最后更新: 2025-06-26 11:17 查看: 105 次反馈同步训练

二次函数极值

## 二次函数极值
根据实数的平方不小于零, 容易求得二次函数的极值如下:

$$
y=a x^2+b x+c=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4 a}
$$

1. 如果 $a>0$, 那么 $a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2 \geq 0$

$$
y=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4 a} \geq \frac{4 a c-b^2}{4 a}
$$

即当 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, 函数有极小值, $y_{\text {min }}=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$
2. 如果 $a<0$, 那么 $a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2 \leq 0$

$$
y=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4 a} \leq \frac{4 a c-b^2}{4 a}
$$

即当 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, 函数有极大值, $y_{\text {max }}=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$
求二次函数的极值有着许多实际的应用，下面我们举几个例子.

`例`某工厂为了存放材料，需要围一个周长为 160 米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？

解: 设一边为 $x m$, 则另一边长为 $(80-x) m$, 如果 $y m^2$ 是矩形的面积, 则

$$
\begin{aligned}
y=x(80-x) & =-x^2+80 x, \quad(0<x<80) \\
& =-\left(x^2-80 x+1600-1600\right) \\
& =-(x-40)^2+1600
\end{aligned}
$$

因此, 当边长是 40 m 的正方形时, 有最大面积 $1600 m^2$.

`例`窗的形状是矩形上面加一个半圆, 它的周长等于 6 米, 要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该怎样设计？

解：设半圆的半径是 $x$ 米 (图 5.16），那么半圆的长就是 $\pi x$ 米，矩形的底 $B C$就是 $2 x$ 米, 而矩形的高 $A B$ 和 $C D$ 就是 $\frac{6-\pi x-2 x}{2}$ 米.
 ![图片](/uploads/2024-11/9627f4.jpg)
 设图形的总面积是 $y$ 平方米, 那么在开区间 $\left(0, \frac{6}{\pi+2}\right)$ 上,

$$
y=\frac{6-\pi x-2 x}{2} \cdot 2 x+\frac{1}{2} \pi x^2
$$

就是

$$
\begin{aligned}
y & =6 x-\left(\frac{\pi}{2}+2\right) x^2 \\
& =-\frac{\pi+4}{2}\left[x^2-\frac{12}{\pi+4} x+\left(\frac{6}{\pi+4}\right)^2-\left(\frac{6}{\pi+4}\right)^2\right] \\
& =-\frac{\pi+4}{2}\left(x-\frac{6}{\pi+4}\right)^2+\frac{18}{\pi+4}
\end{aligned}
$$

由此可知, 当 $x=\frac{6}{\pi+4}$ 的时候, $y_{\text {max }}=\frac{18}{\pi+4}$.所以尺寸应该这样来设计：半圆的半径是 $\frac{6}{\pi+4} \approx 0.84$ 米，或者说矩形的底边长是 $\frac{12}{\pi+4} \approx 1.68$ 米时，窗能透过最多的光线。

`例`用一块宽为 1.2 米的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横截面为底角是 $120^{\circ}$ 的等腰梯形 (图 5.17), 要使水權的横截面积最大, 它的侧面的宽应该是多少？
 ![图片](/uploads/2024-11/57afa8.jpg)
 $$
 \begin{aligned}
&\text { 解: 设侧的宽 } A B \text { 为 } x \text { 米, 作 } B H \perp A D \text {, 则 }\\
&\begin{gathered}
\angle A B H=30^{\circ}, \quad A H=x \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} x \\
B H=x \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} x, \

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