最后更新: 2025-04-11 07:45 查看: 22 次反馈刷题

空间向量的数量积、模与夹角

## 空间向量的坐标表示
设 $\vec{i}, ~ \vec{j}, ~ \vec{k}$ 分别是 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴正方向的单位向量．三个坐标轴两两互相垂直

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给定任意一个向量 $\vec{a}$ ．我们先通过平移把 $\vec{a}$ 的起点放到坐标原点 $O$ ，这时得到的向量 $\overrightarrow{O A}$ 称为 $\vec{a}$ 的位置向量．设 $\overrightarrow{O A}$ 的终点坐标是 $A(x, y, z)$ ，则直接记 $\vec{A}=(x, y, z)$ ，并称向量的这种表示法为它的坐标表示。

所以 $\vec{a}=(x, y, z)$ 的实际含义是

$$
\vec{a}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}
$$

有了这个表达式，就可以像平面向量那样推知：如果 $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ ，$\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 与 $(x, y, z)$ 是坐标表示的向量，$\lambda$ 是实数，那么

$$
\begin{aligned}
\left(x_1, y_1, z_1\right) \pm\left(x_2, y_2, z_2\right) & =\left(x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2\right) \\
\lambda(x, y, z) & =(\lambda x, \lambda y, \lambda z) .
\end{aligned}
$$

这说明：

> **把向量用坐标表示后，两个向量相加（减），等于把它们的对应坐标相加（减）；一个实数乘一个向量，等于把这个实数乘它的坐标。**

## 空间向量的模

如果把空间向量放到立方体里，不难法线，向量的长度为立方体斜对角线的长，因此，
一个向量 $\vec{p}=(x, y, z)$ 的模就是它的位置向量 $O P$ 的终点 $P$与坐标原点 $O$ 的距离，所以模长

$$
\boxed{
|\overrightarrow{O P}|=|(x, y, z)|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} .
}
$$

例如下图$P(2,3,5)$ 所以模长为$|OP|=\sqrt{2^2+3^2+5^2} =\sqrt{38}$

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 有了上面两个公式，空间任意两点 $P\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 与 $Q\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 的距离就很容易求出了，因为这两点的距离 $|P Q|$ 等于向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right)$ 的模 $|\overrightarrow{P Q}|$ 。由此得到

$$
|\overrightarrow{P Q}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} .
$$

## 空间向量的数量积的坐标表示．
给定两个向量 $\vec{a}=\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 与 $\vec{b}=\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ，把它们写成坐标轴正方向的单位向量的线性组合，就有 $\vec{a}=x_1 \vec{i}+y_1 \vec{j}+$ $z_1 \vec{k}$ 与 $\vec{b}=x_2 \vec{i}+y_2 \vec{j}+z_2 \vec{k}$ ，于是

$$
\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(x_1 \vec{i}+y_1 \vec{j}+z_1 \vec{k}\right) \cdot\left(x_2 \vec{i}+y_2 \vec{j}+z_2 \vec{k}\right)
$$

对上式用分配律展开计算，并注意到 $\vec{i}, ~ \vec{j}, ~ \vec{k}$ 是两两互相垂直的向量，且 $\vec{i}^2=\vec{j}^2=\vec{k}^2=1, \quad \vec{i} \cdot \vec{j}=\vec{j} \cdot \vec{k}=\vec{k} \cdot \vec{i}=0$ ，
所以

$$
\vec{a} \cdot \vec{b}=x_1 x_2 \vec{i}^2+y_1 y_2 \vec{j}^2+z_1 z_2 \vec{k}^2=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 .
$$

这就是我们所需要的两向量数量积公式

## 空间向量的夹角
 
 空间里两个向量的数量积计算有2种方式：
 ①数量积为一个向量在另外一个向量上投影。所以
 $a \cdot b= |a| \cdot |b| \cos  \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle =\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2} \cos  \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle $
 
 ②两个向量$a,b$的坐标表示向量积为
 $a \cdot b=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2$
 
①② 应该相等，所以

$$
\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2} \cos  \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2
$$

即：

$$
 \boxed{
 \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}} .
 } ...(5)
 $$
 
## 空间两向量垂直或平行
在上面公式（5）里， 两个向量垂直时 $ \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=0 $ ，因此 $x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2=0$
同样，当两个向量平行时，对应坐标城比例。所以

从两向量夹角的余弦公式和两向量平行的充要条件可分别得到两个非零向量垂直与平行的充要条件：

> $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2=0 ;$
$\vec{a} / / \vec{b} \Leftrightarrow$ 存在 $\lambda \in R$ ，使得 $x_1=\lambda x_2, y_1=\lambda y_2, z_1=\lambda z_2$ ．

`例`如图  ，给定正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ ．
（1）求对角线 $C A_1$ 与 $C A$ 所成角的余弦值；
（2）求证：$C A_1 \perp B D$ ．
 ![图片](/uploads/2025-04/64b2e6.jpg)
 
 解（1）以点 $A$ 为坐标原点，分别以射线 $A B, ~ A D, ~ A A_1$为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为 $a$ ，可得有关点的坐标分别为 $B(a, 0,0)$ ，$D(0, a, 0)$ ， $C(a, a, 0), ~ A_1(0,0, a)$ ，从而 $\overrightarrow{C A}=(-a,-a, 0), \overrightarrow{C A_1}=$ $(-a,-a, a)$ ．于是

$$
\cos \left\langle\overrightarrow{C A_1}, \overrightarrow{C A}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{C A_1} \cdot \overrightarrow{C A}}{\left|\overrightarrow{C A_1}\right||\overrightarrow{C A}|}=\frac{a^2+a^2}{\sqrt{a^2+a^2} \sqrt{a^2+a^2+a^2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
$$

所以，对角线 $C A_1$ 与 $C A$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．
（2）证明：由 $\overrightarrow{C A_1}=(-a,-a, a), \overrightarrow{B D}=(-a, a, 0)$ ，得

$$
\overrightarrow{C A_1} \cdot \overrightarrow{B D}=(-a)^2+(-a) a+0=0
$$

所以，$C A_1 \perp B D$ ．

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