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第十一章：解析几何与圆锥曲线
两平行直线距离
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2025-02-07 09:02
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两平行直线距离
## 两平行直线距离 根据两条直线平行，距离相等，所以，在一直线上取一点到另外一直线上点的距离就是两条平行直线之间的距离。 已知直线 $l_1: A x+B y+C_1=0, l_2: A x+B y+C_2=0$, 可以得到 $l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离为 $$ \boxed{ d=\dfrac{\left|C_2-C_1\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} } $$ 证明 设 $P\left(x_1, y_1\right)$ 为 $l_1$ 上一点, 则 $A x_1+B y_1+C_1=0$, 从而 $A x_1+$ $B y_1=-C_1$. 因为 $P$ 到 $l_2$ 的距离为 $$ d=\frac{\left|A x_1+B y_1+C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|C_2-C_1\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}, $$ 所以结论成立. `例` 求平行直线 $l_1: 4 x-3 y+6=0$ 与 $l_2: 4 x-3 y-8=0$ 的距离． 解：根据公式得：直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离 $$ d=\dfrac{|6-(-8)|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{14}{5} $$
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