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高中数学
第十章:解析几何与圆锥曲线
直线与二元一次方程
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2025-02-07 08:28
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直线与二元一次方程
## 直线与二元一次方程 每个二元一次方程所确定的图象都是一条直线.任给一个二元一次方程 $ax+by+c=0$, 其中$a$、$b$不同时为零,设$(x_0,y_0)$是方程的一个解, 于是 $ax_0+by_0+c=0 $ 两式相减可得 $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 $ 建立一个直角坐标系,取$P_0(x_0,y_0)$和 $\vec{n}=(a,b)$, 显然上述方程就是通过$P_0$且垂直于$\vec{n}$的直线方程. ## 推论 方程 $$ \left\{ \begin{align} a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{align} \right. $$ 表示同一条直线的充要条件是存在一实数$\lambda$,使 $a_2=\lambda a_1,\qquad b_2=\lambda b_1,\qquad c_2=\lambda c_1 $ 当$t\ne 0$时,方程$ax+by+c=0$与 $t(ax+by+c)=0$ 是同一条直线的方程. > 即:两条直线重合时,对应系数成比例 在解析几何中,有时我们要讨论一条有向直线 $\ell: ax+by+c=0$. 通常我们根据直线$\ell$的法向量$(a,b)$来规 定直线$\ell$的方向.方法是这样: 把法向量按顺时针旋转$90^{\circ}$ 或者说,把直线$\ell$逆时针旋转$90^{\circ}$形成的向量称作法向量的方向。 如下图  `例`已知直线 $\e
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