最后更新: 2025-04-14 09:22 查看: 52 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

一元二次方程的解法

## 一元二次方程的解法(配方法)
`例`用配成完全平方的方法, 解方程:$x^2+3 x=40$

解:
1. $x^2+3 x=40$ 的两边同加一次项系数 3 的一半的平方数 $\left(\frac{3}{3}\right)^2$, 就得到:

$$
\begin{aligned}
x^2+3 x+\left(\frac{3}{3}\right)^2 & =40+\left(\frac{3}{3}\right)^2 \\
\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 & =\frac{169}{4} \\
x+\frac{3}{2} & = \pm \frac{13}{2}
\end{aligned}
$$

(平方根的定义)
即: $x+\frac{3}{2}=+\frac{13}{2}$ 或 $x+\frac{3}{2}=-\frac{13}{2}$

$$
\therefore \quad x_1=5, \quad x_2=-8
$$

$\therefore$ 原方程的解集是 $\{5,-8\}$.

`例`用配成完全平方的方法, 解方程 $2 x^2+3 x-5=0$

先将二次项系数化简成为 1 , 并将方程写成 $x^2+p x+q=0$ 的形式. 两边同除以 2 ，得

$$
x^2+\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=0
$$

其次，就可按上题的解法去求解：

$$
\begin{aligned}
x^2+\frac{3}{2} x & =\frac{5}{2} \\
x^2+\frac{3}{2} x+\left(\frac{3}{4}\right)^2 & =\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^2 \\
\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 & =\frac{49}{16} \\
x+\frac{3}{4} & = \pm \frac{7}{4}
\end{aligned}
$$

（配方）
(平方根意义)
即: $x+\frac{3}{4}=+\frac{7}{4} \quad$ 或 $x+\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$
$\therefore \quad x_1=1, \quad x_2=-\frac{5}{2}$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\left\{1,-\frac{5}{2}\right\}$.
必须指出，上述例题的解法中，最关键的一步，就是 "方程两边同加上一次项系数一半的平方数"，使方程左边成为一个完全平方形式. 因此，这种方法，就叫做**配方法**.

`例` 用配方法解 $x^2+4 x+7   =0$
解 
$$
\begin{aligned}
x^2+4 x+7 & =0 \\
x^2+4 x+2^2 & =-7+2^2 \\
(x+2)^2 & =-3
\end{aligned}
$$

显然, $x$ 取任何实数时, 都不可能使 $(x+2)^2$ 的值等于 -3 . 因此, 这个方程无实数解。

## 一元二次方程的解法(求根公式)

用配方法, 同样可以求出一般的一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$的根. 具体作法如下：

$$
a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)
$$

方程两边同除以二次项系数 $a$, 得

$$
x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}=0
$$

把常数项 $\frac{c}{a}$ 改变符号后，移到方程右边，得

$$
x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}
$$

配方：两边同加上 "一次项系数一半的平方数"，得

$$
x^2+\frac{b}{a} x+\left(\frac{b}{2 a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2 a}\right)^2
$$

整理后, 得 $\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}$

$$
\because \quad a \neq 0, \quad \therefore \quad 4 a^2>0
$$

$\therefore \frac{b^2-4 a c}{4 a^2}$ 就与 $b^2-4 a c$ 取相同符号.
当 $b^2-4 a c \geq 0$ 时, $\frac{b^2-4 a c}{4 a^2} \geq 0$, 这时, 由平方根的意义, 不难得出

$$
x+\frac{b}{2 a}= \pm \sqrt{\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}}
$$

$\therefore$ 原方程的根就是:

$$
x_{1,2}=-\frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

当 $b^2-4 a c<0$ 时, $\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}<0$, 这时, 就没有一个实数能使 $\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=$ $\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}$ 成立.
$\therefore$ 原方程没有实数根.
因此，我们可以归纳出：

一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的求根公式：当 $b^2-4 a c \geq 0$时，

$$
\boxed{
x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
}
$$

有了求根公式以后, 解任何一元二次方程时, 只要把它首先变形整理成为标准式, 正确认定各项的系数, 然后就可以直接代人求根公式, 求出它的根来.

`例`解方程. $x^2-7 x+6=0$

解：这里 $a=1, b=-7, c=6$

$$
b^2-4 a c=49-24=25>0
$$

代人求根公式，得

$$
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{7 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2}
$$

$$
\therefore \quad x_1=6, \quad x_2=1 .
$$

$\therefore$ 原方程的解集是 $\{6,1\}$

`例` 解方程 $y^2-(m+n) y+m n=0 \quad(m>n)$

解： $y^2-(m+n) y+m n=0 \quad(m>n)$ 这里 $m, n$ 是已知数, 因此可以看作:

$$
a=1, \quad b=-(m+n), \quad c=m n
$$

代入求根公式, 得

$$
\begin{aligned}
& x=\frac{(m+n) \pm \sqrt{(m+n)^2-4 m n}}{2} \\
&=\frac{(m+n) \pm \sqrt{m^2+2 m n+n^2-4 m n}}{2} \\
&=\frac{(m+n) \pm \sqrt{m^2-2 m n+n^2}}{2} \\
&=\frac{(m+n) \pm \sqrt{(m-n)^2}}{2} \\
&=\frac{(m+n) \pm(m-n)}{2} \quad(m>n) \\
& \therefore \quad x_1=\frac{m+n+m-n}{2}=m, \quad x_2=\frac{m+n-m+n}{2}=n
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 原方程的解集是 $\{m, n\}$.

`例`解方程  $\left(x^2+2\right)^2-8\left(x^2+2\right)+15=0$

解： 把设$\left(x^2+2\right)$ 看成一个整体，并设 $\left(x^2+2\right)=y$, 原方程可化为: $y^2-8 y+15=0$.

$$
\begin{aligned}
\therefore \quad y_1=\frac{8 \pm \sqrt{64-60}}{2}= & \frac{8 \pm 2}{2} \\
& y_1=5, \quad y_2=3
\end{aligned}
$$

代人原设：

$$
\begin{aligned}
& x^2+2=5 \quad \Rightarrow \quad x= \pm \sqrt{3} \\
& x^2+2=3 \quad \Rightarrow \quad x= \pm 1
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 原方程的解集是 $\{1, \sqrt{3},-1,-\sqrt{3}\}$.

在以上例题的解法中，所设的未知数 y 叫做辅助未知数，借助辅助未知数，可以把某些特殊的高次方程变成较低次的方程．这种方法，称为设辅助未知数法．也叫**换元法**

`例`  解方程 $3 x^3-4 x^2+x=0$
解: 由分配律，可把原方程化为：

$$
\begin{aligned}
&\left(3 x^2-4 x+1\right) \cdot x=0 \\
& \therefore \quad 3 x^2-4 x+1=0 \quad \text { 或 } \quad x=0
\end{aligned}
$$

解方程 $3 x^2-4 x+1=0$ ，得： $x_1=1, x_2=\frac{1}{3}$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\left\{0,1, \frac{1}{3}\right\}$
从这个例题的解法中可以看出，利用数系运算通性，可以把某些特殊的高次方程化为低次的方程求解.

`例`  解方程 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=24$
分析：这个方程显然是四次方程。而一般的四次方程我们是不会解的。但仔细观察这个方程，会发现它有某些特点，根据这些特点就可以利用换元法求出它的解来. 它的特点是：
- 方程左边是四个一次式的乘积；
- 两个因式乘积就是 2 次的.

利用交换律、分配律进行变形，设法使两个二次式中含未知数的项相同，便于设辅助未知数。

由于

$$
\begin{aligned}
& (x-1)(x-4)=x^2-5 x+4 \\
& (x-2)(x-3)=x^2-5 x+6
\end{aligned}
$$

因此, 可设辅助未知数 $y=x^2-5 x$. 这样一来, 就可以把原方程降为二次方程求解.
解: $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=24$
利用交换律、分配律，可得

$$
\begin{aligned}
{[(x-1)(x-4)] \cdot[(x-2)(x-3)] } & =24 \\
\left(x^2-5 x+4\right)\left(x^2-5 x+6\right) & =24
\end{aligned}
$$

设 $y=x^2-5 x$ ，则方程可化为

$$
\begin{aligned}
(y+4)(y+6) & =24 \\
y^2+10 y+24-24 & =0 \\
y^2+10 y & =0 \\
y(y+10) & =0
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \quad y_1=0, \quad y_2=-10
$$

对于 $x^2-5 x=0$, 可得: $x_{1,2}=\frac{5 \pm 5}{2}$, 即: $x_1=5, x_2=0$对于 $x^2-5 x=-10$, 由于 $b^2-4 a c=25-40<0$, 因此无实根.
$\therefore$ 原方程的解集是 $\{5,0\}$.

上一篇：一元二次方程

下一篇：一元二次方程根的判别式

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)