最后更新: 2025-04-14 09:23 查看: 69 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

给点求二次函数

## 给点求二次函数
在上一节里我们研究了二次函数的图象和它的性质，现在我们进一步来研
究，如何根据二次函数满足的条件来确定这个二次函数的问题，下面我们来看几个例题

例 $5 . 1 1$ 已经知道函数 $y=f(x)$ 是一个二次函数, 并且知道它的图象通过 $A(0,1), B(1,3), C(-1,1)$ 三点, 写出这个二次函数.

解: 二次函数的一般形式是

$$
y=a x^2+b x+c
$$

要确定这个函数，必须知道二次三项式里三个系数 $a, b, c$ 的值. 由函数图象的定义知道，图象上的点的坐标必适合函数关系式，现在已知 $A, B, C$ 三点在图象上，故它们的坐标必适合关系式（5.8），因此可以列出关于 $a, b, c$ 的三元一次方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
1=a \cdot 0^2+b \cdot 0+c \\
3=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c \\
1=a(-1)^2+b(-1)+c
\end{array}\right.
$$

即:

$$
\left\{\begin{array}{l}
c=1 \\
a+b+c=3 \\
a-b+c=1
\end{array}\right.
$$

解方程组 (5.9) 得

$$
a=1, \quad b=1, \quad c=1
$$

所求的二次函数是 $y=x^2+x+1$.

例 5.12 已知二次函数的图象与 $x$ 轴交于 $(-2,0)$ 和 $(1,0)$ 两点, 又通过点 $(3,-5)$, 求这个二次函数的表达式、它的极值点和极值.

解: 二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $(-2,0),(1,0)$ 的意思，是说函数值 $f(-2)=0$ 和 $f(1)=0$ 。根据余式定理的推论 $2,(x+2)(x-1)$必能整除 $f(x)=a x^2+b x+c$. 因此这个二次函数表达式可以写成:

$$
f(x)=a(x+2)(x-1)
$$

又它的图象通过点 $(3,-5)$, 即 $f(3)=-5$, 将 $x=3$ 和 $x=-5$ 代人上式得

$$
\begin{array}{ll} 
& -5=a(3+2)(3-1) \\
\therefore \quad a & =-\frac{1}{2} .
\end{array}
$$

因此所求二次函数表达式是:

$$
\begin{aligned}
f(x) & =-\frac{1}{2}(x+2)(x-1) \\
& =-\frac{1}{2}\left(x^2+x-2\right) \\
& =-\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2}+1
\end{aligned}
$$

因为抛物线顶点的横坐标等于对称轴与 $x$ 轴的交点的横坐标, 设顶点横坐标是 $x_0$ ，于是在 $x$ 轴上有

$$
x_0-(-2)=1-x_0
$$

即: $x_0=\frac{(-2)+1}{2}=-\frac{1}{2}$ (图 5.15) 代入 (5.10) 得顶点纵坐标:

$$
\begin{aligned}
& \qquad y_0=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2\right)=\frac{9}{8} \\
& \because \quad a=-\frac{1}{2}<0 \\
& \therefore \quad \text { 在 } x_0=-\frac{1}{2} \text { 处 } y_{\max }=\frac{9}{8} .
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2024-11/a819a2.jpg)
 
 注意：我们在求函数的极值点与极值时没有应用前面给出的公式，而是借助于二次函数的图象的顶点在对称轴上.

结合图象来研究二次函数的性质是解决问题的一个途径.
例 5.13 已知函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象是以点 $(2,3)$ 为顶点的抛物线, 并且这图象通过 $(3,1)$, 写出这个函数.
解：解法 1：抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 的顶点坐标是： $\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^2}{4 a}\right)$ ，根据已知条件得：

$$
\begin{array}{r}
-\frac{b}{2 a}=2 \\
\frac{4 a c-b^2}{4 a}=3
\end{array}
$$

另外根据抛物线通过点 $(3,1)$, 又可得到一个方程：

$$
1=9 a+3 b+c
$$

把 $(5.11),(5.12),(5.13)$ 联立, 就可得到关于 $a, b, c$ 的方程组:

$$
\begin{cases}-\frac{b}{2 a} & =2 \\ \frac{4 a c-b^2}{4 a} \\ 9 a+3 b+c=1 & =3\end{cases}
$$

解方程组 (5.14)，得

$$
a=-2, \quad b=8, \quad c=-5
$$

所求的二次函数是 $y=-2 x^3+8 x-5$.
解法 2: 以点 $(m, k)$ 为顶点的抛物线方程是 $y=a(x-m)^2+k$. 这样根据已知条件, 就可以写出所求的二次函数是

$$
y=a(x-2)^2+3
$$

因为点 $(3,1)$ 在图象上, 所以把 $x=3, y=1$ 代人 (5.15) 得到

$$
1=a(3-2)^2+3
$$

由此得 $a=-2$. 把它代人 (5.15) 就得

$$
y=-2(x-2)^2+3=-2 x^2+8 x-5
$$

故所求二次函数是 $y=-2 x^2+8 x-5$.
解法 2 要比解法 1 方便些。
由上面讨论可知, 要确定一个二次函数需要三个独立条件去确定系数 $a, b, c$,若条件中有顶点坐标（如例 5.13），那么这个顶点坐标算两个独立条件，这是因为顶点已知的话，所求抛物线的位置已经确定，所剩就是确定抛物线的开口情况（即系数 $a$ ），故只要再有一个条件就可确定了。

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