最后更新: 2024-11-09 20:11 查看: 48 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

一元二次方程的韦达定理

## 韦达定理
设一元二次方程 $a x^2+b x+c=0(a, b, c \in R, a \neq 0)$ 中，两根 $x _1$ 、 $x_2$ ， 根据求根公式可以知道

$$
\begin{aligned}
& x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=-\frac{b}{a} \\
& x_1 \cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{c}{a}
\end{aligned}
$$

我们把

$$
\boxed{
\begin{aligned}
x_1+x_2 & =-\frac{b}{a} \\
x_1 x_2 & =\frac{c}{a}
\end{aligned}
}
$$

称作**韦达定理**，也可以称作**根与系数的关系**。

`例`若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1) x^2+x+m^2-1=0$ 有一 个根为 0 , 则 $m=$.
解析 根据一元二次方程根的定义可知将 $x=0$ 代入原方程一定 会使方程左右两边相等, 故只要把 $x=0$ 代入就可以得到以 $m$ 为 末知数的方程 $m^2-1=0$, 解得 $m=\pm 1$ 的值. 这里应填 $-1$. 这种题的 解题方法我们称之为 “有根必代” .

`例`已知一元二次方程 $x^2-4 x-3=0$ 的两根为 $m, n$, 则 $m^2-m n+n^2=\underline{25}$.
解析 根据根与系数的关系可知, $m+n=4, m n=-3 . m^2-m n+n^2$ $=m^2+n^2-m n=(m+n)^2-3 m n=4^2-3 \times(-3)=25$. 故填 25 .

`例`不解方程, 试求方程 $2 x^2-x-15=0$ 的根的平方和与立方和.

解: 设 $2 x^2-x-15=0$ 的二根为 $x_1, x_2$, 则由韦达定理知: $x_1+x_2=$ $\frac{1}{2}, \quad x_1 x_2=-\frac{15}{2}$.
 因此:
$$
\begin{aligned}
x_1^2+x_2^2 & =\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2 \\
& =\frac{1}{4}-2 \times\left(-\frac{15}{2}\right)=15 \frac{1}{4} \\
x_1^3+x_2^3 & =\left(x_1+x_2\right)^3-3 x_1 x_2\left(x_1+x_2\right) \\
& =\frac{1}{8}-3 \times\left(-\frac{15}{2}\right) \times \frac{1}{2} \\
& =\frac{1}{8}+\frac{45}{4}=\frac{91}{8}=11 \frac{3}{8}
\end{aligned}
$$

`例` 试作一个一元二次方程, 使它的根正好是方程 $x^2-x-6=0$ 的二根的倒数.

解: 设 $x^2-x-6=0$ 的两根为 $\alpha, \beta$. 则由题意, 所求一元二次方程的根就应该是 $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$.

又由韦达定理知: $\alpha+\beta=1, \alpha \beta=-6$, 因此:

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=-\frac{1}{6} \\
\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha \beta}=-\frac{1}{6}
\end{gathered}
$$

所以, 所求的方程是: $x^2+\frac{1}{6} x-\frac{1}{6}=0$, 即:

$$
6 x^2+x-1=0
$$

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