最后更新: 2024-11-09 20:46 查看: 52 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

二次函数图像

## $y=ax^2$的图像
### $a>0$
先考虑$a>0$的图像，画出 $y=x^2$ 和 $y=\frac{1}{2} x^2$ 的图象, 然后把这两个图象和 $y=2 x^2$ 的图象都画在同一个坐标系里。
 ![图片](/uploads/2024-11/0eb845.jpg)
 从这个表可以看到, 对于同一个 $x$ 值, 函数 $y=2 x^2$ 所对应的值是函数 $y=x^2$ 所对应的值的 2 倍. 所以要画出函数 $y=2 x^2$ 的图象，可以用 $y=x^2$的图象为基础.

除了让这图象上的原点不动外, 其它每一点的纵坐标都拉长到原来的 2 倍,这样得到的新的点集就是 $y=2 x^2$ 的图象. 作图时我们只描出图象上几个关于 $y$ 轴对称的点, 如上表所示, 然后用平滑的曲线把它们连接起来.
同理, 要作出函数 $y=\frac{1}{2} x^2$ 的图象, 也可以用 $y=x^2$ 的图象为基础. 除了让 $y=x^2$ 的图象上的原点不动外，其它每一点的纵标都压缩到原来的 $\frac{1}{2}$ ，便得到 $y=\frac{1}{2} x^2$ 的图象。作图时我们只描出图象上关于 $y$ 轴对称的点，如上表所示，然后用平滑曲线把它们连接起来。这样，就得到这三个函数的图象如图 5.4.
 ![图片](/uploads/2024-11/7448d3.jpg)
 
 ### $a<0$
 例如，我们要画函数 $y=-x^2$ 的图象，也可以在函数 $y=x^2$ 的图象的基础上来研究。
 作下面的表：
  ![图片](/uploads/2024-11/da56b3.jpg)
  从这个表可以看到, 对于同一个 $x$ 值, 函数 $y=-x^2$ 所对应的值, 恰巧是函数 $y=x^2$ 所对应的值的相反数，当 $x$ 遍取一切实数值时，把函数 $y=x^2$ 图象上的每一点纵坐标改为它的相反数就得到函数 $y=-x^2$ 的图象上的点, 而以  $\left(x,-x^2\right)$ 和 $\left(x, x^2\right)$ 为坐标的点是关于 $x$ 轴的对称点, 因此把图象 $y=x^2$ 沿 $x$轴折转过来就可以得到 $y=-x^2$ 的图象. $y=-x^2$ 的图象是在 $x$ 轴下方, 开口向下（图5.5）。

同样，从函数 $y=2 x^2$ 和 $y=4 x^2$ 的图象可得出函数 $y=-2 x^2$ 和 $y=$ $-4 x^2$ 的图象 (图 5.6). 这些图象在 x 轴下方, 开口向下.
 ![图片](/uploads/2024-11/8f02c1.jpg)
 
 总结上面这两种情况, 我们知道函数 $y=a x^2$ 的图象是一条抛物线.
从图象上我们能看到二次函数 $y=a x^2$ 的下面一些性质:

#### 性质 1
抛物线 $y=a x^2$ 可向 $x$ 轴左右方向无限延伸. 这就是说函数 $y=a x^2$ 的定义域为实数集 $R$ 。

#### 性质 2
抛物线 $y=a x^2$ 在 $a>0$ 时，在 $x$ 轴上方且在 $y$ 轴的左右两侧同时向上无限延伸，这就是说函数 $y=a x^2$ 在 $a>0$ 时，函数值域为非负实数，即 $R ^{+} \cup\{0\} ;$ 在 $a<0$ 时，抛物线 $y=a x^2$ 在 $x$ 轴下方且在 y 轴两侧同时向下无限延伸，这就是说函数 $y=a x^2$ 在 $a<0$ 时，函数值域为非正实数，即 $R ^{-} \cup\{0\}$ 。

#### 性质 3
抛物线 $y=a x^2$ 在 $a>0$ 时开口向上, 在 $a<0$ 时开口向下, 且 $|a|$ 越大开口就越小.

#### 性质 4
抛物线 $y=a x^2$ 关于 $y$ 轴对称, 这就是说函数 $y=a x^2$ 是个偶函数, 事实上这个性质是可以证明的，即由于 $f(-x)=a(-x)^2=a x^2=f(x)$ ，故函数 $y=a x^2$ 是个偶函数. 我们把 $y$ 轴称为抛物线 $y=a x^2$ 的对称轴，其方程是 $x=0$.
#### 性质 5
抛物线 $y=a x^2$ 当 $a>0$ 时, 图象在 $(-\infty, 0)$ 是下降的, 在 $(0,+\infty)$ 是上升的. 这就是说函数 $y=a x^2$ 当 $a>0$ 时, 在 $(-\infty, 0)$ 是递减的; 在 $(0,+\infty)$ 是递增的（图5.7）。
抛物线 $y=a x^2$ 当 $a<0$ 时，图象在 $(-\infty, 0)$ 是上升的，在 $(0,+\infty)$ 是下降的, 这就是说函数 $y=a x^2$ 当 $a<0$ 时, 在 $(-\infty, 0)$ 是递增的; 在 $(0,+\infty)$ 是递减的（图5.8）。

事实上，这个性质是可以证明的，我们只证 $a>0$ 的情况， $a<0$ 的情况留给同学们自己证明。

证明：函数 $y=a x^2$ 当 $a>0$ 时，在 $(-\infty, 0)$ 是递减的，在 $(0,+\infty)$ 是递增的。
证明：
1. 设 $x_1, x_2 \in(-\infty, 0)$ 且 $x_1<x_2$, 则

$$
\begin{aligned}
f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) & =a x_2^2-a x_1^2=a\left(x_2^2-x_1^2\right) \\
& =a\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2024-11/4edd65.jpg)
 $$
\begin{aligned}
& \because \quad x_1, x_2 \in(-\infty, 0), \therefore \quad x_1<0, x_2<0 \\
& \therefore \quad x_1+x_2<0, \text { 又 } a>0, x_2-x_1>0 \\
& \therefore \quad a\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)<0, \text { 则 } f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right) \\
& \therefore \quad f(x) \text { 在 }(-\infty, 0) \text { 上递减. }
\end{aligned}
$$

2. 设 $x_1, x_2 \in(0,+\infty)$ 且 $x_1<x_2$, 则

$$
\begin{aligned}
& \quad f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=a\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)>0 \\
& \therefore \quad f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)
\end{aligned}
$$

$\therefore f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增.
这样，在 $a>0$ 的情况下，函数 $y=a x^2$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减，而在 $(0,+\infty)$上递增。
#### 性质 6
对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线 $y=a x^2$ 的顶点是原点 $(0,0)$. 这就是说, 有序数对 $(0,0)$ 适合关系 $y=a x^2$.

#### 性质 7
抛物线 $y=a x^2$ 的顶点的特点是: 曲线由下降通过它转变到上升 $(a>0)$,或者曲线由上升通过它转变到下降的一点 $(a<0)$, 相应地函数 $f(x)=$ $a x^2 \quad(a>0$ 或 $a<0)$ ，在顶点横坐标 $x_0=0$ 的左邻递减（递增），但是在 $x_0=0$ 的右邻改为递增（递减）， $x_0=0$ 是 $f(x)=a x^2$ 在点 $x_0=0$的邻近取极小（大）值的一点，我们称点 $x_0=0$ 是 $f(x)=a x^2$ 的一个极小（大）点， $f(0)=0$ 叫做 $f(x)=a x^2$ 在极小（大）点 $x_0=0$ 的极小 (大) 值.
在这里需要明确的是, 极值都是函数由递增转到递减, 或由递减转到递增的那一点取得的，而函数的最大值或最小值，仅仅指的是函数值的最大或最小，并不要求由递增到递减或由递减到递增的转变条件。

由性质 5 知道，二次函数 $y=a x^2$ ，仅有一个极值点 $x_0=0$ ，在这种情形下, 二次函数在点 $x_0=0$ 的极值 $f(0)=0$, 与它的最大值或最小值是一致的.事实上，当 $a>0$ 时， $y=a x^2$ 对于一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，都有 $f(x)=a x^2 \geq 0$ ，所以 $f(0)=0$ 是最小值; 当 $a<0$ 时, $y=a x^2$ 对于一切 $x \in(-\infty,+\infty)$, 都有 $f(x)=a x^2 \leq 0$ ，所以 $f(0)=0$ 是最大值. 对于二次函数，我们常用实数平方不小零这个原理来求一般二次函数的极值点和极值（也是二次函数的最值）。

从以上讨论可以看到, 对抛物线 $y=a x^2$ 主要要掌握三件东西：对称轴、顶点、开口方向，即 $a$ 的正负。而这三件东西又都和二次函数的极值点、极值有关, 顶点的坐标确定后, 对称轴方程和极值点也就随之求出, 故顶点位置是个关键。

最后我们要指出，上面我们是由抛物线 $y=a x^2$ 的特点来看二次函数 $y=$ $a x^2$ 的性质的，但今后等我们逐步地学到了更多的函数性质后，我们应该有意识地学会先研究函数的性质，再由函数的性质去把握函数图象的大致形状，最后用描点法画出图象, 这时所画的函数图象就较为精确了.

## 三、函数 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的图象
（一）函数 $y=a x^2+c(a \neq 0)$ 的图象
为确定起见, 假设 $c>0$, 从解析式 $y=a x^2+c$ 和 $y=a x^2$ 明显地看出,对于自变量的相同值， $y=a x^2+c$ 的对应值，总可以由 $y=a x^2$ 的对应值加上 $c$ 得到，这表示 $y=a x^2+c$ 的图象上的一切点比抛物线 $y=a x^2$ 上具有相同横坐标的点高出 $c$ 个单位. 因此, $y=a x^2+c$ 的图象, 可以由抛物线 $y=a x^2$沿着 $y$ 轴向上平移 $c$ 个单位得到. 如果 $c<0$, 那么 $y=a x^2+c$ 的图象是由抛物线 $y=a x^2$ ，沿着 $y$ 轴向下平移 $|c|$ 个单位得到。

例如，我们把函数 $y=2 x^2$ 的图象向上移动 1 个单位，就可以得到函数 $y=2 x^2+1$ 的图象; 向下移动 3 个单位, 就可以得到函数 $y=2 x^2-3$ 的图象.

所以函数 $y=a x^2+c$ 的图象仍旧是一条抛物线. 当 $a>0$ 时，开口向上; $a<0$ 时，开口向下，对称轴方程是 $x=0$ （ $y$ 轴为对称轴）；顶点坐标是 $(0, c)$.当 $a>0$ 时, 在 $x=0$ 处取得 $y_{\text {min }}=c$. 当 $a<0$ 时, 在 $x=0$ 处取得 $y_{\text {max }}=c$

(注：以后我们用 $y_{\text {min }}$ 表示 $y$ 的极小值; 用 $y_{\max }$ 表示 $y$ 的极大值).
我们从图形的平移观点确定了 $y=k x+b$ 的图象是一条平行于直线 $y=k x$的直线, 也确定了 $y=a x^2+c$ 的图象是抛物线, 它的顶点是 $(0, c)$. 更一般的结论是：

函数 $y=f(x)+b$ 的图象是由 $y=f(x)$ 的图象沿 $y$ 轴平移而来的, 若 $b>0$, 则向上平移 $b$ 个单位. 若 $b<0$, 则向下平移 $|b|$ 个单位.
（二）函数 $y=a(x+m)^2$ 的图象
例如函数 $y=\frac{1}{4}(x+2)^2, y=\frac{1}{4}(x-2)^2$ 都是这种类型的函数.
我们把上面两个函数的图象与 $y=\frac{1}{4} x^2$ 比较. 分别列表如下:
 ![图片](/uploads/2024-11/16b01f.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-11/1e6dcd.jpg)
  
  从表中可以看出, 函数 $y=\frac{1}{4}(x+2)^2$ 在自变量取某一值 $x=x_1$ 时, 所对应的函数值 $y=\frac{1}{4}(x+2)^2$, 恰巧和函数 $y=\frac{1}{4} x^2$ 在自变量取值 $x=x_1+2$ 时所对应的函数值 $y=\frac{1}{4}(x+2)^2$ 相同. 这就告诉我们, 在函数 $y=\frac{1}{4}(x+2)^2$ 的图象上的点 $\left(x_1, \frac{1}{4}\left(x_1+2\right)^2\right)$ 与函数 $y=\frac{1}{4} x^2$ 的图象上的点 $\left(x_1+2, \frac{1}{4}\left(x_1+2\right)^2\right)$
  
  的纵坐标相等, 因此这两点的连接线段平行 $x$ 轴, 并且横坐标是 $x_1$ 的点在横坐标是 $x_1+2$ 的点的右边 2 个单位处，利用这个关系，我们只需把函数 $y=\frac{1}{4} x^2$的图象上的每一点向左平移 2 个单位, 就可以得到函数 $y=\frac{1}{4}(x+2)^2$ 的图象 （图5.9）。

同样，函数 $y=\frac{1}{4}(x-2)^2$ 在自变量取某一值 $x$ 时，所对应的函数值 $y=$ $\frac{1}{4}\left(x_1-2\right)^2$, 恰巧和函数 $y=\frac{1}{4} x^2$ 在自变量取值 $x=x_1-2$ 时, 所对应的函数值 $y=\frac{1}{4}\left(x_1-2\right)^2$ 相同，这就告诉我们，在函数 $y=\frac{1}{4}(x-2)^2$ 的图象上，横坐标是 $x_1$ 的点的纵坐标就等于函数 $y=\frac{1}{4} x^2$ 的图象上横坐标是 $x_1-2$ 的点的纵坐标. 利用这个关系，我们只需把函数 $y=\frac{1}{4} x^2$ 的图象上的每一点向右平移 2 个单位, 就可以得到函数 $y=\frac{1}{4}(x-2)^2$ 的图象（图5.10）.
 ![图片](/uploads/2024-11/b2ed84.jpg)
 由此可见, 函数 $y=a(x+m)^2$ 的图象, 由函数 $y=a x^2$ 的图象沿 $x$ 轴方向左右平移得到. 当 $m>0$ 时, 向左平移 $m$ 个单位; 当 $m<0$ 时, 向右平移 $|m|$ 个单位.

因此函数 $y=a(x+m)^2$ 的图象，仍然是一条抛物线， $a>0$ 时，开口向上； $a<0$ 时, 开口向下, 对称轴方程是 $x=-m$, 顶点坐标是 $(-m, 0)$. 当 $a>0$时, 在 $x=-m$ 处取得 $y_{\text {min }}=0$, 当 $a<0$ 时, 在 $x=-m$ 处取得 $y_{\text {max }}=0$.

应当指出：
1. 上述的平移原理可以推广到一般情形. 即函数 $f(x+m)$ 的图象, 是由函数 $f(x)$ 的图象沿 $x$ 轴方向左右平移得到. 当 $m>0$ 时, 向左平移 $m$ 个
单位; 当 $m<0$ 时, 向右平移 $|m|$ 个单位.
2. 具体作函数 $y=a(x+m)^2$ 的图象时，不必先作出 $y=a x^2(a \neq 0)$ 的图象, 再作相应的平移得到它, 而是先确定抛物线 $y=a(x+m)^2$ 的顶点和对称轴, 从顶点开始, 左右取对称的点, 再用平滑曲线去连接.

（三）函数 $y=-\frac{1}{4}(x-2)^2-3$ 的图象
函数 $y=a(x+m)^2+k$ 的图象, 是由函数 $y=a(x+m)^2$ 的图象沿 $y$ 轴方向上下平移得到. 当 $k>0$ 时, 向上平移 $k$ 个单位; 当 $k<0$ 时, 向下平移 $|k|$ 个单位. 而 $y=a(x+m)^2$ 的图象, 是由 $y=a x^2$ 的图象沿 $x$ 轴方向左右

平移得到. 当 $m>0$ 时, 向左平移 $m$ 个单位; 当 $m<0$ 时, 向右平移 $|m|$ 个单位, 故函数 $y=a(x+m)^2+k$ 的图象, 是由函数 $y=a x^2$ 的图象经上下左右平移得到。

由此可见，函数 $y=a(x+m)^2+k$ 的图象，也是一条抛物线，当 $a>0$时, 开口向上, 当 $a<0$ 时, 开口向下. 对称轴方程是 $x=-m$, 顶点坐标是 $(-m, k)$. 当 $a>0$ 时, 在 $x=-m$ 处取得 $y_{\text {min }}=k$, 当 $a<0$ 时, 在 $x=-m$处取得 $y_{\text {max }}=k$.

### （四）函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象
现在我们来研究函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象. 因为

$$
\begin{aligned}
a x^2+b x+c & =a\left(x^2+\frac{b}{a} x\right)+c \\
& =a\left[x^2+\frac{b}{a} x+\left(\frac{b}{2 a}\right)^2\right]+c-\frac{b^2}{4 a} \\
& =a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4 a}
\end{aligned}
$$

所以函数 $y=a x^2+b x+c$ 可以化成 $y=a(x+m)^2+k$ 的形式, 这里 $m=\frac{b}{2 a}$, $k=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$.

由此可知，函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象和函数 $y=a x^2$ 的图象完全相同，只是位置不同，它们都是抛物线。

抛物线 $y=a x^2+b x+c$, 对称轴方程是 $x=-\frac{b}{2 a}$, 顶点坐标是 $\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^2}{4 a}\right)$.
- 当 $a>0$ 时, 二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 开口向上,在 $x=-\frac{b}{2 a}$ 处取得 $y_{\text {min }}=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$;
- 当 $a<0$ 时, 函数开口向下, 在 $x=-\frac{b}{2 a}$ 处取得 $y_{\text {max }}=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$.

例 5.10 1. $k$ 为何值时, 拋物线 $y=x^2+2 k x+1$ 的顶点在直线 $y=x$ 上?
2. 说明上述情况下的抛物线是由怎样的抛物线作怎样的平移得到的.

解:

$$
y=x^2+2 k x+1=(x+k)^2+1-k^2
$$

抛物线 $(5.5)$ 的顶点坐标是 $(-k, 1-k)$. 顶点在直线 $y=x$ 上的充要条件是:

$$
\begin{aligned}
& \quad 1-k 2=-k \quad \Rightarrow \quad k^2-k-1=0 \\
& \therefore \quad k=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
$$

因此, 当 $k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $k=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 时, 抛物线 (5.5) 的顶点在直线 $y=x$上，这时抛物线方程是：

$$
y=\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}
$$
和

$$
\begin{aligned}
y & =\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\
& =\left(x-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+\frac{\sqrt{5}-1}{2}
\end{aligned}
$$

抛物线 (5.6) 是由抛物线 $y=x^2$ 向左移 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 个单位再向下移 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$个单位得来；抛物线（5.7）是由抛物线 $y=x^2$ 向右移 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 个单位再向上移 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 个单位得来.

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