最后更新: 2024-11-09 20:10 查看: 43 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

一元二次方程应用题

## 一元二次方程应用题
`例`把 308 张画片平均分给若干儿童. 已知每人分得的张数比儿童人数少 3 ，试问：有几个儿童？每个人分得画片几张？

解：设儿童有 $x$ 人，则每人分得的画片就为 $(x-3)$ 张.
依题意可知：

$$
\begin{aligned}
x(x-3) & =108 \\
x^2-3 x-108 & =0
\end{aligned}
$$

再由求根公式可以知道，

$$
\begin{aligned}
& \quad x=\frac{3 \pm \sqrt{9+432}}{2}=\frac{3 \pm 21}{2} \\
& \therefore \quad x_1=12, \quad x_2=-6
\end{aligned}
$$

$x$ 是儿童人数, 不能为负值, 所以 $x=-6$ 不合题意, 应舍去, 只取 $x=12$; $x-3=9$.

答：共有儿童 12 人，每人分画片 9 张.

`例` 把 60 cm 长的铁丝作成一个长方形的模型, 要使这个长方形的面积是
1. $200 cm^2$
2. $225 cm^2$
3. $250 cm^2$

它的长、宽各应等于多少 cm ?
 ![图片](/uploads/2024-11/84dbe5.jpg)
 解: 设长方形的长为 $x cm$, 则它的宽就为 $\left(\frac{60}{2}-x\right)=(30-x) cm$.依题意可以分别得出：
1. $x(30-x)=200 \Rightarrow x^2-30 x+200=0$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad x=\frac{30 \pm \sqrt{900-800}}{2}=\frac{30 \pm 10}{2} \\
& \therefore \quad x_1=20, \quad x_2=10
\end{aligned}
$$

- 当 $x=20$ 时, $30-x=10$
- 当 $x=10$ 时, $30-x=20$ （不合题意, 舍去）

答：长 20 cm 、宽 10 cm 的长方形，面积才能是 $200 cm^2$ ，周长 60 cm .
2. $x(30-x)=225 \quad \Rightarrow \quad x^2-30 x+225=0$

$$
\therefore \quad x=\frac{30 \pm 0}{2}=15
$$

答：长、宽都取 15 cm 的正方形（长方形的特例），面积是 $225 cm^2$ ，周长 60 cm 。
3. $x(30-x)=250 \quad \Rightarrow \quad x^2-30 x+250=0$

$$
\because \quad \Delta=900-1000=-100<0
$$
∴ 这个方程没有实数根．
答：要用 60cm 长的铁丝，围成面积是 250cm2 的长方形是不可能的．

`例`  如图 3.12, 在直角三角形 $A B C$ 中, 直角边 $A C$ 长 $6 cm, B C$ 长 12 cm .现在有 $P 、 Q$ 两个动点分别从 $A 、 C$ 同时出发, $P$ 点沿 $A C$ 以每秒 1 cm 的速度向 $C$ 移动; $Q$ 点沿 $C B$ 以每秒 2 cm 的速度向 $B$ 移动.

试问: $P 、 Q$ 移动到第几秒钟时, $\triangle P C Q$ 的面积是 $8 cm^2$ ?
 ![图片](/uploads/2024-11/289806.jpg)
 解：设 $P 、 Q$ 同时移动到 $x$ 秒时, $\triangle P C Q$ 的面积是 $8 cm^2$. 由题意可知:

$$
\begin{array}{r}
\frac{1}{2} \times 2 x(6-x)=8 \quad \Rightarrow \quad x^2-6 x+8=0 \\
\therefore \quad x=\frac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2}=\frac{6 \pm 2}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1=4, \quad x_2=2
\end{array}
$$

经检验，两个解都符合题意。

答： $P 、 Q$ 两点同时由 $A 、 C$ 出发, 移动到 2 秒时, 或 4 秒时, $\triangle P C Q$的面积都等于 $8 cm^2$.

`例`某生产队的粮食产量，两年内从 60 万斤增加到 79.35 万斤，试问：平均每年增加百分之几？

解：设平均每年增加 $x \%$ ，则一年后的产量就是 $60(1+x \%)$ 万斤；两年后产量就应该是 $[60(1+x \%)](1+x \%)$ 万斤。

依题意可得:

$$
\begin{aligned}
60(1+x \%)(1+x \%) & =79.35 \\
60(1+x \%)^2 & =79.35 \\
(1+x \%)^2 & =1.3225 \\
1+x \% & = \pm 1.15 \\
\frac{x}{100} & = \pm 1.15-1 \\
x & =100( \pm 1.15-1)
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \quad x_1=15, \quad x_2=-215
$$

答：平均每年增加 $15 \%$ 。
> 这里讲的"平均每年增加的百分数"，通常都称为"年增长率"。

`例` 一个容器内, 装满了 20 升的纯酒精. 第一次倒出若干升以后, 用水加满；第二次又倒出同样升数的混合液，仍用水加满. 这时，容器内还剩下 5升纯酒精. 试求：第一次倒出多少纯酒精？

解：设第一次倒出纯酒精 $x$ 升. 则，加水以后，第二次倒出 $x$ 升混合溶液中，应含有纯酒精 $\left(\frac{20-x}{20}\right) \cdot x$ 升。

依题意可以列出方程：

$$
20-x-\left(\frac{20-x}{20}\right) x=5
$$

整理后，得 $x^2-40 x+300=0$

$$
\therefore \quad x=\frac{40 \pm \sqrt{1600-1200}}{2}=\frac{40 \pm 20}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1=30, \quad x_2=10
$$
显然, $x_1=30$ 不符合题意, 应舍去.
答：第一次倒出纯酒精 10 升。

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