最后更新: 2024-11-09 20:37 查看: 78 次反馈同步训练

函数奇偶性初步

## 函数的奇偶性

### 偶函数
在研究二次函数之前，我们先来研究函数的一个性质——函数的奇偶性．
我们先来描绘$y=x^2$的图象．先作出下面的数值表：
 ![图片](/uploads/2024-11/21ff4d.jpg)
 用表里各组对应值作为点的坐标, 作出各个点, 然后用平滑的曲线把它们连结起来，就得出 $y=x^2$ 的图象（图5.1），这个图象叫做抛物线. 函数 $y=x^2$的图象, 以后简称为抛物线 $y=x^2$.
  ![图片](/uploads/2024-11/db95a8.jpg)
  
 从上面表格中可以看到这个函数有一个特点：当自变量取绝对值相等而符号相反的两个值时（如 $x$ 取 1.5 和 -1.5），它们对应的函数值相等（ $y$ 都取$2.25)$, 这说明 $y$ 轴垂直平分以点 $(x, f(x)),(-x, f(-x))$ 为端点的线段, 换句话说, 点 $(x, f(x)),(-x, f(x))$ 是关于 $y$ 轴对称的, 因此抛物线 $y=x^2$ 是关于 $y$ 轴对称的.

我们把具有这种特征的函数叫做偶函数. $f(x)$ 是偶函数的标志是：当自变量 $x$ 取一对互为相反数的值时, 函数的值不变, 就有 $f(x)=f(-x)$.

一般地说, 对于函数 $f(x)$, 设 $x$ 和 $-x$ 都属于函数的定义域, 如果

$$
f(-x)=f(x)
$$

那么函数 $f(x)$ 叫做偶函数, 偶函数的图象关于 **$y$ 轴对称**.

### 奇函数
我们再来画函数$ y =\dfrac{1}{8} x^3$ 的图象
先作出下面的数值表：
 ![图片](/uploads/2024-11/1e65c5.jpg)
 根据表格描出他的图像
 ![图片](/uploads/2024-11/fb2478.jpg)

从上面表格中可以看到这个函数也有一个特征：因为， $\frac{1}{8}(-x)^3=-\frac{1}{8} x^3$,所以当自变量取两个互为相反数的值时，对应的函数值也是互为相反数。所以如果点 $(x, f(x))$ 在函数的图象上，那么必有另一点 $(-x,-f(x))$ 也在函数的图象上, 而原点恰是以 $(x, f(x)),(-x,-f(x))$ 为端点的线段的中点, 换句话说, 点 $(x, f(x)),(-x,-f(

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