最后更新: 2025-05-22 19:13 查看: 59 次反馈同步训练

空间向量的模、数量积与夹角

## 空间向量的坐标表示
设 $\vec{i}, ~ \vec{j}, ~ \vec{k}$ 分别是 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴正方向的单位向量．三个坐标轴两两互相垂直

![图片](/uploads/2025-04/051aa9.jpg){width=300px}

给定任意一个向量 $\vec{a}$ ．我们先通过平移把 $\vec{a}$ 的起点放到坐标原点 $O$ ，这时得到的向量 $\overrightarrow{O A}$ 称为 $\vec{a}$ 的位置向量．设 $\overrightarrow{O A}$ 的终点坐标是 $A(x, y, z)$ ，则直接记 $\vec{A}=(x, y, z)$ ，并称向量的这种表示法为它的坐标表示。

所以 $\vec{a}=(x, y, z)$ 的实际含义是

$$
\vec{a}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}
$$

有了这个表达式，就可以像平面向量那样推知：如果 $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ ，$\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 与 $(x, y, z)$ 是坐标表示的向量，$\lambda$ 是实数，那么

$$
\begin{aligned}
\left(x_1, y_1, z_1\right) \pm\left(x_2, y_2, z_2\right) & =\left(x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2\right) \\
\lambda(x, y, z) & =(\lambda x, \lambda y, \lambda z) .
\end{aligned}
$$

这说明：

> **把向量用坐标表示后，两个向量相加（减），等于把它们的对应坐标相加（减）；一个实数乘一个向量，等于把这个实数乘它的坐标。**

## 空间向量的模

如果把空间向量放到立方体里，不难发现，向量的长度为立方体斜对角线的长，因此，
一个向量 $\vec{p}=(x, y, z)$ 的模就是它的位置向量 $O P$ 的终点 $P$与坐标原点 $O$ 的距离，所以模长

$$
\boxed{
|\overrightarrow{O P}|=|(x, y, z)|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} .
}
$$

例如下图$P(2,3,5)$ 所以模长为$|OP|=\sqrt{2^2+3^2+5^2} =\sqrt{38}$

![图片](/uploads/2025-04/531ccb.jpg){width=300px}

### 空间两点距离
 有了上面两个公式，空间任意两点 $P\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 与 $Q\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 的距离就很容易求出了，因为这两点的距离 $|P Q|$ 等于向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right)$ 的模 $|\overrightarrow{P Q}|$ 。由此得到

$$
|\overrightarrow{P Q}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} .
$$

## 空间向量的数量积的坐标表示 
给定两个向量 $\vec{a}=\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 与 $\vec{b}=\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ，把它们写成坐标轴正方向的单位向量的线性组合，就有 $\vec{a}=x_1 \vec{i}+y_1 \vec{j}+$ $z_1 \vec{k}$ 与 $\vec{b}=x_2 \vec{i}+y_2 \vec{j}+z_2 \vec{k}$ ，于是

$$
\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(x_1 \vec{i}+y_1 \vec{j}+z_1 \vec{k}\right) \cdot\left(x_2 \vec{i}+y_2 \vec{j}+z_2 \vec{k}\right)
$$

对上式用分配律展开计算，并注意到 $\vec{i}, ~ \vec{j}, ~ \vec{k}$ 是两两互相垂直的向量，且 $\vec{i}^2=\vec{j}^2=\vec{k}^2=1, \quad \vec{i} \cdot \vec{j}=\vec{j} \cdot \vec{k}=\vec{k} \cdot \vec{i}=0$ ，
所以

$$
\vec{a} \cdot \vec{b}=x_1 x_2 \vec{i}^2+y_1 y_2 \vec{j}^2+z_1 z_2 \vec{k}^2=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 .
$$

因此，两个向量的内积为
$$
\boxed {
\vec{a} \cdot \vec{b}=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 .
}
$$

这就是我们所需要的两向量数量积公式

## 空间向量的夹角
 
 空间里

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