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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
两条直线的夹角
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2025-05-31 07:08
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两条直线的夹角
## 两条直线的夹角 如果 $l_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0$ 与 $l_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0$ 是给定的两条相交直线，我们该如何求出它们的夹角 $\alpha$ 呢？ 根据[向量之间的夹角](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1344)余弦公式，我们立即可以得到 $l_1$ 与 $l_2$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}=\left(a_1, b_1\right)$ 与 $\overrightarrow{n_2}=\left(a_2, b_2\right)$ 的夹角 $\theta$ 的余弦 $$ \cos \theta=\frac{a_1 a_2+b_1 b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}} $$ 因此，只要理清角 $\theta$ 与角 $\alpha$ 的关系，就能得出角 $\alpha$ 的余弦公式．如图 1－3－2，设两条直线（实线所示）的夹角为 $\alpha$ ，不妨从夹角内部的一点分别作两条直线的一个法向量，法向量夹角为 $\theta$ ．两个法向量所在直线（虚线所示）和原来的两条直线围成了一个四边形，其中一组对角均是直角，另外一组对角是 $\alpha$ 与 $\theta$ 或者 $\alpha$ 与 $\pi-\theta$ ．由此可见 $\alpha+\theta=\pi$ 或者 $\alpha+(\pi-\theta)=\pi$ ，推出 $\alpha=\pi-\theta$或者 $\alpha=\theta$ ．这样， $\cos \alpha= \pm \cos \theta$ ．因为 $0
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