最后更新: 2024-11-09 19:59 查看: 63 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

一元二次方程根的判别式

## 一元二次方程根的判别式

在前面, 我们用配方法已经讨论了一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$的根的各种情形，即
- 当 $b^2-4 a c>0$ 时, 求得 $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$;
- 当 $b^2-4 a c=0$ 时, 求得 $x_1=x_2=-\frac{b}{2 a}$ （重根）;
- 当 $b^2-4 a c<0$ 时, 方程无实数根.

由此可见，一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的根是不是存在，以及根的个数，都取决于 $b^2-4 a c$ 的符号. 因而，我们就把 $b^2-4 a c$ 叫做一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的根的判别式. 记作

$$
\Delta=b^2-4 a c
$$

利用根的判别式，不必解出方程，就可以判断任一个一元二次方程是否有实数根，以及有什么样的实数根. 这就是：

方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$

>- 当 $\Delta=b^2-4 a c>0$ 时, 有两个不相等的实数根;
>- 当 $\Delta=b^2-4 a c=0$ 时, 有两个相等的实数根（重根）;
> - 当 $\Delta=b^2-4 a c<0$ 时, 没有实数根.

`例` $k$ 取什么值时, 方程 $4 x^2-(k+2) x+(k-1)=0$
1. 有一个实数根是 -1 ;
2. 有两个相等的实数根.

解:
1. 因为方程已知有一个根是 -1 , 所以把 $x=-1$ 代人原方程, 应使方程两边的值相等, 即 $4 \times(-1)^2-(k+2) \times(-1)+(k-1)=0$ 是成立的.
整理这个等式，得 $2 k+5=0$ ，即： $k=-\frac{5}{2}$.
$\therefore$ 当 $k=-\frac{5}{2}$ 时, 原方程有一个根 -1 .
2. $\because$ 当 $\Delta=0$ 时, 原方程才能有两个相等的实数根, 而在这里

$$
\begin{aligned}
\Delta & =[-(k+2)]^2-4 \cdot 4(k-1) \\
& =k^2+4 k+4-16 k+16 \\
& =k^2-12 k+20
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 令 $\Delta=0$, 即 $k^2-12 k+20=0$.
从中就可以解出 $k$ 的取值, $k_1=2, \quad k_2=10$.
所以, 当 $k=2$ 或 $k=10$ 时, 原方程有两个相等的实数根.

`例` 证明: $m$ 取任意实数时, 方程 $x^2-m x+m-4=0$ 一定有两个不相等的实数根。

证明: 当 $\Delta=b^2-4 a c>0$ 时，方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 才能有两个不相等的实数根.

而这里的 $a=1, b=-m, c=m-4$, 且

$$
\begin{aligned}
\Delta & =(-m)^2-4 \times 1 \times(m-4) \\
& =m^2-4 m+16 \\
& =m^2-4 m+4+12 \\
& =(m-2)^2+12
\end{aligned}
$$

又：当 $m$ 取任意实数时， $(m-2)^2$ 总是非负值.
$\therefore(m-2)^2+12$ 一定是正数, 即: $\Delta=(m-2)^2+12>0$
因此，当 $m$ 取任何实数时， $\Delta>0$ ，方程 $x^2-m x+m-4=0$ 一定有两个不相等的实数根.

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