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解析几何(圆锥曲线)
直线束与不等式解集
最后更新:
2024-05-11 12:01
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直线束与不等式解集
## 直线束 定理 一条直线通过两条相交直线 $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0$ 的交点的充要条件是存在两个不全为零的常数 $\lambda_1 、 \lambda_2$ 使这条直线方程为 $$ \lambda_1\left(a_1 x+b_1 y+c_1\right)+\lambda_2\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right)=0 $$ 证明: 充分性: 设 $\left(x_0, y_0\right)$ 是已知两条直线的交点. 则 $$ a_1 x_0+b_1 y_0+c_1=0, \quad a_2 x_0+b_2 y_0+c_2=0 $$ 显然 $\left(x_0, y_0\right)$ 满足方程 (5.26), 这就是说, 方程 (5.26) 表示的直线通过点 $\left(x_0, y_0\right)$. 必要性: 如果一条直线通过点 $\left(x_0, y_0\right)$, 又通过另一点 $\left(x_1, y_1\right)$ 只要取 $$ \lambda_1=-\left(a_2 x_1+b_2 y_1+c_2\right), \quad \lambda_2=a_1 x_1+b_1 y_1+c_1 $$ 这条直线方程就可写为 $$ -\left(a_2 x_1+b_2 y_1+c_2\right)\left(a_1 x+b_1 y+c_1\right)+\left(a_1 x_1+b_1 y_1+c_1\right)\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right)=0 $$ 因 $\left(x_0, y_0\right),\left(x_1, y_1\right)$ 两点不可能同时是两条已知直线的交点. 所以 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 不能同时为零.  例 5.41 求通过直线 $3 x-2 y-6=0$ 与 $x+y-5=0$ 的交点与点 $(1,2)$ 的直线方程. 解：通过已知两条直线的交点的直线束方程可写为 $$ \lambda_1(3 x-2 y-6)+\lambda_2(x+y-5)=0 $$ 这条直线又通过点 $(1,2)$, 所以 $$ \lambda_1(3 \times 1-2 \times 2-6)+\lambda_2(1+2-5)=0 $$ 由此得 $$ \lambda_1=-\frac{7}{2} \lambda_2 $$ 所以, 所求的直线方程为 $$ \frac{7}{2} \lambda_2(3 x-2 y-6)+\lambda_2(x+y-5)=0 $$ 化简, 得 $$ 19 x-16 y+32=0 $$ 例 5.42 求经过 $3 x+2 y-3=0$ 与 $2 x-y+5=0$ 的交点且与直线 $x+y-3=0$垂直的直线方程. 解：经过已知两条直线交点的直线束方程可写为 $$ \lambda_1(3 x+2 y-3)+\lambda_2(2 x-y+5)=0 $$ 即 $$ \left(3 \lambda_1+2 \lambda_2\right) x+\left(2 \lambda_1-\lambda_2\right) y-3 \lambda_1+5 \lambda_2=0 $$ 由于所求直线与直线 $x+y-3=0$ 垂直, 所以 $$ 1 \cdot\left(3 \lambda_1+2 \lambda_2\right)+1 \cdot\left(2 \lambda_1-\lambda_2\right)=0 $$ 由此得 $$ \lambda_2=-5 \lambda_1 $$ 因此所求直线方程为 $$ \lambda_1(3 x+2 y-3)-5 \lambda_1(2 x-y+5)=0 $$ 整理得 $$ x-y+4=0 $$ ## 二元一次不等式表示的区域 我们知道, 含有两个未知数, 并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式. 它的一般形式为 $$ a x+b y+c>0 \text { 或 } a x+b y+c<0 $$ 例如 $3 x+y-1>0, y>2 x-3$ 等都是二元一次不等式. 使不等式 (5.27) 成立的未知数的值, 叫做不等式的解. 以不等式的解为坐标的所有点构成的集合叫做不等式表示的区域. 下面我们来研究, 如何根据二元一次不等式画出它所表示的区域. 直线 $a x+b y+c=0$ 把坐标平面分为两个半平面（不包括这条直线本身）,我们把法向量 $\vec{n}=(a, b)$ 的方向所指向的那一侧叫做正半平面, 简称正侧; 另一侧叫做 负半平面, 简称负侧 (图 5.33). 如果 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是直线 $a x+b y+c=0$ 上一点, 则 $a x_0+b y_0+c=0$, $c=-\left(a x_0+b y_0\right)$, 于是 $$ a x+b y+c=a x+b y-\left(a x_0+b y_0\right)=a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0 P} $$ 若 $P(x, y)$ 位于正半平面, 则 $\vec{n}$ 与 $\overrightarrow{P_0 P}$ 的夹角为锐角, 即 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0 P}>0$. 这时 $a x+b y+c>0$; 若 $P(x, y)$ 位于负半平面, 则 $\vec{n}$ 与 $\overrightarrow{P_0 P}$ 的夹角为钝角, 即 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0 P}<0$. 这时 $a x+b y+c<0$ (图 5.33).  根据上面分析, 我们要画出 $a x+b y+c<0$ 或 $a x+b y+c>0$ 所表示的区域, 只要先画出直线 $\ell: a x+b y+c=0$, 然后就可确定 $a x+b y+c>0$ 表示的区域是哪个半平面, $a x+b y+c<0$ 表示的区域便是另一个半平面. 例 5.43 画出不等式 $2 x-y+1>0$ 表示的区域. 解：在坐标平面上，画直线 $2 x-y+1=0$ (图 5.34), 这时直线的法向量 $\vec{n}=(2,-1)$, 由于 $\vec{n}$ 指向的那一侧为正半平面, 不等式 $2 x-y+1>0$ 表示的区域是正半平面, 如图 5.34 阴影所示. 由于二元一次式 $a x+b y+c$ 在直线 $a x+b y+c=0$ 同一侧的半平面内完全同号, 所以在决定二元一次不等式所表示的区域时, 只需取直线 $a x+b y+c=0$一侧的某一个点, 将它的坐标代入已知的不等式, 如果不等式成立, 那么这一点所在的半平面就是不等式表示的区域, 如果不等式不成立, 那么直线的另一侧就是不等式表示的区域, 显然, 对不等式 $a x+b y+c>0$ 或 $a x+b y+c<0$,当 $c \neq 0$ 时, 取原点 $O(0,0)$ 去确定它们所表示的区域最为方便.  例 5.44 画出不等式 $x-3 y+8<0$ 表示的区域. 解: 将 $(0,0)$ 代入已知不等式, 得 $8>0$, 原不等式不成立, 所以不等式 $x-3 y+8<$ 0 表示的区域是直线 $x-3 y+8=0$ 不包含原点的那个半平面, 如图 5.35 阴影所示. 例 5.45 画出二元一次不等式组 $\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y-2<0 \\ 2 x+y+2>0\end{array}\right.$ 表示的区域. 解: 作直线 $\ell_1: 3 x+4 y-2=0, \ell_2: 2 x+y+2=0$. 分别用阴影线画出不等式 $3 x+4 y-2<0$ 和 $2 x+y+2>0$ 所表示的区域, 则已知不等式组所表示的区域是上面两个区域的交集, 如图 5.36 所示双阴影区域（不包括这两条直线). 
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