最后更新: 2025-02-07 08:49 查看: 422 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

两点之间的距离

## 两点之间的距离

已知平面直角坐标系里两点$P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$
通过构造直角三角形并利用勾股定理可以很容易求得两点之间的距离为：

$$
\boxed{
d=\sqrt{\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)^2+\left(y_{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{1}}\right)^2}
}
$$

其示意图如下：
![图片](/uploads/2023-10/aa088d.jpg){width=400px}

`例`如下图已知两点坐标分别为 $(-3,5)$ 和$(7,-1)$ 求两点间距离。

![图片](/uploads/2023-10/image_202310264dd7299.png)

解：带入公式的
$\quad d=\sqrt{(-3-7)^2+(5-(-1))^2}$

$$
d=\sqrt{(-10)^2+(6)^2}=\sqrt{100+36}  \approx 11.66
$$

## 三维或更高维数距离

已知空间上， $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 通过构造空间立方体，不难得出空间2点距离为立方体对角形的长度，即其距离公式为：

$$
\boxed{
d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
}
$$

![图片](/uploads/2025-02/ae79c4.jpg){width=300px}

`例`已知空间两点$(9,2,7)$ 和 $(4,8,10)$ 求其距离是

![图片](/uploads/2023-10/image_20231026b295ec1.png){width=250px}

$$
\begin{aligned}
c & =\sqrt{(9-4)^2+(2-8)^2+(7-10)^2} \\
& =\sqrt{25+36+9}=\sqrt{70}=8.37 \ldots
\end{aligned}
$$

`例`例 2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
分析 首先要建立适当的坐标系，将几何图形上的点用坐标表示出来，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果＂翻译＂成几何关系。

证明 如图 ，以 Rt $\triangle A B C$ 的直角边 $A B, A C$ 所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则 $A(0,0)$ ．设 $B, C$ 两点的坐标分别为 $(b, 0),(0, c), B C$ 的中点为 $D$ 。

![图片](/uploads/2025-02/63b700.jpg)
 
因为 $D$ 是斜边 $B C$ 的中点，故点 $D$ 的坐标为 $\left(\frac{b+0}{2}, \frac{0+c}{2}\right)$ ，即 $\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)$ ．

由两点间距离公式，得

$$
\begin{gathered}
|B C|=\sqrt{(0-b)^2+(c-0)^2}=\sqrt{b^2+c^2} \\
|A D|=\sqrt{\left(\frac{b}{2}-0\right)^2+\left(\frac{c}{2}-0\right)^2}=\frac{1}{2} \sqrt{b^2+c^2}
\end{gathered}
$$

所以

$$
|A D|=\frac{1}{2}|B C|
$$

因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

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