最后更新: 2025-06-26 11:14 查看: 159 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二次函数图像

## $y=ax^2$的图像
### $a>0$
先考虑$a>0$的图像，画出 $y=x^2$ 和 $y=\frac{1}{2} x^2$ 的图象, 然后把这两个图象和 $y=2 x^2$ 的图象都画在同一个坐标系里。
 ![图片](/uploads/2024-11/0eb845.jpg)
 从这个表可以看到, 对于同一个 $x$ 值, 函数 $y=2 x^2$ 所对应的值是函数 $y=x^2$ 所对应的值的 2 倍. 所以要画出函数 $y=2 x^2$ 的图象，可以用 $y=x^2$的图象为基础.

除了让这图象上的原点不动外, 其它每一点的纵坐标都拉长到原来的 2 倍,这样得到的新的点集就是 $y=2 x^2$ 的图象. 作图时我们只描出图象上几个关于 $y$ 轴对称的点, 如上表所示, 然后用平滑的曲线把它们连接起来.
同理, 要作出函数 $y=\frac{1}{2} x^2$ 的图象, 也可以用 $y=x^2$ 的图象为基础. 除了让 $y=x^2$ 的图象上的原点不动外，其它每一点的纵标都压缩到原来的 $\frac{1}{2}$ ，便得到 $y=\frac{1}{2} x^2$ 的图象。作图时我们只描出图象上关于 $y$ 轴对称的点，如上表所示，然后用平滑曲线把它们连接起来。这样，就得到这三个函数的图象如图 5.4.
 ![图片](/uploads/2024-11/7448d3.jpg)
 
 ### $a<0$
 例如，我们要画函数 $y=-x^2$ 的图象，也可以在函数 $y=x^2$ 的图象的基础上来研究。
 作下面的表：
  ![图片](/uploads/2024-11/da56b3.jpg)
  从这个表可以看到, 对于同一个 $x$ 值, 函数 $y=-x^2$ 所对应的值, 恰巧是函数 $y=x^2$ 所对应的值的相反数，当 $x$ 遍取一切实数值时，把函数 $y=x^2$ 图象上的每一点纵坐标改为它的相反数就得到函数 $y=-x^2$ 的图象上的点, 而以  $\left(x,-x^2\right)$ 和 $\left(x, x^2\right)$ 为坐标的点是关于 $x$ 轴的对称点, 因此把图象 $y=x^2$ 沿 $x$轴折转过来就可以得到 $y=-x^2$ 的图象. $y=-x^2$ 的图象是在 $x$ 轴下方, 开口向下（图5.5）。

同样，从函数 $y=2 x^2$ 和 $y=4 x^2$ 的图象可得出函数 $y=-2 x^2$ 和 $y=$ $-4 x^2$ 的图象 (图 5.6). 这些图象在 x 轴下方, 开口向下.
 ![图片](/uploads/2024-11/8f02c1.jpg)
 
 总结上面这两种情况, 我们知道函数 $y=a x^2$ 的图象是一条抛物线.
从图象上我们能看到二次函数 $y=a x^2$ 的下面一些性质:

#### 性质 1
抛物线 $y=a x^2$ 可向 $x$ 轴左右方向无限延伸. 这就是说函数 $y=a x^2$ 的定义域为实数集 $R$ 。

#### 性质 2
抛物线 $y=a x^2$ 在 $a>0$ 时，在 $x$ 轴上方且在 $y$ 轴的左右两侧同时向上无限延伸，这就是说函数 $y=a x^2$ 在 $a>0$ 时，函数值域为非负实数，即 $R ^{+} \cup\{0\} ;$ 在 $a<0$ 时，抛物线 $y=a x^2$ 在 $x$ 轴下方且在 y 轴两侧同时向下无限延伸，这就是说函数 $y=a x^2$ 在 $a<0$ 时，函数值域为非正实数，即 $R ^{-} \cup\{0\}$ 。

#### 性质 3
抛物线 $y=a x^2$ 在 $a>0$ 时开口向上, 在 $a<0$ 时开口向下, 且 $|a|$ 越大开口就越小.

#### 性质 4
抛物线 $y=a x^2$ 关于 $y$ 轴对称, 这就是说函数 $y=a x^2$ 是个偶函数, 事实上这个性质是可以证明的，即由于 $f(-x)=a(-x)^2=a x^2=f(x)$ ，故函数 $y=a x^2$ 是个偶函数. 我们把 $y$ 轴称为抛物线 $y=a x^2$ 的对称轴，其方程是 $x=0$.
#### 性质 5
抛物线 $y=a x^2$ 当 $a>0$ 时, 图象在 $(-\infty, 0)$ 是下降的, 在 $(0,+\infty)$ 是上升的. 这就是说函数 $y=a x^2$ 当 $a>0$ 时, 在 $(-\infty, 0)$ 是递减的; 在 $(0,+\infty)$ 是递增的（图5.7）。
抛物线 $y=a x^2$ 当 $a<0$ 时，图象在 $(-\infty, 0)$ 是上升的，在 $(0,+\infty)$ 是下降的, 这就是说函数 $y=a x^2$ 当 $a<0$ 时, 在 $(-\infty, 0)$ 是递增的; 在 $(0,+\infty)$ 是递减的（图5.8）。

事实上，这个性质是可以证明的，我们只证 $a>0$ 的情况， $a<0$ 的情况留给同学们自己证明。

`例`证明：函数 $y=a x^2$ 当 $a>0$ 时，在 $(-\infty, 0)$ 是递减的，在 $(0,+\infty)$ 是递增的。
证明：
1. 设 $x_1, x_2 \in(-\infty, 0)$ 且 $x_1<x_2$, 则

$$
\begin{aligned}
f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) & =a x_2^2-a x_1^2=a\left(x_2^2-x_1^2\right) \\
& =a\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2024-11/4edd65.jpg)
 $$
\begin{aligned}
& \because \quad x_1, x_2 \in(-\infty, 0), \therefore \quad x_1<0, x_2<0 \\
& \therefore \quad x_1+x_2<0, \text { 又 } a>0, x_2-x_1>0 \\
& \therefore \quad a\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)<0, \text { 则 } f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right) \\
& \therefore \qu

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