最后更新: 2025-06-26 09:49 查看: 80 次反馈同步训练

一元二次方程应用题

## 一元二次方程应用题
`例`把 308 张画片平均分给若干儿童. 已知每人分得的张数比儿童人数少 3 ，试问：有几个儿童？每个人分得画片几张？

解：设儿童有 $x$ 人，则每人分得的画片就为 $(x-3)$ 张.
依题意可知：

$$
\begin{aligned}
x(x-3) & =108 \\
x^2-3 x-108 & =0
\end{aligned}
$$

再由求根公式可以知道，

$$
\begin{aligned}
& \quad x=\frac{3 \pm \sqrt{9+432}}{2}=\frac{3 \pm 21}{2} \\
& \therefore \quad x_1=12, \quad x_2=-6
\end{aligned}
$$

$x$ 是儿童人数, 不能为负值, 所以 $x=-6$ 不合题意, 应舍去, 只取 $x=12$; $x-3=9$.

答：共有儿童 12 人，每人分画片 9 张.

`例` 把 60 cm 长的铁丝作成一个长方形的模型, 要使这个长方形的面积是
1. $200 cm^2$
2. $225 cm^2$
3. $250 cm^2$

它的长、宽各应等于多少 cm ?
 ![图片](/uploads/2024-11/84dbe5.jpg)
 解: 设长方形的长为 $x cm$, 则它的宽就为 $\left(\frac{60}{2}-x\right)=(30-x) cm$.依题意可以分别得出：
1. $x(30-x)=200 \Rightarrow x^2-30 x+200=0$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad x=\frac{30 \pm \sqrt{900-800}}{2}=\frac{30 \pm 10}{2} \\
& \therefore \quad x_1=20, \quad x_2=10
\end{aligned}
$$

- 当 $x=20$ 时, $30-x=10$
- 当 $x=10$ 时, $30-x=20$ （不合题意, 舍去）

答：长 20 cm 、宽 10 cm 的长方形，面积才能是 $200 cm^2$ ，周长 60 cm .
2. $x(30-x)=225 \quad \Rightarrow \quad x^2-30 x+225=0$

$$
\therefore \quad x=\frac{30 \pm 0}{2}=15
$$

答：长、宽都取 15 cm 的正方形（长方形的特例），面积是 $225 cm^2$ ，周长 60 cm 。
3. $x(30-x)=250 \quad \Rightarrow \quad x^2-30 x+250=0$

$$
\because \quad \Delta=900-1000=-100<0
$$
∴ 这个方程没有实数根．
答：要用 60cm 长的铁丝，围成面积是 250cm2 的长方形是不可能的．

`例`  如图 3.12, 在直角三角形 $A B C$ 中, 直角边 $A C$ 长 $6 cm, B C$ 长 12 cm .现在有 $P 、 Q$ 两个动点分别从 $A 、 C$ 同时出发, $P$ 点沿 $A C$ 以每秒 1 cm 的速度向 $C$ 移动; $Q$ 点沿 $C B$ 以每秒 2 cm 的速度向 $B$ 移动.

试问: $P 、 Q$ 移动到第几秒钟时, $\triangle P C Q$ 的面积是 $8 cm^2$ ?
 ![图片](/uploads/2024-11/289806.jpg)
 解：设 $P 、 Q$ 同时移动到 $x$ 秒时, $\triangle P C Q$ 的面积是 $8 cm^2$. 由题意可知:

$$
\begin{array}{r}
\frac{1}{2} \times 2 x(6-x)=8 \quad \Rightarrow \quad x^2-6 x+8=0 \\
\therefore \quad x=\frac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2}=\frac{6 \pm 2}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1=4, \quad x_2=2
\end{array}
$$

经检验，两个解都符合题意。

答： $P 、 Q$ 两点同时由 $A 、 C$ 出发, 移动到 2 秒时, 或 4

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