最后更新: 2025-05-31 07:05 查看: 466 次反馈同步训练

两直线平行与垂直(解析几何)

## 两直线平行的判定
设在 $x O y$ 平面上的两条直线 $l_1, l_2$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ，它们的方程分别是

$$
l_1: y=k_1 x+b_1, \quad l_2: y=k_2 x+b_2 .
$$

首先，我们来研究两条直线平行（不重合）的情形。
平面几何中讲到，两直线与第三条直线相交，则这两条直线平行的充分必要条件是同位角相等．如图

![图片](/uploads/2025-02/edcb01.jpg)
 
 设两条直线的倾斜角分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ．

如果 $l_1 / / l_2$ ，则 $\alpha_1=\alpha_2$ ，从而 $\tan \alpha_1=\tan \alpha_2$ ，即 $k_1=k_2=k$ ．此时，两条直线的方程分别为 $y=k x+b_1, y=k x+b_2$ ，并且 $b_1 \neq b_2$ ．

反之，若 $k_1=k_2$ ，并且 $b_1 \neq b_2$ ，则 $l_1 / / l_2$ ．
由此得到

$$
\boxed{
l_1 / / l_2 \Leftrightarrow k_1=k_2 \text { 且 } b_1 \neq b_2 \text {. }
}
$$

显然，根据上述结论，可以得到：若 $k_1=k_2$ ，并且 $b_1=b_2$ ，那么两条直线重合．
如果直线 $l_1, l_2$ 的斜率都不存在，它们都与 $x$ 轴垂直但在 $x$ 轴上的截距不同，这时仍有 $l_1 / / l_2$ ．

`例` 已知直线 $l_1: 3 x+2 y-6=0, l_2: 6 x+4 y-10=0$ ，试判断直线 $l_1$ 与 $l_2$ 是否平行。

解 将直线 $l_1: 3 x+2 y-6=0$ 化为斜截式，得

$$
y=-\frac{3}{2} x+3
$$

因此，直线 $l_1$ 的斜率 $k_1=-\frac{3}{2}$ ，它在 $y$ 轴上的截距 $b_1=3$ ．
 
将直线 $l_2: 6 x+4 y-10=0$ 化为斜截式，得

$$
y=-\frac{3}{2} x+\frac{5}{2} .
$$

因此，直线 $l_2$ 的斜率 $k_2=-\frac{3}{2}$ ，它在 $y$ 轴上的截距 $b_2=\frac{5}{2}$ ．
由于 $k_1=k_2, b_1 \neq b_2$ ，
所以 $l_1 / / l_2$ ．

## 两条直线垂直的判定

设在 $x O y$ 平面上的两条直线 $l_1, l_2$ 的倾斜角分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，它们的斜率分别为 $k_1, k_2$ 。

如图，如果 $l_1 \perp l_2$ ，这时它们的倾斜角 $\alpha_1, \alpha_2$ 相差 $\frac{\pi}{2}$ ，不妨设 $\alpha_1=\alpha_2-\frac{\pi}{2}$ ，

![图片](/uploads/2025-02/a7558e.jpg)
 
则

$$
\tan \alpha_1=\tan \left(\alpha_2-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\tan \alpha_2}
$$

得

$$
k_1 k_2=-1
$$

反之，若 $k_1 k_2=-1$ ，可以证明 $l_1 \perp l_2$ ．
因此，当两条直线的斜率都存在时，可得到

$$
\boxed{
l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1 k_2=-1
}
$$

`例`已知平面直角坐标系中三点 $A(4,3)$ ， $B(2,1), C(5,-2)$ ．证明：$\triangle A B C$ 是直角三角形．

证明 由条件可知，$k_{A B}=\frac{1-3}{2-4}=1, k_{B C}=\frac{-2-1}{5-2}=-1$ ．
因为 $\quad k_{A B} \cdot k_{B C}=-1$ ，所以 $A B \perp B C$ ，即 $\triangle A B C$ 是直角三角形．

## 从向量角度再次理解两条直线的位置关系
如果已知两条直线
$$
\begin{aligned}
& \ell_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0 \\
& \ell_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0
\end{aligned}
$$
那么 $\vec{n}_1=\left(a_1, b_1\right), \vec{n}_2=\left(a_2, b_2\right)$ 分别是 $\ell_1, \ell_2$ 的法向量.
我

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