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给点求二次函数

## 给点求二次函数
在上一节里我们研究了二次函数的图象和它的性质，现在我们进一步来研
究，如何根据二次函数满足的条件来确定这个二次函数的问题，下面我们来看几个例题

`例`已经知道函数 $y=f(x)$ 是一个二次函数, 并且知道它的图象通过 $A(0,1), B(1,3), C(-1,1)$ 三点, 写出这个二次函数.

解: 二次函数的一般形式是

$$
y=a x^2+b x+c
$$

要确定这个函数，必须知道二次三项式里三个系数 $a, b, c$ 的值. 由函数图象的定义知道，图象上的点的坐标必适合函数关系式，现在已知 $A, B, C$ 三点在图象上，故它们的坐标必适合关系式（5.8），因此可以列出关于 $a, b, c$ 的三元一次方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
1=a \cdot 0^2+b \cdot 0+c \\
3=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c \\
1=a(-1)^2+b(-1)+c
\end{array}\right.
$$

即:

$$
\left\{\begin{array}{l}
c=1 \\
a+b+c=3 \\
a-b+c=1
\end{array}\right.
$$

解方程组 (5.9) 得

$$
a=1, \quad b=1, \quad c=1
$$

所求的二次函数是 $y=x^2+x+1$.

`例` 已知二次函数的图象与 $x$ 轴交于 $(-2,0)$ 和 $(1,0)$ 两点, 又通过点 $(3,-5)$, 求这个二次函数的表达式、它的极值点和极值.

解: 二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $(-2,0),(1,0)$ 的意思，是说函数值 $f(-2)=0$ 和 $f(1)=0$ 。根据余式定理的推论 $2,(x+2)(x-1)$必能整除 $f(x)=a x^2+b x+c$. 因此这个二次函数表达式可以写成:

$$
f(x)=a(x+2)(x-1)
$$

又它的图象通过点 $(3,-5)$, 即 $f(3)=-5$, 将 $x=3$ 和 $x=-5$ 代人上式得

$$
\begin{array}{ll} 
& -5=a(3+2)(3-1) \\
\therefore \quad a & =-\frac{1}{2} .
\end{array}
$$

因此所求二次函数表达式是:

$$
\begin{aligned}
f(x) & =-\frac{1}{2}(x+2)(x-1) \\
& =-\frac{1}{2}\left(x^2+x-2\right) \\
& =-\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2}+1
\end{aligned}
$$

因为抛物线顶点的横坐标等于对称轴与 $x$ 轴的交点的横坐标, 设顶点横坐标是 $x_0$ ，于是在 $x$ 轴上有

$$
x_0-(-2)=1-x_0
$$

即: $x_0=\frac{(-2)+1}{2}=-\frac{1}{2}$ (图 5.15) 代入 (5.10) 得顶点纵坐标:

$$
\begin{aligned}
& \qquad y_0=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2\right)=\frac{9}{8}

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