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初中数学
第四章 一元二次方程与二次函数
一元二次方程根的判别式
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2024-11-09 19:59
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一元二次方程根的判别式
## 一元二次方程根的判别式 在前面, 我们用配方法已经讨论了一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$的根的各种情形，即 - 当 $b^2-4 a c>0$ 时, 求得 $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$; - 当 $b^2-4 a c=0$ 时, 求得 $x_1=x_2=-\frac{b}{2 a}$ （重根）; - 当 $b^2-4 a c<0$ 时, 方程无实数根. 由此可见，一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的根是不是存在，以及根的个数，都取决于 $b^2-4 a c$ 的符号. 因而，我们就把 $b^2-4 a c$ 叫做一元二次方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的根的判别式. 记作 $$ \Delta=b^2-4 a c $$ 利用根的判别式，不必解出方程，就可以判断任一个一元二次方程是否有实数根，以及有什么样的实数根. 这就是： 方程 $a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ >- 当 $\Delta=b^2-4 a c>0$ 时, 有两个不相等的实数根; >- 当 $\Delta=b^2-4 a c=0$ 时, 有两个相等的实数根（重根）; > - 当 $\Delta=b^2-4 a c<0$ 时, 没有实数根. `例` $k$ 取什么值时, 方程 $4 x^2-(k+2) x+(k-1)=0$ 1. 有一个实数根是 -1 ; 2. 有两个相等的实数根. 解: 1. 因为方程已知有一个根是 -1 , 所以把 $x=-1$ 代人原方程, 应使方程两边的值相等, 即 $4 \times(-1)^2-(k+2) \times(-1)+(k-1)=0$ 是成立的. 整理这个等式，得 $2 k+5=0$ ，即： $k=-\frac{5}{2}$. $\therefore$ 当 $k=-\frac{5}{2}$ 时, 原方程有一个根 -1 . 2.
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