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初中数学
第四章 一元二次方程与二次函数
一元二次方程的韦达定理
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更新:
2024-11-09 20:11
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一元二次方程的韦达定理
## 韦达定理 设一元二次方程 $a x^2+b x+c=0(a, b, c \in R, a \neq 0)$ 中，两根 $x _1$ 、 $x_2$ ， 根据求根公式可以知道 $$ \begin{aligned} & x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=-\frac{b}{a} \\ & x_1 \cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{c}{a} \end{aligned} $$ 我们把 $$ \boxed{ \begin{aligned} x_1+x_2 & =-\frac{b}{a} \\ x_1 x_2 & =\frac{c}{a} \end{aligned} } $$ 称作**韦达定理**，也可以称作**根与系数的关系**。 `例`若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1) x^2+x+m^2-1=0$ 有一 个根为 0 , 则 $m=$. 解析 根据一元二次方程根的定义可知将 $x=0$ 代入原方程一定 会使方程左右两边相等, 故只要把 $x=0$ 代入就可以得到以 $m$ 为 末知数的方程 $m^2-1=0$, 解得 $m=\pm 1$ 的值. 这里应填 $-1$. 这种题的 解题方法我们称之为 “有根必代” . `例`已知一元二次方程 $x^2-4 x-3=0$ 的两根为 $m, n$, 则 $m^2-m n+n^2=\underline{25}$. 解析 根据根与系数的关系可知, $m+n=4, m n=-3 . m^2-m n+n^2$ $=m^2+n^2-m n=(m+n)^2-3 m n=4^2-3 \times(-3)=25$. 故填 25 . `例`不解方程, 试求方程 $2 x^2-x-15=0$ 的根的平方和与立方和. 解: 设 $2 x^2-x-15=0$ 的二根为 $x_1, x_2$, 则由韦达定理知: $x_1+x_2=$ $\frac{1}{2}, \quad x_1 x_2=-\frac{15}{2}$. 因此: $$ \begin
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