最后更新: 2025-12-03 06:38 查看: 74 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

空间向量在立体几何里的应用

## 空间向量在立体几何里的应用

在向量里，介绍了向量的很多性质，包括向量的数量积，向量积、向量的夹角等，这些都是**理论性**的，只有到实践里进行应用才具有价值。而向量在空间里的应用就是向量**实用性**的体现。

当在立体几何里，要解决空间点、线、面问题时，我们可以尽可能采用向量的思维，在这种思维下，**向量只是一个工具**。

例如，要计算两个平面的夹角，如果已知其法向量，可以求出法向量夹角，而如何计算法向量夹角，就要使用向量的数量积。整个思维过程是：

> 计算平面夹角 $\Rightarrow$ 找到其法向量 $\Rightarrow$ 计算法向量夹角 $\Rightarrow$ 向量数量积

![图片](/uploads/2025-12/683caa.jpg)

设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 分别是直线 $a, b$ 的一个方向向量， $\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2$ 分别是平面 $\alpha, \beta$ 的一个法向量．我们可以用向量语言来表述空间线线、线面、面面的垂直与平行关系，如下表所示：

![图片](/uploads/2025-12/8b3798.jpg)

## 点到距离的一般公式
我们先证明点到平面距离的一般公式．
如果 $A, ~ B$ 是空间中的两个点，其中点 $B$ 在平面 $\alpha$ 上，$\vec{n}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量（图 3－4－3），那么点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d$ 是 $\overrightarrow{A B}$ 在 $\vec{n}$ 的方向上的投影 $\overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A B}| \cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{A B}\rangle \overrightarrow{n_0}$ 的模，其中
 ![图片](/uploads/2025-04/1a9d59.jpg)
 
 $\overrightarrow{n_0}$ 是 $\vec{n}$ 的单位向量（称为平面 $\alpha$ 的单位法向量），于是

$$
d=\left|\left|\overrightarrow{n_0}\right|\right| \overrightarrow{A B}|\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{A B}\rangle| .
$$

用向量的数量积表示，即

$$
d=\left|\overrightarrow{n_0} \cdot \overrightarrow{A B}\right|=\frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}|}{|\vec{n}|}
$$

`例` 如图 3－4－4，在长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中， $|A B|=2, \quad|A D|=\left|A A^{\prime}\right|=1$ 。
 ![图片](/uploads/2025-04/21293d.jpg)
（1）求顶点 $B^{\prime}$ 到平面 $D^{\prime} A C$ 的距离；
（2）求直线 $B C^{\prime}$ 到平面 $D^{\prime} A C$ 的距离．

解（1）如图 3－4－4，建立空间直角坐标系，则可得有关点的坐标分别为 $D^{\prime}(0,0,0), ~ A(1,0,1), ~ C(0,2,1)$ ， $B^{\prime}(1,2,0)$ ．所以 $\overrightarrow{D^{\prime} A}=(1,0,1), \overrightarrow{D^{\prime} C}=(0,2,1)$ ．

设平面 $D^{\prime} A C$ 的法向量为 $\vec{n}=(u, v, w)$ ，则 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{D^{\prime} A}=0$ ， $\vec{n} \cdot \overrightarrow{D^{\prime} C}=0$ ．把各向量的坐标代人，计算得到 $u+w=0$ ， $2 v+w=0$ ．可以取 $v=1$ ，从而得到平面 $D^{\prime} A C$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(2,1,-2)$ ．

因为 $\overrightarrow{B^{\prime} C}=(-1,0,1)$ ，根据上面得到的点到平面的距离公式知，点 $B^{\prime}$ 到平面 $D^{\prime} A C$ 的距离为

$$
d=\frac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{B^{\prime} \vec{C}}\right|}{|\vec{n}|}=\frac{|2 \times(-1)+(-2) \times 1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=\frac{4}{3} .
$$

（2）因为 $\overrightarrow{B C^{\prime}}=\overrightarrow{A D^{\prime}}$ ，所以

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