最后更新: 2024-11-09 19:44 查看: 62 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

一元二次方程

## 一元二次方程
首先考虑一个应用问题:
要在操场上画出一块面积是 $32 m^2$ 的长方形, 并且要求它的长比宽多 4 m .
问：这个长方形的长和宽各取多少 m ？（如图 3.7）
 ![图片](/uploads/2024-11/0df061.jpg)

用代数解法解这个问题：
设这个长方形的宽取 $x m$, 则它的长就应取 $(x+4) m$, 由题意可以得出:

$$
x(x+4)=32
$$

去括号, 得 $x^2+4 x=32$.
移项，得 $x^2+4 x-32=0$ 。
由此得到的这种方程, 其特点是: 各项的最高次数是 2 .

### 定义
我们把只含一个未知数、分母不含未知数, 且各项的最高次数是 2 的方程,叫做一元二次方程.

例如: $x^2-9=0,2 y^2-3 y+1=0,3 x^2-2 x=0, x^2+2 x=5,-x^2-2=5 x$等都是一元二次方程.

显然, 任何一个一元二次方程, 经过变形、整理, 都可以化成下面的标准形式:

$$
\boxed{
a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)
}
$$

其中， $a x^2$ 叫**二次项**， $a(\neq 0)$ 是**二次项系数**； $b x$ 叫**一次项**， $b$ (可取任何实数)是**一次项系数**； $c$ (可取任意实数) 是**常数项**.
- 当 $b \neq 0, c \neq 0$ 时, 方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 叫做一般的一元二次方程；
- 当 $b=0$ 或 $c=0$ 或 $b=c=0$ 时, 方程 $a x^2+c=0 \quad(a \neq 0)$ 或 $a x^2+b x=0 \quad(a \neq 0)$ 或 $a x^2=0 \quad(a \neq 0)$ 都叫做特殊的一元二次方程.

## 特殊的一元二次方程的解法
### （一） $a x^2=0$ 的解法
由于 $a \neq 0$, 因而, 直接运用等式的性质, 就可以把原方程化为: $x^2=0$.显然, 这一方程的解（或根）就是 0 , 我们写成 $x=0$, 即解集为 $\{0\}$.
### （二） $a x^2+c=0(a \neq 0)$ 的解法
对于特殊的一元二次方程 $a x^2+c=0(a \neq 0)$ ，可以首先进行移项，除以 $a$, 变形为:

$$
x^2=-\frac{c}{a}
$$

然后利用平方根的意义就可以求出这个方程的解（或根）来.

`例`  解下列方程：

$$
(1-x)^2=9
$$

分析：如果把方程中括号内的部分，看成一个整体，那么就可以先求出这一个整体的值，然后再去求出其中的未知数 $x$ 的值。
解：

$$
\begin{aligned}
(1-x)^2 & =9 \\
(1-x) & = \pm 3
\end{aligned}
$$

(平方根的意义)
即: $1-x=+3$ 或 $1-x=-3$
因而, $x=-2$ 或 $x=4$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\{-2,4\}$.

### （三） $a x^2+b x=0(a \neq 0)$ 的解法
对于方程 $a x^2+b x=0(a \neq 0)$ ，可以先运用数系运算通性中的分配律，把它变形为

$$
(a x+b) x=0
$$

然后, 再利用零的运算特性, 就可以得出:

$$
a x+b=0 \quad \text { 或 } \quad x=0
$$

这是因为：如果两个因数的乘积为 0 , 那么, 这两个因数中至少有一个是 0 .
因而，就可以进一步解出 $x$ 的值来。

`例` 解方程 $5 x^2+3 x=0$.
解:

$$
\begin{array}{r}
5 x^2+3 x=0 \\
(5 x+3) x=0
\end{array}
$$

因而, $5 x+3=0$
或 $\quad x=0$
即: $x_1=-\frac{3}{5}$,

$$
x_2=0
$$

$\therefore$ 原方程的解集是 $\left\{-\frac{3}{5}, 0\right\}$.

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