最后更新: 2025-02-07 09:08 查看: 248 次反馈同步训练

直线束与不等式解集

## 直线束
**定理** 一条直线通过两条相交直线 $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0$ 的交点的充要条件是存在两个不全为零的常数 $\lambda_1 、 \lambda_2$ 使这条直线方程为

$$
\lambda_1\left(a_1 x+b_1 y+c_1\right)+\lambda_2\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right)=0 ...(5.26)
$$

证明: 充分性: 设 $\left(x_0, y_0\right)$ 是已知两条直线的交点. 则
$$
a_1 x_0+b_1 y_0+c_1=0, \quad a_2 x_0+b_2 y_0+c_2=0
$$

显然 $\left(x_0, y_0\right)$ 满足方程 (5.26), 这就是说, 方程 (5.26) 表示的直线通过点 $\left(x_0, y_0\right)$.
必要性: 如果一条直线通过点 $\left(x_0, y_0\right)$, 又通过另一点 $\left(x_1, y_1\right)$ 只要取
$$
\lambda_1=-\left(a_2 x_1+b_2 y_1+c_2\right), \quad \lambda_2=a_1 x_1+b_1 y_1+c_1
$$

这条直线方程就可写为
$$
-\left(a_2 x_1+b_2 y_1+c_2\right)\left(a_1 x+b_1 y+c_1\right)+\left(a_1 x_1+b_1 y_1+c_1\right)\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right)=0
$$

因 $\left(x_0, y_0\right),\left(x_1, y_1\right)$ 两点不可能同时是两条已知直线的交点. 所以 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 不能同时为零.
 ![图片](/uploads/2024-05/e7c251.jpg)
 
 
 
`例`求通过直线 $3 x-2 y-6=0$ 与 $x+y-5=0$ 的交点与点 $(1,2)$ 的直线方程.
 解：通过已知两条直线的交点的直线束方程可写为
$$
\lambda_1(3 x-2 y-6)+\lambda_2(x+y-5)=0
$$

这条直线又通过点 $(1,2)$, 所以
$$
\lambda_1(3 \times 1-2 \times 2-6)+\lambda_2(1+2-5)=0
$$

由此得
$$
\lambda_1=-\frac{7}{2} \lambda_2
$$

所以, 所求的直线方程为
$$
\frac{7}{2} \lambda_2(3 x-2 y-6)+\lambda_2(x+y-5)=0
$$

化简, 得
$$
19 x-16 y+32=0
$$

`例`求经过 $3 x+2 y-3=0$ 与 $2 x-y+5=0$ 的交点且与直线 $x+y-3=0$垂直的直线方程.

解：经过已知两条直线交点的直线束方程可写为
$$
\lambda_1(3 x+2 y-3)+\lambda_2(2 x-y+5)=0
$$

即
$$
\left(3 \lambda_1+2 \lambda_2\right) x+\left(2 \lambda_1-\lambda_2\right) y-3 \lambda_1+5 \lambda_2=0
$$

由于所求直线与直线 $x+y-3=0$ 垂直, 所以
$$
1 \cdot\left(3 \lambda_1+2 \lambda_2\right)+1 \cdot\left(2 \lambda_1-\lambda_2\right)=0
$$

由此得
$$
\lambda_2=-5 \lambda_1
$$
因此所求直线方程为
$$
\lambda_1(3 x+2 y-3)-5 \lambda_1(2 x-y+5)=0
$$

整理得
$$
x-y+4=0
$$

## 二元一次不等式表示的区域
我们知道, 含有两个未知数, 并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式. 它的一般形式为
$$
a x+b y+c>0 \text { 或 } a x+b y+c<0 ...(5.27)
$$

例如 $3 x+y-1>0, y>2 x-3$ 等都是二元一次不等式.
使不等式 (5.27) 成立的未知数的值, 叫做不等式的解. 以不等式的解为坐标的所有点构成的集合叫做不等式表示的区域.
下面我们来研究, 如何根据二元一次不等式画出它所表示的区域.
直线 $a x+b y+c=0$ 把坐标平面分为两个半平面（不包括这条直线本身）,我们把法向量 $\

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