最后更新: 2025-04-06 08:50 查看: 41 次反馈同步训练

空间向量在立体几何里的应用

## 点到距离的一般公式
我们先证明点到平面距离的一般公式．
如果 $A, ~ B$ 是空间中的两个点，其中点 $B$ 在平面 $\alpha$ 上，$\vec{n}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量（图 3－4－3），那么点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d$ 是 $\overrightarrow{A B}$ 在 $\vec{n}$ 的方向上的投影 $\overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A B}| \cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{A B}\rangle \overrightarrow{n_0}$ 的模，其中
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 $\overrightarrow{n_0}$ 是 $\vec{n}$ 的单位向量（称为平面 $\alpha$ 的单位法向量），于是

$$
d=\left|\left|\overrightarrow{n_0}\right|\right| \overrightarrow{A B}|\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{A B}\rangle| .
$$

用向量的数量积表示，即

$$
d=\left|\overrightarrow{n_0} \cdot \overrightarrow{A B}\right|=\frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}|}{|\vec{n}|}
$$

`例` 如图 3－4－4，在长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中， $|A B|=2, \quad|A D|=\left|A A^{\prime}\right|=1$ 。
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（1）求顶点 $B^{\prime}$ 到平面 $D^{\prime} A C$ 的距离；
（2）求直线 $B C^{\prime}$ 到平面 $D^{\prime} A C$ 的距离．

解（1）如图 3－4－4，建立空间直角坐标系，则可得有关点的坐标分别为 $D^{\prime}(0,0,0), ~ A(1,0,1), ~ C(0,2,1)$ ， $B^{\prime}(1,2,0)$ ．所以 $\overrightarrow{D^{\prime} A}=(1,0,1), \overrightarrow{D^{\prime} C}=(0,2,1)$ ．

设平面 $D^{\prime} A C$ 的法向量为 $\vec{n}=(u, v, w)$ ，则 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{D^{\prime} A}=0$ ， $\vec{n} \cdot \overrightarrow{D^{\prime} C}=0$ ．把各向量的坐标代人，计算得到 $u+w=0$ ， $2 v+w=0$ ．可以取 $v=1$ ，从而得到平面 $D^{\prime} A C$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(2,1,-2)$ ．

因为 $\overrightarrow{B^{\prime} C}=(-1,0,1)$ ，根据上面得到的点到平面的距离公式知，点 $B^{\prime}$ 到平面 $D^{\prime} A C$ 的距离为

$$
d=\frac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{B^{\prime} \vec{C}}\right|}{|\vec{n}|}=\frac{|2 \times(-1)+(-2) \times 1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=\frac{4}{3} .
$$

（2）因为 $\overrightarrow{B C^{\prime}}=\overrightarrow{A D^{\prime}}$ ，所以 $B C^{\prime} / / A D^{\prime}$ ，从而 $B C^{\prime} / /$ 平面 $D^{\prime} A C$ ，问题转化为求点 $C^{\prime}(0,2,0)$ 到平面 $D^{\prime} A C$ 的距离．因为 $\vec{C}^{\prime} \vec{C}=(0,0,1)$ ，所以直线 $B C^{\prime}$ 到平面 $D^{\prime} A C$ 的距离为 $\frac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{C^{\prime} \vec{C}}\right|}{|\vec{n}|}=\frac{2}{3}$.

## 求角大小
如图 3－4－6，在正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中，$E$ ， $F$ 分别是 $A D, ~ A B$ 的中点．求直线 $B^{\prime} E$ 与 $C^{\prime} F$ 所成角的大小．
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解 设正方体的棱长为 $a$ ．以点 $D^{\prime}$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{D^{\prime} A^{\prime}}$ ， $\overrightarrow{D^{\prime} C^{\prime}}$ 与 $\overrightarrow{D^{\prime} D}$ 的方向为 $x, ~ y$ 与 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则可得有关点的坐标分别为 $B^{\prime}(a, a, 0), ~ E\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$ ， $C^{\prime}(0, a, 0), ~ F\left(a, \frac{a}{2}, a\right)$ ，因此，直线 $B^{\prime} E$ 与 $C^{\prime} F$ 的方向向量分别是

$$
\overrightarrow{B^{\prime} E}=\left(-\frac{a}{2},-a, a\right) \text { 与 } \overrightarrow{C^{\prime} F}=\left(a,-\frac{a}{2}, a\right) .
$$

从而

$$
\cos \left\langle\overrightarrow{B^{\prime} E}, \overrightarrow{C^{\prime} F}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{B^{\prime} E} \cdot \overrightarrow{C^{\prime} F}}{\left|\overrightarrow{B^{\prime} E}\right|\left|\overrightarrow{C^{\prime} F}\right|}=\frac{4}{9} .
$$

所以，直线 $B^{\prime} E$ 与 $C^{\prime} F$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{4}{9}$ ．
上例 中的两条直线是异面直线．事实上，用向量方法求两条直线所成的角时，无须区分它们是否为异面直线．但要注意，如果两条直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的方向向量分别是 $\overrightarrow{r_1}$ 与 $\overrightarrow{r_2}$ ，当求出的方向向量的夹角 $\left.\left\langle\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}\right\rangle\right\rangle \frac{\pi}{2}$ 时，$l_1$ 与 $l_2$ 所成的角 $\theta$ 是它的补角 $\pi-\left\langle\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}\right\rangle$ ．因为我们约定两条直线所成角的取值在 0和 $\frac{\pi}{2}$ 之间。所以，用方向向量 $\overrightarrow{r_1}$ 与 $\overrightarrow{r_2}$ 表达的两条直线所成角 $\theta$的大小的公式为

$$
\cos \theta=\frac{\left|\overrightarrow{r_1} \cdot \overrightarrow{r_2}\right|}{\left|\overrightarrow{r_1}\right|\left|\overrightarrow{r_2}\right|}
$$

## 求二面角

立体几何中常见的有关角的问题还有直线与平面所成的角和平面与平面所成的角（二面角）。确定这两类角的大小，都可以通过转化为直线的方向向量和平面的法向量两个向量夹角的问题加以解决。当然，为得到最终的解答，必须知道所要讨论的角与转化后的向量夹角的关系。
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