$ 的方程**点法式方程**：

$$
\boxed{
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
}
$$

与直线 $l$ 垂直的非零向量 $n =(A, B)$ 称为直线 $l$ 的一个法向量，由此得到一个结论：

> 直线的一般式方程 $A x+B y+C=0$ 的一次项系数组成的向量 $(A, B)$ 是直线的一个法向量。

## 空间的平面方程
已知非零向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 和定点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 过 $P_0$ 点作平面 $\pi$ 与 $\vec{n}$ 垂直, 求平面 $\pi$ 的方程.
 ![图片](/uploads/2024-05/af0256.jpg)
 设 $P(x, y, z)$ 为平面 $\pi$ 上一动点, 因为 $\overrightarrow{P_0 P} \perp \vec{n}$, 所以 $\overrightarrow{P_0 P} \cdot \vec{n}=0$, 即:
$$
\left(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O P_0}\right) \cdot \vec{n}=0 ...(8.10)
$$

反之, 如果 $P(x, y, z)$ 满足 (8.10) 式, 那么 $P$ 点一定在平面 $\pi$ 上, 所以 $(8.10)$式就是平面 $\pi$ 的向量方程.
(8.10) 式用坐标表示即可写为
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0  ...(8.11)
$$
(8.11) 式就叫做平面的点法向式方程. 其中 $\vec{n}=(a, b, c)$, 叫做平面 $\pi$ 的一条法线向量.
如果令 $d=-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)$, 那么 $(8.11)$ 式又可写为
$$
a x+b y+c z+d=0 ...(8.12)
$$

方程 (8.12) 又叫做平面的普通方程, 其中 $a, b, c$ 至少有一个不为零.
显然, 如果 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量, 那么对任何非零常数 $k, k \vec{n}$ 也是 $\pi$ 的法线向量. 这样, 若取 $k \vec{n}$ 作为平面的法线向量, 则 $\pi$ 的方程还可写为
$$
k(a x+b y+c z+d)=0 
$$

因此, 同一个平面方程, 仅仅相差一个常数因子.
由方程 (8.12) 可以看出, 平面的方程是 $x, y, z$ 的一次方程; 反之, 如果设 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是三元一次方程 $a x+b y+c z+d=0$ 的一个解, 则
$$
a x_0+b y_0+c z_0+d=0
$$

两式相减, 得
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0  ...(8.13)
$$

如果建立空间直角坐标系, 作 $\overrightarrow{O P_0}=\left(x_0, y_0, z_0\right), \vec{n}=(a, b, c)$, 那么 (8.13) 式就是通过 $P_0$ 且垂直于 $\vec{n}$ 的一个平面方程, 这就是说, 任何一个三元一次方程都表示一个平面. 这样, 在空间解析几何中, 一个平面和一个三元一次方程是同一码事.

由以上分析, 我们还可得到一个结论, 即,

> 任给一个平面 $\pi: a x+b y+$ $c z+d=0$, 其中 $x, y, z$ 的系数向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量.

`例`求通过点 $P(2,-1,3)$ 且垂直于 $\vec{n}=(2,-1,5)$ 的平面方程.
解: 由平面的点法式方程, 得所求平面方程为
$$
2(x-2)+(-1)[y-(-1)]+5(z-3)=0
$$

整理得
$$
2 x-y+5 z-20=0
$$

## 进一步探究直线的法线方程
已知直线 $\ell$ (图 5.28), 从原点 $O$ 作 $\ell$ 的垂线, 其垂足为 $M$, 设 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$为 $\overrightarrow{O M}$ 的单位向量, 再设原点 $O$ 到 $\ell$ 的距离为 $p$, 则
$$
\overrightarrow{O M}=p \vec{e}=(p \cos \alpha, p \sin \alpha)
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/fd9770.jpg)
 $M$ 点的坐标为 $(p \cos \alpha, p \sin \alpha)$. 因此, 由直线方程的点法向式可得 $\ell$ 的方程为
$$
(x-p \cos \alpha) \cos \alpha+(y-p \sin \alpha) \sin \alpha=0
$$

即
$$
\boxed{
x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0
}
$$

这就是与原点距离为 $p$ 且垂直于向量 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的直线方程. 通常我们把这种形式的方程叫做 $\ell$ 的**三角法线式**. 一条直线的法线式是唯一确定的. 这种方程的主要特点是 $x 、 y$ 的系数向量是单位法向量, 且常数项的值为负数.
如果给定方程 $a x+b y+c=0$, 我们可把它化为法线式
$$
x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0
$$

由于它们之间仅相差一个常数因子 $\lambda$, 即
$$
\cos \alpha=\lambda a, \quad \sin \alpha=\lambda b, \quad-p=\lambda c
$$

所以
$$
(\lambda a)^2+(\lambda b)^2=1 \quad \Rightarrow \quad \lambda=\frac{1}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}
$$

这时方程可化为
$$
\dfrac{a}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}} x+\dfrac{b}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}} y+\dfrac{c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}=0
$$
由于法线式方程要求常数项一定是个负数, 所以只要取根号前的符号使 $\frac{c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}<0$ 即可. 因此, 当 $c>0$ 时根号前负号; 当 $c<0$ 时根号前取正号.

在法线式方程中, 当 $p=0$ 时, 直线通过原点, 这时一般式方程中 $c=0$,于是方程变为
$$
a x+b y=0
$$

在这情形下, 我们如何选取因子 $\frac{1}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}$ 的符号呢? 我们约定符号按如下规则选取:

选取符号使直线的单位法向量 $\left(\frac{a}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}, \frac{b}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}\right)$ 的方向总是指向第 1、第 2 象限, 其中 $Y$ 轴的单位法向量取 $\vec{e}_x=(1,0)$.

`例`化以下直线方程为法线式.
1. $3 x+4 y-7=0$
2. $4 x-3 y=0$

解:
1. 取 $\lambda=\frac{1}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{1}{5}$, 则已知方程的法线式为
$$
\frac{3}{5} x+\frac{4}{5} y-\frac{7}{5}=0
$$
2. 取直线的单位法向量 $\left(\frac{4}{ \pm \sqrt{3^2+4^2}}, \frac{-3}{ \pm \sqrt{3^2+4^2}}\right)$, 使它的方向指向第 $1 、$第 2 象限, 于是根号前需取负号. 直线的法线式为
$$
-\frac{4}{5} x+\frac{3}{5} y=0
$$

## 法线式左边二元一次多项式的几何意义
下面我们来研究法线式左边二元一次多项式的几何意义.
已知直线 $\ell$ 的法线式为
$$
x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0
$$

当点 $P(x, y)$ 在直线上, 显然它的坐标满足 $\ell$ 的法线式方程.
当点 $P(x, y)$ 不在直线 $\ell$ 上, 我们来看多项式 $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p$ 的几何意义是什么.

作 $\ell$ 的法线 $O M, M$ 为垂足 (图 5.29), 再过点 $P$ 作 $O M$ 的垂线, 垂足为点 $N$. 因为 $\overrightarrow{O M}$ 的单位向量 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{O P}=(x, y)$, 所以
$$
\begin{aligned}
x \cos \alpha+y \sin \alpha-p & =\overrightarrow{O P} \cdot \vec{e}-p \\
& =\overrightarrow{O P} \cdot \vec{e}-\overrightarrow{O M} \cdot \vec{e}=\overrightarrow{M P} \cdot \vec{e}=M N
\end{aligned}
$$

$M N$ 可能取负值, 但不论取正值还是取负值, 它的绝对值是 $P$ 点到直线 $\ell$ 的距离. 如果用 $d$ 表示 $P$ 到 $\ell$ 的距离, 则
$$
d=|x \cos \alpha+y \sin \alpha-p|
$$

这就是说, 平面上任一点 $P(x, y)$ 的坐标代入已知直线的法线式的左边的多项式的绝对值就是 $P$ 点到已知直线的距离.
 ![图片](/uploads/2024-05/1508cb.jpg)
 如果 $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p$ 不取绝对值, 则求出的值是个带符号的数
$$
\delta=x \cos \alpha+y \sin \alpha-p
$$

由图 5.29 容易看出, 当 $P$ 点与原点位于直线的异侧, 则 $\delta>0$, 当 $P$ 点与原点位于 $\ell$ 的同侧, 则 $\delta<0$. 若 $\ell$ 通过原点 (图 5.30), 则 $p=0$. 这时 $\delta=\overrightarrow{O P} \cdot \vec{n}_0, \vec{n}_0$ 为直线法线式的系数向量, 于是 $P$ 点在法线式方程的系数向量所指向的那一侧 $\delta$ 为正; 反之 $\delta$ 为负.
如果已知直线 $\ell: a x+b y+c=0$. 那么它的法线式为
$$
\frac{a x+b y+c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}=0
$$

根号前符号的选取按上述规定. 所以 $P$ 点到 $\ell$ 的距离
$$
d=\left|\dfrac{a x+b y+c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}\right|=\dfrac{|a x+b y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$

`例`求点 $P(4,3)$ 到直线 $\ell: 4 x+3 y+10=0$ 的距离.
解: 直线 $\ell$ 的法线式为
$$
\frac{4 x+3 y+10}{-\sqrt{3^2+4^2}}=0
$$

即为
$$
-\frac{4}{5} x-\frac{3}{5} y-2=0
$$
所以
$$
d=\left|-\frac{4}{5} \times 4+\left(-\frac{3}{5}\right) \times 3-2\right|=7
$$

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