最后更新: 2025-04-06 09:04 查看: 35 次反馈同步训练

空间向量在解析几何里的应用

## 直线的方向向量
直线上两个不同点 $P, Q$ 之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量 $\overrightarrow{P Q}$ 来表示。不过，我们没有把直线 $l$ 规定成有向直线，直线 $Q P$ 与 $P Q$ 是同一条直线，两个相反向量 $\overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{Q P}$ 的方向都代表直线 $P Q$ 的方向，此时这两个方向平行。因此，我们把与直线 $l$ 平行的非零向量 $v$ 都称为 $l$ 的**方向向量**，用它们来表示直线的方向。

直线 $l$ 的方向向量 $v$ 并不唯一，$v$ 的所有的非零实数倍 $\lambda v$ 都是方向向量；反过来，所有的方向向量都与 $l$ 平行，因此它们相互平行，互为实数倍．

`例`求直线 $y=k x+b$ 的全体方向向量．
解 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. }
$$

方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得：

> 斜率为 $k$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍．

## 直线的法向量

一般直线方程 $A x+B y+C=0(A, B$ 不同时为 0$)$ ． 图象上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标均满足方程，得

$$
\begin{gathered}
A x_0+B y_0+C=0, \\
A x+B y+C=0,
\end{gathered}
$$

以上两个等式相减得

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 ....②
$$

等式②的左边可看成向量 $\boldsymbol{n} =(A, B)$ 与 $\overrightarrow{P Q}=\left(x-x_0, y-y_0\right)$ 的数量积，则②式可改写为

$$
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{P Q}=(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...③
$$

③ 式用几何语言来描述就是

$$
(A, B) \perp \overrightarrow{P Q}
$$

这说明：过定点 $P$ 及任意点 $Q$ 的线段垂直于 $n =\overrightarrow{O N}$ ，动点 $Q$ 组成的图形就是过定点 $P$ 且与 $O N$ 垂直的直线 $l$（如图）．

![图片](/uploads/2025-02/6fcb1b.jpg)
 
  
用向量运算叙述出来就是：

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O N} \cdot \overrightarrow{P Q}=0 & \Leftrightarrow(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 \\
& \Leftrightarrow A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
\end{aligned} ...（7）
$$

由此得到直线 $l$ 的方程**点法式方程**：

$$
\boxed{
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
}
$$

与直线 $l$ 垂直的非零向量 $n =(A, B)$ 称为直线 $l$ 的一个法向量，由此得到一个结论：

> 直线的一般式方程 $A x+B y+C=0$ 的一次项系数组成的向量 $(A, B)$ 是直线的一个法向量。

## 空间的平面方程
已知非零向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 和定点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 过 $P_0$ 点作平面 $\pi$ 与 $\vec{n}$ 垂直, 求平面 $\pi$ 的方程.
 ![图片](/uploads/2024-05/af0256.jpg)
 设 $P(x, y, z)$ 为平面 $\pi$ 上一动点, 因为 $\overrightarrow{P_0 P} \perp \vec{n}$, 所以 $\overrightarrow{P_0 P} \cdot \vec{n}=0$, 即:
$$
\left(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O P_0}\right) \cdot \vec{n}=0 ...(8.10)
$$

反之, 如果 $P(x, y, z)$ 满足 (8.10) 式, 那么 $P$ 点一定在平面 $\pi$ 上, 所以 $(8.10)$式就是平面 $\pi$ 的向量方程.
(8.10) 式用坐标表示即可写为
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0  ...(8.11)
$$
(8.11) 式就叫做平面的点法向式方程. 其中 $\vec{n}=(a, b, c)$, 叫做平面 $\pi$ 的一条法线向量.
如果令 $d=-\left(a x_0+b y_0+c z_0\right)$, 那么 $(8.11)$ 式又可写为
$$
a x+b y+c z+d=0 ...(8.12)
$$

方程 (8.12) 又叫做平面的普通方程, 其中 $a, b, c$ 至少有一个不为零.
显然, 如果 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量, 那么对任何非零常数 $k, k \vec{n}$ 也是 $\pi$ 的法线向量. 这样, 若取 $k \vec{n}$ 作为平面的法线向量, 则 $\pi$ 的方程还可写为
$$
k(a x+b y+c z+d)=0 
$$

因此, 同一个平面方程, 仅仅相差一个常数因子.
由方程 (8.12) 可以看出, 平面的方程是 $x, y, z$ 的一次方程; 反之, 如果设 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是三元一次方程 $a x+b y+c z+d=0$ 的一个解, 则
$$
a x_0+b y_0+c z_0+d=0
$$

两式相减, 得
$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0  ...(8.13)
$$

如果建立空间直角坐标系, 作 $\overrightarrow{O P_0}=\left(x_0, y_0, z_0\right), \vec{n}=(a, b, c)$, 那么 (8.13) 式就是通过 $P_0$ 且垂直于 $\vec{n}$ 的一个平面方程, 这就是说, 任何一个三元一次方程都表示一个平面. 这样, 在空间解析几何中, 一个平面和一个三元一次方程是同一码事.

由以上分析, 我们还可得到一个结论, 即,

> 任给一个平面 $\pi: a x+b y+$ $c z+d=0$, 其中 $x, y, z$ 的系数向量 $\vec{n}=(a, b, c)$ 是平面 $\pi$ 的一个法线向量.

`例`求通过点 $P(2,-1,3)$ 且垂直于 $\vec{n}=(2,-1,5)$ 的平面方程.
解: 由平面的点法式方程, 得所求平面方程为
$$
2(x-2)+(-1)[y-(-1)]+5(z-3)=0
$$

整理得
$$
2 x-y+5 z-20=0
$$

## 进一步探究直线的法线方程
已知直线 $\ell$ (图 5.28), 从原点 $O$ 作 $\ell$ 的垂线, 其垂足为 $M$, 设 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$为 $\overrightarrow{O M}$ 的单位向量, 再设原点 $O$ 到 $\ell$ 的距离为 $p$, 则
$$
\overrightarrow{O M}=p \vec{e}=(p \cos \alpha, p \sin \alpha)
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/fd9770.jpg)
 $M$ 点的坐标为

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