最后更新: 2025-05-31 07:39 查看: 463 次反馈同步训练

圆的标准方程

## 圆的方程
已知定点$C(a,b)$, 定长$r$, 我们来求以$C$为圆心，$r$为半径的圆的方程（图5.37）.

设$P(x,y)$是一动点，由圆的定义可知，点$P$在圆上当且仅当$|CP|=r$ 由平面上[两点距离公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=159)可知
$$
\boxed{
\begin{equation}\label{circle1}
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
\end{equation}  ...(1)
}
$$

这就是说，以$C$为圆心，$r$为半径的圆上的任一点$P$, 它的坐标都满足方程 ; 反过来，一个点的坐标如果满足方程 , 那么它必在以$C$为圆心$r$为半径的圆上，方程叫做以$C$为圆心，$r$为半径的圆的方程，如果圆心在原点（图3.38），那么圆的方程为
$$
\boxed{
    x^2+y^2=r^2 ...(2)
    }
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/d39d59.jpg)
 
 
把圆一般方程展开得
 $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0 $
由此可见，任一圆的方程都可写为下面的形式
$$
 \boxed{
    x^2+y^2+2Dx+2Ey+F=0. ...(3)
  }
$$

圆心在$C(-D,-E)$  半径为 $\sqrt{D^2+E^2-F}$

> 注意：有的教程把圆的标尺写为 $x^2+y^2+D x+E y+F=0 $ , 在这种情况下，圆心为 $ C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ , 半径为  $r=\frac{1}{2} \sqrt{D^2+E^2-4 F}$ 仔细看，他和（3）式放本质是一样的，这里使用了分数，做题时，需要仔细审题

### 圆和二次多项式的关系
（3）式左右两边同乘以不为零的$\lambda$可以得到
 $\lambda(x^2+y^2+2Dx+2Ey+F)=0$
 这仍然表示了同一个圆。把上式圆的方差展开
 $$
 \lambda X^2 +\lambda Y^2 +2D \lambda X +2E \lambda +F \lambda=0
 $$
 
在比较一下一般二次方程

Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0, \quad (A=C,B=0)

可以发现，要使得一般二次方程变成圆的方差需要具有两个特点：
 ①$x^2$与$y^2$项的系数相同且不等于0;
 ②不含$xy$项．

### 圆的解
现在要问，是否任一个形如上面的方程的图象都是一个圆呢？

将(3)左边配方，得
$$
    (x+D)^2+(y+E)^2=D^2+E^2-F
$$
  当$D^2+E^2-F>0$时，方程表示以$(-D,-E)$为圆心，以$\sqrt{D^2+E^2-F}$为半径的圆；

当$D^2+E^2-F=0$时，方程的图象只有一个点$(-D,-E)$;

当$D^2+E^2-F<0$时，没有实数偶$(x,y)$满足方程, 因此方程 没有图象．
  
为统一叙述，我们常把情况2的轨迹叫做**点圆** ，情况3 的轨迹叫做**虚圆**．

综上所述，我们把形如$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 叫做**圆的一般方程**。
 
他表示圆（包括点圆虚圆）的充要条件是 $A=C\ne 0,\quad B=0 $ 
 
## 例题
`例`已知$C(3,4)$, 求以$C$为圆心，半径等于5的圆的方程．
解：设$P(x,y)$在以$C$为圆心，半径等于5的圆上，则以$C$为圆心，半径等于5的圆的方程为
 $(x-3)^2+(y-4)^2=5^2 $
即
 $x^2+y^2-6x-8y=0 $

`例`求圆$x^2+y^2-6x+2y+6=0$的圆心和半径．
  解： 将原方程配方得 $(x-3)^2+(y+1)^2=4 $
所以所求圆的圆心的坐标是$(3,-1)$, 半径是2.

`例`已知$A(9,-3)$, $B(3,-1)$, 求以$\overline{AB}$为直径
圆的方程（图5.39）.
解1：设$\overline{AB}$的中点为$C$, 则$C$点的坐标
 $x=\frac{9+3}{2}=6,\qquad y=\frac{-3-1}{2}=-2 $
依题意$C(6,-2)$为所求圆的圆心，由距离公式得
 $r^2=(9-6)^2+(-3+2)^2=10 $
因此，所求圆的方程为
 $(x-6)^2+(y+2)^2=10 $
或
 $x^2+y^2-12x+4y+30=0 $
 ![图片](/uploads/2024-05/4cde82.jpg)
 
 解2：设$P(x,y)$为所求圆上任一点，依平面几何
定理可知，$P$点在以$\overline{AB}$为直径的圆上的充要条件是
$\angle APB=\frac{\pi}{2}$, 或 $ \vec{AP}\cdot  \vec{BP}=0$.
用坐标表达，则为
 $(x-9)(x-3)+(y+3)(y+1)=0 $
展开整理得
 $x^2+y^2-12x+4y+30=0 $
这就是所求圆的方程，

`例`已知$A(2,2)$, $B(5,3)$, $C(3,-1)$, 求通过$A$

其他版本
【高中数学】椭圆极坐标方程【高中数学】圆的第二定义-阿波罗尼斯圆

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