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初中数学
第四章 一元二次方程与二次函数
一元二次方程
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更新:
2025-06-26 09:32
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一元二次方程
## 一元二次方程 首先考虑一个应用问题:要在操场上画出一块面积是 $32 m^2$ 的长方形, 并且要求它的长比宽多 4 m . 问:这个长方形的长和宽各取多少 m ?(如图 3.7)  用代数解法解这个问题:设这个长方形的宽取 $x m$, 则它的长就应取 $(x+4) m$, 由题意可以得出: $$ x(x+4)=32 $$ 去括号, 得 $x^2+4 x=32$. 移项,得 $x^2+4 x-32=0$ 。 由此得到的这种方程, 其特点是: 各项的最高次数是 2 . ### 定义 我们把只含一个未知数、分母不含未知数, 且各项的最高次数是 2 的方程,叫做一元二次方程.例如: $x^2-9=0,2 y^2-3 y+1=0,3 x^2-2 x=0, x^2+2 x=5,-x^2-2=5 x$等都是一元二次方程. 显然, 任何一个一元二次方程, 经过变形、整理, 都可以化成下面的标准形式: $$ \boxed{ a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0) } $$ 其中, $a x^2$ 叫**二次项**, $a(\neq 0)$ 是**二次项系数**; $b x$ 叫**一次项**, $b$ (可取任何实数)是**一次项系数**; $c$ (可取任意实数) 是**常数项**. - 当 $b \neq 0, c \neq 0$ 时, 方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 叫做一般的一元二次方程; - 当 $b=0$ 或 $c=0$ 或 $b=c=0$ 时, 方程 $a x^2+c=0 \quad(a \neq 0)$ 或 $a x^2+b x=0 \quad(a \neq 0)$ 或 $a x^2=0 \quad(a \neq 0)$ 都叫做特殊的一元二次方程. ## 特殊的一元二次方程的解法 ### (一) $a x^2=0$ 的解法 由于 $a \neq 0$, 因而, 直接运用等式的性质, 就可以把原方程化为: $x^2=0$.显然, 这一方程的解(或根)就是 0 , 我们写成 $x=0$, 即解集为 $\{0\}$. ### (二) $a x^2+c=0(a \neq 0)$ 的解法 对于特殊的一
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