最后更新: 2025-06-26 09:45 查看: 117 次反馈同步训练

一元二次方程的解法

## 开平方法
`例`解方程 $(m+8)^2=144$ ．
解：开平方，得
$$
m+8= \pm 12 .
$$

由 $m+8=+12$ 得

$$
m=4 .
$$

由 $m+8=-12$ 得

$$
m=-20
$$

所以，这个方程的解为

$$
m=4 \text { 或 } m=-20 \text {. }
$$

由此可见，凡是形如 $x^2=m(m \geqslant 0)$ 的方程都可以用开平方的方法求出它的解，这种解法称为**开平方法**．

## 配方法
`例`解方程:$x^2+3 x=40$

解: $x^2+3 x=40$ 的两边同加一次项系数 3 的一半的平方数 $\left(\frac{3}{3}\right)^2$, 就得到:

$$
\begin{aligned}
x^2+3 x+\left(\frac{3}{3}\right)^2 & =40+\left(\frac{3}{3}\right)^2 \\
\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 & =\frac{169}{4} \\
x+\frac{3}{2} & = \pm \frac{13}{2}
\end{aligned}
$$

(平方根的定义)
即: $x+\frac{3}{2}=+\frac{13}{2}$ 或 $x+\frac{3}{2}=-\frac{13}{2}$

$$
\therefore \quad x_1=5, \quad x_2=-8
$$

$\therefore$ 原方程的解集是 $\{5,-8\}$.

`例`解方程 $2x^2+3 x-5=0$
解：先将二次项系数化简成为 1 , 并将方程写成 $x^2+p x+q=0$ 的形式. 两边同除以 2 ，得

$$
x^2+\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=0
$$

其次，就可按上题的解法去求解：

$$
\begin{aligned}
x^2+\frac{3}{2} x & =\frac{5}{2} \\
x^2+\frac{3}{2} x+\left(\frac{3}{4}\right)^2 & =\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^2 \\
\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 & =\frac{49}{16} \\
x+\frac{3}{4} & = \pm \frac{7}{4}
\end{aligned}
$$

即: $x+\frac{3}{4}=+\frac{7}{4} \quad$ 或 $x+\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$
$\therefore \quad x_1=1, \quad x_2=-\frac{5}{2}$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\left\{1,-\frac{5}{2}\right\}$.

必须指出，上述例题的解法中，最关键的一步，就是 "方程两边同加上一次项系数一半的平方数"，使方程左边成为一个完全平方形式. 因此，这种方法，就叫做**配方法**.

`例` 用配方法解 $x^2+4 x+7   =0$
解 
$$
\begin{aligned}
x^2+4 x+7 & =0 \\
x^2+4 x+2^2 & =-7+2^2 \\
(x+2)^2 & =-3
\end{aligned}
$$

显然, $x$ 取任何实数时, 都不可能使 $(x+2)^2$ 的值等于 -3 . 因此, 这个方程无实数解。

> 在对形如 $x^2+p x$ 的式子进行配方时，加上的一项应是 $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ ，也就是加上的一项应是＂原式一次项系数的一半的平方＂

## 求根公式

用配方法, 同样可以求出一般的一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$的根. 具体作法如下：

$$
a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)
$$

方程两边同除以二次项系数 $a$, 得

$$
x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0
$$

把常数项 $\frac{c}{a}$ 改变符号后，移到方程右边，得

$$
x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}
$$

配方：两边同加上 "一次项系数一半的平方数"，得

$$
x^2+\frac{b}{a} x+\left(\frac{b}{2 a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2 a}\right)^2
$$

整理后, 得 $\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}$

$$
\because \quad a \neq 0, \quad \therefore \quad 4 a^2>0
$$

$\therefore \frac{b^2-4 a c}{4 a^2}$ 就与 $b^2-4 a c$ 取相同符号.
当 $b^2-4 a c \geq 0$ 时, $\frac{b^2-4 a c}{4 a^2} \geq 0$, 这时, 由平方根的意义, 不难得出

$$
x+\frac{b}{2 a}= \pm \sqrt{\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}}
$$

$\therefore$ 原方程的根就是:

$$
x_{1,2}=-\frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

当 $b^2-4 a c<0$ 时, $\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}<0$, 这时, 就没有一个实数能使 $\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=$ $\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}$ 成立.
$\therefore$ 原方程没有实数根.
因此，我们可以归纳出：

> 一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的求根公式：当 $b^2-4 a c \geq 0$时，

$$
\boxed{
x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
}
$$

有了求根公式以后, 解任何一元二次方程时, 只要把它首先变形整理成为标准式, 正确认定各项的系数, 然后就可以直接代人求根公式, 求出它的根来.

`例`解方程. $x^2-7 x+6=0$

解：这里 $a=1, b=-7, c=6$

$$
b^2-4 a c=49-24=25>0
$$

代人求根公式，得

$$
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{7 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2}
$$

$$
\therefore \quad x_1=6, \quad x_2=1 .
$$

$\therefore$ 原方程的解集是 $\{6,1\}$

`例` 解方程 $y^2-(m+n) y+m n=0 \quad(m>n)$

解： $y^2-(m+n) y+m n=0 \quad(m>n)$ 这里 $m, n$ 是

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