最后更新: 2025-02-07 16:27 查看: 368 次反馈刷题

直线与圆的位置

在初中我们知道，平面上的任意一条直线 $l$ 与圆有三种位置关系：
（1）相交，直线与圆恰有两个公共点；
（2）相切，直线与圆恰有一个公共点；
（3）相离，直线与圆没有公共点．
直线与圆到底是哪一种位置关系，取决于圆心到直线的距离的大小．设圆的半径为 $r$ ，圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$（如图），

![图片](/uploads/2025-02/7206e5.jpg)

则
（1）直线与圆相交 $\Leftrightarrow d<r$ ；
（2）直线与圆相切 $\Leftrightarrow d=r$ ；
（3）直线与圆相离 $\Leftrightarrow d>r$ ．

在平面上建立直角坐标系之后，直线用二元一次方程 $A x+B y+C=0$ 表示，圆用二元二次方程 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$ 表示。有两种方法可以判断直线和圆的位置关系：

**方法一** 将直线 $l$ 的方程与圆的方程联立，得方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
A x+B y+C=0 \\
x^2+y^2+D x+E y+F=0,
\end{array}\right.
$$

解此方程组看是否有公共解，进而通过解的个数判断直线与圆的位置关系．

直线与圆有两个公共点时, 称直线与圆相交, 且称直线为圆的割线;
直线与圆只有一个公共点时, 称直线与圆相切, 且称直线为圆的切线, 称公共点为切点;
直线与圆没有公共点时, 称直线与圆相离.(参考下图)

![图片](/uploads/2023-11/image_20231104e2548ce.png)

方法二 由圆的方程计算出圆心坐标和半径，将圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$进行比较，进而判断直线与圆的位置关系。

## 例题
`例`已知直线 $l: x+y+2=0$ 和圆 $C: x^2+y^2+2 x-2 y-18=0$ ，判断直线 $l$与圆 $C$ 的位置关系．如果相交，求出它们的交点的坐标．

解（方法一）由直线 $l$ 与圆 $C$ 的方程，得

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+2=0, \\
x^2+y^2+2 x-2 y-18=0
\end{array}\right.
$$

消去 $y$ ，得
$$
\begin{gathered}
x^2+4 x-5=0 \\
\Delta=4^2-4 \times 1 \times(-5)=36>0
\end{gathered}
$$

因为
所以直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，有两个公共点．
（方法二）将圆 $C$ 的方程通过配方化为标准方程

$$
(x+1)^2+(y-1)^2=20
$$

可知它的圆心 $C$ 的坐标为 $(-1,1)$ ，半径 $r=2 \sqrt{5}$ ．
直线 $l$ 的方程为 $x+y+2=0$ ，圆心 $C(-1,1)$ 到直线 $l$ 的距离

$$
d=\frac{|-1+1+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<2 \sqrt{5}
$$

所以直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，有两个公共点．
由 $x^2+4 x-5=0$ ，解得

$$
x_1=-5, x_2=1
$$

将 $x_1, x_2$ 分别代人直线方程，得

$$
y_1=3, \quad y_2=-3
$$

所以直线 $l$ 与圆 $C$ 有两个交点，它们的坐标分别是

$$
A(-5,3), B(1,-3)
$$

`例` 过点 $P(-1,-1)$ 的直线 $l$ 被圆 $(x+1)^2+(y-1)^2=6$ 截得的弦长为 4 ，求直线 $l$ 的方程．

解 由圆的方程知，圆心坐标是 $(-1,1)$ ，半径 $r=\sqrt{6}$ ．
如图，
 ![图片](/uploads/2025-02/22ab22.jpg)
因为直线 $l$ 被圆截得的弦长为 4 ，故圆心到直线 $l$ 的距离

$$
d=\sqrt{(\sqrt{6})^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2}=\sqrt{2}
$$

当直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴时，即 $l: x=-1$ ，此时直线 $l$ 过圆心，截得的弦长为 $2 \sqrt{6}$ ，不符合条件．

当直线 $l$ 不垂直于 $x$ 轴时，因为直线 $l$ 过点 $(-1,-1)$ ，故可设直线 $l$ 的方程为

即

$$
\begin{gathered}
y+1=k(x+1), \\
k x-y+k-1=0 .
\end{gathered}
$$

于是圆心 $(-1,1)$ 到直线 $l$ 的距离

$$
d=\frac{|-k-1+k-1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2},
$$

解得 $k= \pm 1$ ．
因此，直线 $l$ 的方程为 $x-y=0$ 或 $x+y+2=0$ ．

`例`$k$ 取什么值时，圆 $x^2+y^2=5$ 与直线 $y=k x+5$ 相切？
解（方法一）由圆的方程可知圆心坐标为 $(0,0)$ ．
圆心到直线 $k x-y+5=0$ 的距离 $d=\frac{5}{\sqrt{1+k^2}}$ ．
圆与直线相切 $\Leftrightarrow d=\frac{5}{\sqrt{1+k^2}}=r=\sqrt{5} \Leftrightarrow 1+k^2=5 \Leftrightarrow k= \pm 2$ ．
（方法二）由 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=5, \\ y=k x+5,\end{array}\right.$
消去 $y$ 并整理得
$\left(1+k^2\right) x^2+10 k x+20=0$.
其判别式 $\Delta=(10 k)^2-4 \times 20\left(1+k^2\right)=20 k^2-80$ ．
圆与直线相切 $\Leftrightarrow$ 方程（1）有唯一解

$$
\Leftrightarrow \Delta=20 k^2-80=0 \Leftrightarrow k= \pm 2
$$

因此，圆 $x^2+y^2=5$ 与直线 $y=2 x+5$ 及 $y=-2 x+5$ 相切

![图片](/uploads/2025-02/df094d.jpg)

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