最后更新: 2025-02-07 08:58 查看: 282 次反馈刷题

点到直接的距离公式

## 点到直接的距离公式
求点P到直线l的距离，其公式为

$$
\boxed{
d=\dfrac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} 
}
$$

### 证法1

![图片](/uploads/2025-02/03f9be.jpg){width=300px}
 
如上图所示，设 $R\left(x_R, y_0\right), ~ S\left(x_0, y_S\right)$ ，由 $R,S$ 在直线 $l$ 上，得到：

$$
\begin{aligned}
& A x_R+B y_0+C=0 \\
& A x_0+B y_S+C=0
\end{aligned}
$$

所以：$x_1=\frac{-B y_0-C}{A}, y_2=\frac{-A x_0-C}{B}$ ，
所以：$|P R|=\left|x_0-x_1\right|=\left|\frac{A x_0+B y_0+C}{A}\right|,|P S|=\left|y_0-y_2\right|=\left|\frac{A x_0+B y_0+C}{B}\right|$ ，
于是：$|R S|=\sqrt{|P R|^2+|P S|^2}=\frac{\sqrt{A^2+B^2}}{A B} \cdot\left|A x_0+B y_0+C\right|$ ，
所以从三角形面积公式知：$d \cdot|R S|=|P R| \cdot|P S|$ ，
从而有：$d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 。

### 证法2
如图 ，过点 $P_0$ 作直线 $l$ 的垂线 $P_0 P_1$ ，交 $l$ 于点 $P_1\left(x_1, y_1\right)$ ，则 $P_0$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\left|P_0 P_1\right|$ ．

![图片](/uploads/2025-02/1ab243.jpg)
 
从 $P_0$ 出发作有向线段表示直线 $l$ 的法向量 $\overrightarrow{P_0 N}=(A, B)$ ．
由于两条线段 $P_0 P_1$ 和 $P_0 N$ 都与 $l$ 垂直，因此它们共线，夹角为 0 或 $\pi$ ，则它们表示的向量的数量积的绝对值等于它们的长度的乘积，即

$$
\left|\overrightarrow{P_0 N} \cdot \overrightarrow{P_0 P_1}\right|=\left|P_0 N\right|\left|P_0 P_1\right| .
$$

由此得

$$
\left|(A, B) \cdot\left(x_1-x_0, y_1-y_0\right)\right|=\sqrt{A^2+B^2} \cdot d
$$

则

$$
\begin{aligned}
d & =\frac{\left|A\left(x_1-x_0\right)+B\left(y_1-y_0\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\
& =\frac{\left|\left(A x_1+B y_1+C\right)-\left(A x_0+B y_0+C\right)\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} .
\end{aligned} ...(1)
$$

又点 $P_1\left(x_1, y_1\right)$ 在直线 $l$ 上，则有 $A x_1+B y_1+C=0  ...(2)$ ．
将（2）式代人（1）式，得点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 到直线 $A x+B y+C=0$ 的距离公式

$$
d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} .
$$

> 证法1采用三角形面积法，易于理解和计算，证法二采用向量法难度和计算都比证法1大，但是这种方法对于理解向量运算，运用向量思维进行问题思考非常重要。

`例`  如图 ，已知 $\triangle A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A(-1,1), B(2$ ， $0), C(3,4)$ ．
（1）求 $A B$ 边上的高 $C D$ 的长；
（2）求 $\triangle A B C$ 的面积 $S_{\triangle A B C}$ ．

![图片](/uploads/2025-02/a266e8.jpg)
解（1）直线 $A B$ 的一个方向向量

$$
\overrightarrow{A B}=(2-(-1), 0-1)=(3,-1),
$$

因此直线 $A B$ 的一个法向量 $n =(1,3)$ ．
故可设直线 $A B$ 的一般式方程为 $x+3 y+C=0$ ．
将点 $A$ 的坐标 $(-1,1)$ 代人上述方程得

$$
-1+3 \times 1+C=0,
$$

解得 $C=-2$ ．
因此直线 $A B$ 的方程为 $x+3 y-2=0$ ．
高 $C D$ 的长即为点 $C(3,4)$ 到直线 $A B$ 的距离，则有

$$
|C D|=\frac{|3+3 \times 4-2|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{13 \sqrt{10}}{10}
$$

（2）$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|A B| \cdot|C D|=\frac{1}{2} \sqrt{3^2+(-1)^2} \cdot \frac{13 \sqrt{10}}{10}=\frac{13}{2}$ ．

对于上例，我们还可以从向量数量积的角度来求解．如图 $2.4-3$ ，从点 $A$ 出发作有向线段表示直线 $A B$ 的一个法向量 $n =(1,3)$ 。

向量 $n$ 和 $\overrightarrow{D C}$ 都与 $A B$ 垂直，因而相互平行，$| n \cdot \overrightarrow{D C}|=| n ||D C|$ ．
由 $n \cdot \overrightarrow{A D}=0$ 得到

$$
n \cdot \overrightarrow{A C}= n \cdot(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C})= n \cdot \overrightarrow{D C}
$$

从而 $| n ||D C|=| n \cdot \overrightarrow{D C}|=| n \cdot \overrightarrow{A C}|=|(1,3) \cdot(3-(-1), 4-1)|=13$ ．

因此 $\quad|C D|=\frac{13}{| n |}=\frac{13}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{13}{10} \sqrt{10}$ ．
进一步，还可将 $| n |=|(1,3)|=|(3,-1)|=|A B|$ 直接代人 $| n ||D C|=13$ 得到

$$
S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|A B||D C|=\frac{1}{2} \times 13=\frac{13}{2} .
$$

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