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韦达定理
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2023-10-12 21:08
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韦达定理
解决二次方程最常规的方法是运用求根公式。对于二次方程 $$ a x^2+b x+c=0 \quad(a \neq 0), $$ 定义判别式 $$ \Delta=b^2-4 a c, $$ 那么方程的两个根分别为 $$ \begin{aligned} & x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}, \\ & x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} . \end{aligned} $$ 可见,当 $\Delta>0 \Rightarrow$ 方程有两个不同的根 $\Delta=0 \Rightarrow$ 方程有两个相同的根 $\Delta<0 \Rightarrow$ 方程无实数根 (但有两个共轭的复数根) ## 韦达定理 由一元二次方程求根公式知: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$ 则有: $$ \begin{aligned} & x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=-\frac{b}{a} \\ & x_1 \cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{c}{a} \end{aligned} $$ ## 几何含义 假设 $f(x)=a x^2+b x+c$ ,那么求解方程 $a x^2+b x+c=0$ 即化为寻找函数 $f(x)$ 的所有零点 $f(x)=0$ 。  { width=700px} 图 1: $f(x)$ 示意图。从左到右为 $\Delta>0, \Delta=0, \Delta<0$ 可见, $x=-\frac{b}{2 a}$ 为函数 $f(x)$ 的对称轴,两个零点 (如果存在) 关于该轴对称。 ## 配方法 对于一些特定的问题,可以将方程配方并求解,有时这比直接使用求根公式更为简便。 例如,可以将方程配方为如下形式: $$ (x-a)(x-b)=0 \Rightarrow x_1=a, x_2=b . $$  图 2: $f(x)=(x-a)(x-b)$ 示意图 或者 $$ (x-a)^2=b \Rightarrow x_1=\sqrt{b}+a, x_2=-\sqrt{b}+a . $$
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