最后更新: 2024-11-09 20:37 查看: 43 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

函数奇偶性初步

## 函数的奇偶性

### 偶函数
在研究二次函数之前，我们先来研究函数的一个性质——函数的奇偶性．
我们先来描绘$y=x^2$的图象．先作出下面的数值表：
 ![图片](/uploads/2024-11/21ff4d.jpg)
 用表里各组对应值作为点的坐标, 作出各个点, 然后用平滑的曲线把它们连结起来，就得出 $y=x^2$ 的图象（图5.1），这个图象叫做抛物线. 函数 $y=x^2$的图象, 以后简称为抛物线 $y=x^2$.
  ![图片](/uploads/2024-11/db95a8.jpg)
  
 从上面表格中可以看到这个函数有一个特点：当自变量取绝对值相等而符号相反的两个值时（如 $x$ 取 1.5 和 -1.5），它们对应的函数值相等（ $y$ 都取$2.25)$, 这说明 $y$ 轴垂直平分以点 $(x, f(x)),(-x, f(-x))$ 为端点的线段, 换句话说, 点 $(x, f(x)),(-x, f(x))$ 是关于 $y$ 轴对称的, 因此抛物线 $y=x^2$ 是关于 $y$ 轴对称的.

我们把具有这种特征的函数叫做偶函数. $f(x)$ 是偶函数的标志是：当自变量 $x$ 取一对互为相反数的值时, 函数的值不变, 就有 $f(x)=f(-x)$.

一般地说, 对于函数 $f(x)$, 设 $x$ 和 $-x$ 都属于函数的定义域, 如果

$$
f(-x)=f(x)
$$

那么函数 $f(x)$ 叫做偶函数, 偶函数的图象关于 **$y$ 轴对称**.

### 奇函数
我们再来画函数$ y =\dfrac{1}{8} x^3$ 的图象
先作出下面的数值表：
 ![图片](/uploads/2024-11/1e65c5.jpg)
 根据表格描出他的图像
 ![图片](/uploads/2024-11/fb2478.jpg)

从上面表格中可以看到这个函数也有一个特征：因为， $\frac{1}{8}(-x)^3=-\frac{1}{8} x^3$,所以当自变量取两个互为相反数的值时，对应的函数值也是互为相反数。所以如果点 $(x, f(x))$ 在函数的图象上，那么必有另一点 $(-x,-f(x))$ 也在函数的图象上, 而原点恰是以 $(x, f(x)),(-x,-f(x))$ 为端点的线段的中点, 换句话说, 点 $(x, f(x)),(-x,-f(x))$ 是关于原点对称的. 因此立方抛物线 $y=\frac{1}{8} x^3$ 是关于原点对称的，我们把具有这种特征的函数叫做奇函数， $f(x)$ 是奇函数的标志是：当自变量 $x$ 取一对互为相反数的值时，函数的值也是互为相反数，就是 $f(-x)=-f(x)$.

一般地说，对于函数 $f(x)$ ，设 $x$ 与 $-x$ 都属于函数的定义域，如果

$$
f(-x)=-f(x)
$$

那么函数 $f(x)$ 叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称.
考虑一个函数是偶函数、奇函数，或者既不是偶函数又不是奇函数，叫做研究函数的奇偶性，对于一个奇函数或者偶函数，要了解它的性质和图象，只要了解当自变量取正值时的性质和图象就可以了。例如，要作函数 $y=\frac{1}{8} x^3$ 的图象，因为它是奇函数，所以只要作出自变量取正值时的函数图象，就可以利用奇函数的图象必定关于原点对称这一特点, 作出自变量取负值时的图象.

**** 研究下列函数的奇偶性：

$$
f(x)=x^4+x^2, \quad f(x)=x^3+x, \quad f(x)=x+1
$$

解:
1. 对于 $f(x)=x^4+x^2$, 我们有:

$$
f(-x)=(-x)^4+(-x)^2=x^4+x^2=f(x)
$$

$\therefore$ 函数 $f(x)=x^4+x^2$ 是偶函数.
2. 对于 $f(x)=x^3+x$, 我们有:

$$
f(-x)=(-x)^3+(-x)=-\left(x^3+x\right)=-f(x)
$$

$\therefore$ 函数 $f(x)=x^3+x$ 是奇函数.
3 . 对于 $f(x)=x+1$, 我们有:

$$
f(-x)=-x+1
$$

这里 $f(-x) \neq f(x)$, 并且 $f(-x) \neq-f(x)$, 所以函数 $f(x)=x+1$ 既不是偶函数又不是奇函数.

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