最后更新: 2025-04-12 16:48 查看: 14 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

两条直线的夹角

## 两条直线的夹角
如果 $l_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0$ 与 $l_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0$ 是给定的两条相交直线，我们该如何求出它们的夹角 $\alpha$ 呢？

根据[向量之间的夹角](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1344)余弦公式，我们立即可以得到 $l_1$ 与 $l_2$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}=\left(a_1, b_1\right)$ 与 $\overrightarrow{n_2}=\left(a_2, b_2\right)$ 的夹角 $\theta$ 的余弦

$$
\cos \theta=\frac{a_1 a_2+b_1 b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}
$$

因此，只要理清角 $\theta$ 与角 $\alpha$ 的关系，就能得出角 $\alpha$ 的余弦公式．如图 1－3－2，设两条直线（实线所示）的夹角为 $\alpha$ ，不妨从夹角内部的一点分别作两条直线的一个法向量，法向量夹角为 $\theta$ ．两个法向量所在直线（虚线所示）和原来的两条直线围成了一个四边形，其中一组对角均是直角，另外一组对角是 $\alpha$ 与 $\theta$ 或者 $\alpha$ 与 $\pi-\theta$ ．由此可见 $\alpha+\theta=\pi$ 或者 $\alpha+(\pi-\theta)=\pi$ ，推出 $\alpha=\pi-\theta$或者 $\alpha=\theta$ ．这样， $\cos \alpha= \pm \cos \theta$ ．因为 $0<\alpha \leqslant \frac{\pi}{2}, \cos \alpha \geqslant 0$ ，所以 $\cos \alpha=|\cos \theta|$ ．

![图片](/uploads/2025-04/89e507.jpg)
 
 
 把这个一般的讨论用于直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的情况，则 $l_1: a_1 x+$ $b_1 y+c_1=0$ 与 $l_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0$ 的夹角 $\alpha$ 的余弦公式为

$$
\cos \alpha=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}} .
$$

`例` 求直线 $l_1: x+3 y-1=0$ 与 $l_2: y=2 x+7$ 的夹角的大小．

解 直线 $l_2$ 的一般式方程可写成 $2 x-y+7=0$ ，因此直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 的夹角 $\alpha$ 的余弦值为

$$
\cos \alpha=\frac{|2-3|}{\sqrt{1+9} \times \sqrt{4+1}}=\frac{\sqrt{2}}{10}
$$

于是 $\alpha=\arccos \frac{\sqrt{2}}{10}$ ．

上一篇：两点之间的距离

下一篇：点到直接的距离公式

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)