最后更新: 2024-11-09 20:52 查看: 52 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

二次函数极值

## 二次函数极值
根据实数的平方不小于零, 容易求得二次函数的极值如下:

$$
y=a x^2+b x+c=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4 a}
$$

1. 如果 $a>0$, 那么 $a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2 \geq 0$

$$
y=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4 a} \geq \frac{4 a c-b^2}{4 a}
$$

即当 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, 函数有极小值, $y_{\text {min }}=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$
2. 如果 $a<0$, 那么 $a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2 \leq 0$

$$
y=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4 a} \leq \frac{4 a c-b^2}{4 a}
$$

即当 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, 函数有极大值, $y_{\text {max }}=\frac{4 a c-b^2}{4 a}$
求二次函数的极值有着许多实际的应用，下面我们举几个例子.
例 5.14 某工厂为了存放材料，需要围一个周长为 160 米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？

解: 设一边为 $x m$, 则另一边长为 $(80-x) m$, 如果 $y m^2$ 是矩形的面积, 则

$$
\begin{aligned}
y=x(80-x) & =-x^2+80 x, \quad(0<x<80) \\
& =-\left(x^2-80 x+1600-1600\right) \\
& =-(x-40)^2+1600
\end{aligned}
$$

因此, 当边长是 40 m 的正方形时, 有最大面积 $1600 m^2$.

例 5.15 窗的形状是矩形上面加一个半圆, 它的周长等于 6 米, 要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该怎样设计？

解：设半圆的半径是 $x$ 米 (图 5.16），那么半圆的长就是 $\pi x$ 米，矩形的底 $B C$就是 $2 x$ 米, 而矩形的高 $A B$ 和 $C D$ 就是 $\frac{6-\pi x-2 x}{2}$ 米.
 ![图片](/uploads/2024-11/9627f4.jpg)
 设图形的总面积是 $y$ 平方米, 那么在开区间 $\left(0, \frac{6}{\pi+2}\right)$ 上,

$$
y=\frac{6-\pi x-2 x}{2} \cdot 2 x+\frac{1}{2} \pi x^2
$$

就是

$$
\begin{aligned}
y & =6 x-\left(\frac{\pi}{2}+2\right) x^2 \\
& =-\frac{\pi+4}{2}\left[x^2-\frac{12}{\pi+4} x+\left(\frac{6}{\pi+4}\right)^2-\left(\frac{6}{\pi+4}\right)^2\right] \\
& =-\frac{\pi+4}{2}\left(x-\frac{6}{\pi+4}\right)^2+\frac{18}{\pi+4}
\end{aligned}
$$

由此可知, 当 $x=\frac{6}{\pi+4}$ 的时候, $y_{\text {max }}=\frac{18}{\pi+4}$.所以尺寸应该这样来设计：半圆的半径是 $\frac{6}{\pi+4} \approx 0.84$ 米，或者说矩形的底边长是 $\frac{12}{\pi+4} \approx 1.68$ 米时，窗能透过最多的光线。

例 5.16 用一块宽为 1.2 米的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横截面为底角是 $120^{\circ}$ 的等腰梯形 (图 5.17), 要使水權的横截面积最大, 它的侧面的宽应该是多少？
 ![图片](/uploads/2024-11/57afa8.jpg)
 $$
 \begin{aligned}
&\text { 解: 设侧的宽 } A B \text { 为 } x \text { 米, 作 } B H \perp A D \text {, 则 }\\
&\begin{gathered}
\angle A B H=30^{\circ}, \quad A H=x \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} x \\
B H=x \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} x, \quad B C=(1.2-2 x) \\
A D=1.2-2 x+2 \cdot \frac{x}{2}=1.2-x
\end{gathered}
\end{aligned}
$$

所以, 水槽的横截面面积为:

$$
\begin{aligned}
S & =\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} x(1.2-2 x+1.2-x) \\
& =\frac{\sqrt{3}}{4} x(2.4-3 x) \quad(0<x<0.6) \\
& =-\frac{3 \sqrt{3}}{4} x^2+\frac{3 \sqrt{3}}{5} x=-\frac{3 \sqrt{3}}{4}\left(x^2-\frac{4}{5} x\right) \\
& =-\frac{3 \sqrt{3}}{4}\left(x^2-\frac{4}{5} x+\frac{4}{25}-\frac{4}{25}\right) \\
& =-\frac{3 \sqrt{3}}{4}\left(x-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{3 \sqrt{3}}{25}
\end{aligned}
$$

所以 $x=\frac{2}{5}=0.4$ (米) 时, 水槽有最大的横截面面积 $\frac{3 \sqrt{3}}{25}$ (平方米).
例 5.17 快艇和轮船分别从 $A$ 地和 $C$ 地同时开出，各沿着箭头所指方向航行（图5.18），快艇和轮船的速度分别是 40 公里/小时和 16 公里/小时，已知 $A C=145$ 公里, 经过多少时间以后, 快艇和轮船之间的距离最短（图中 $A C \perp C D)$ ?
 ![图片](/uploads/2024-11/fcad7e.jpg)
 解：设经过 $t$ 小时以后，快艇的位置在 $B$ ，轮船的位置在 $D$. 这时

$$
\begin{aligned}
& A B=40 t(\text { 公里 }) \\
& C D=16 t(\text { 公里 }) \\
& B C=(145-40 t) \text { 公里 })
\end{aligned}
$$

根据勾股定理得

$$
B D=\sqrt{B C^2+C D^2}=\sqrt{(145-40 t)^2+(16 t)^2}
$$

现在要使 $B D$ 最短, 因 $(145-40 t)^2+(16 t)^2>0$
故只需使被开方数 $(145-40 t)^2+(16 t)^2$ 有最小的值.
令 $y=(145-40 t)^2+(16 t)^2 \quad\left(0<t<3 \frac{5}{8}\right)$ 则有:

$$
y=1856 t^2-11600 t+21025
$$

这个二次函数在 $t=\frac{11600}{3712}=3 \frac{1}{8}$ （小时）的时候有极小值。所以，快艇和轮船分别从 $A$ 地和 $C$ 地开出 $3 \frac{1}{8}$ （小时）的时候，它们间的距离最短。

有时要在闭区间 $[a, b]$ 上讨论二次函数的最大值或最小值，这时要把开区间 $(a, b)$ 内的极值和两端点处的函数值作比较, 再确定出最大值或最小值.

例 5.18 设 $0 \leq x \leq 3$, 讨论 $y=x^2-4 x+5$ 的最大值和最小值.
解:

$$
y=(x-2)^2+1
$$

当 $x=2$ 时, $y_{\text {min }}=1$; 又当 $x=0$ 时, $y=5$; 当 $x=3$ 时, $y=2$.
所以当 $x=2$ 时, $y$ 取最小值 $y_{\text {min }}=1$ ；当 $x=0$ 时， $y$ 取最大值 $y_{\text {max }}=5$ (图5.19).
 ![图片](/uploads/2024-11/f43fb5.jpg)

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