最后更新: 2025-02-07 08:26 查看: 349 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

两直线平行与垂直(解析几何)

## 两直线平行的判定
设在 $x O y$ 平面上的两条直线 $l_1, l_2$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ，它们的方程分别是

$$
l_1: y=k_1 x+b_1, \quad l_2: y=k_2 x+b_2 .
$$

首先，我们来研究两条直线平行（不重合）的情形。
平面几何中讲到，两直线与第三条直线相交，则这两条直线平行的充分必要条件是同位角相等．如图

![图片](/uploads/2025-02/edcb01.jpg)
 
 设两条直线的倾斜角分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ．

如果 $l_1 / / l_2$ ，则 $\alpha_1=\alpha_2$ ，从而 $\tan \alpha_1=\tan \alpha_2$ ，即 $k_1=k_2=k$ ．此时，两条直线的方程分别为 $y=k x+b_1, y=k x+b_2$ ，并且 $b_1 \neq b_2$ ．

反之，若 $k_1=k_2$ ，并且 $b_1 \neq b_2$ ，则 $l_1 / / l_2$ ．
由此得到

$$
\boxed{
l_1 / / l_2 \Leftrightarrow k_1=k_2 \text { 且 } b_1 \neq b_2 \text {. }
}
$$

显然，根据上述结论，可以得到：若 $k_1=k_2$ ，并且 $b_1=b_2$ ，那么两条直线重合．
如果直线 $l_1, l_2$ 的斜率都不存在，它们都与 $x$ 轴垂直但在 $x$ 轴上的截距不同，这时仍有 $l_1 / / l_2$ ．

`例` 已知直线 $l_1: 3 x+2 y-6=0, l_2: 6 x+4 y-10=0$ ，试判断直线 $l_1$ 与 $l_2$ 是否平行。

解 将直线 $l_1: 3 x+2 y-6=0$ 化为斜截式，得

$$
y=-\frac{3}{2} x+3
$$

因此，直线 $l_1$ 的斜率 $k_1=-\frac{3}{2}$ ，它在 $y$ 轴上的截距 $b_1=3$ ．
 
将直线 $l_2: 6 x+4 y-10=0$ 化为斜截式，得

$$
y=-\frac{3}{2} x+\frac{5}{2} .
$$

因此，直线 $l_2$ 的斜率 $k_2=-\frac{3}{2}$ ，它在 $y$ 轴上的截距 $b_2=\frac{5}{2}$ ．
由于 $k_1=k_2, b_1 \neq b_2$ ，
所以 $l_1 / / l_2$ ．

## 两条直线垂直的判定

设在 $x O y$ 平面上的两条直线 $l_1, l_2$ 的倾斜角分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，它们的斜率分别为 $k_1, k_2$ 。

如图，如果 $l_1 \perp l_2$ ，这时它们的倾斜角 $\alpha_1, \alpha_2$ 相差 $\frac{\pi}{2}$ ，不妨设 $\alpha_1=\alpha_2-\frac{\pi}{2}$ ，

![图片](/uploads/2025-02/a7558e.jpg)
 
则

$$
\tan \alpha_1=\tan \left(\alpha_2-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\tan \alpha_2}
$$

得

$$
k_1 k_2=-1
$$

反之，若 $k_1 k_2=-1$ ，可以证明 $l_1 \perp l_2$ ．
因此，当两条直线的斜率都存在时，可得到

$$
\boxed{
l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1 k_2=-1
}
$$

`例`已知平面直角坐标系中三点 $A(4,3)$ ， $B(2,1), C(5,-2)$ ．证明：$\triangle A B C$ 是直角三角形．

证明 由条件可知，$k_{A B}=\frac{1-3}{2-4}=1, k_{B C}=\frac{-2-1}{5-2}=-1$ ．
因为 $\quad k_{A B} \cdot k_{B C}=-1$ ，所以 $A B \perp B C$ ，即 $\triangle A B C$ 是直角三角形．

## 从向量角度再次理解两条直线的位置关系
如果已知两条直线
$$
\begin{aligned}
& \ell_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0 \\
& \ell_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0
\end{aligned}
$$
那么 $\vec{n}_1=\left(a_1, b_1\right), \vec{n}_2=\left(a_2, b_2\right)$ 分别是 $\ell_1, \ell_2$ 的法向量.
我们由
$$
\begin{aligned}
\ell_1 / / \ell_2 & \Longleftrightarrow \vec{n}_1 / / \vec{n}_2 \\
\ell_1 \perp \ell_2 & \Longleftrightarrow \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2
\end{aligned}
$$

就可得
$$
\begin{aligned}
\ell_1 / / \ell_2 & \Longleftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \\
\ell_1 \perp \ell_2 & \Longleftrightarrow a_1 a_2+b_1 b_2=0
\end{aligned}
$$

我们知道斜率，方向向量，法向量都是刻画直线方向的几何要素．上面，我们是根据斜率来判定两条直线平行与垂直，通过向量可以得到：已知两条直线的一般式方程为 $l_1: A_1 x+B_1 y+C_1=0, l_2: A_2 x+$ $B_2 y+C_2=0$ ．
（1）判定两条直线平行
$l_1 / / l_2 \Leftrightarrow$ 法向量平行 $\Leftrightarrow A_2=\lambda A_1, B_2=\lambda B_1, C_2 \neq \lambda C_1, \lambda$ 为非零实数。
（2）判定两条直线垂直
$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow$ 法向量垂直 $\Leftrightarrow\left(A_1, B_1\right) \cdot\left(A_2, B_2\right)=A_1 A_2+B_1 B_2=0$.
若已知直线 $l_1, l_2$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ，则 $\left(1, k_1\right),\left(1, k_2\right)$ 分别是方向向量，
$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow$ 方向向量垂直 $\Leftrightarrow\left(1, k_1\right) \cdot\left(1, k_2\right)=1+k_1 k_2=0 \Leftrightarrow k_1 k_2=-1$.

`例` 求过点 $A(-3,4)$ ，且与直线 $l: 3 x-4 y+29=0$ 平行的直线．
解（方法一）设所求直线 $l_1$ 的方程为 $y=k x+b$ ．
由 $l_1 / / l$ ，可知 $k=\frac{3}{4}$ ，即得直线 $l_1$ 的方程为 $y=\frac{3}{4} x+b$ ．
将点 $A(-3,4)$ 的坐标代人上述方程，得

$$
4=\frac{3}{4} \times(-3)+b,
$$

解得 $b=\frac{25}{4}$ ．
因此，所求直线的方程为 $y=\frac{3}{4} x+\frac{25}{4}$ ．
（方法二）已知直线 $l$ 的一个法向量 $n =(3,-4)$ ，所求直线平行于 $l$ ，因而有同样的法向量 $n =(3,-4)$ ，故可设其一般式方程为 $3 x-4 y+C=0$ 。

将点 $A(-3,4)$ 的坐标代人上述方程得

解得 $C=25$ ．
因此，所求直线的方程为 $3 x-4 y+25=0$ ．

> 方法一适用于斜率存在的情形，而方法二适用于所有情形。

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