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直线与二元一次方程

## 直线与二元一次方程

每个二元一次方程所确定的图象都是一条直线．任给一个二元一次方程
$ax+by+c=0$, 
其中$a$、$b$不同时为零，设$(x_0,y_0)$是方程的一个解，
于是
 $ax_0+by_0+c=0 $
两式相减可得
 $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 $
建立一个直角坐标系，取$P_0(x_0,y_0)$和 $\vec{n}=(a,b)$, 显然上述方程就是通过$P_0$且垂直于$\vec{n}$的直线方程．

## 推论
方程
$$
\left\{
\begin{align}

a_1x+b_1y+c_1=0\\
a_2x+b_2y+c_2=0
\end{align}
\right.
$$
表示同一条直线的充要条件是存在一实数$\lambda$，使

$a_2=\lambda a_1,\qquad b_2=\lambda b_1,\qquad  c_2=\lambda c_1 $

当$t\ne 0$时，方程$ax+by+c=0$与 $t(ax+by+c)=0$ 是同一条直线的方程．
> 即：两条直线重合时，对应系数成比例

在解析几何中，有时我们要讨论一条有向直线
$\ell: ax+by+c=0$. 通常我们根据直线$\ell$的法向量$(a,b)$来规
定直线$\ell$的方向．方法是这样：
把法向量按顺时针旋转$90^{\circ}$
或者说，把直线$\ell$逆时针旋转$90^{\circ}$形成的向量称作法向量的方向。

如下图
 ![图片](/uploads/2024-05/1c7c23.jpg)

`例`已知直线 $\ell: 2 x+3 y-4=0$ 在坐标平面上, 出直线 $\ell$ 和它的法向量, 并标出直线的方向.

解：如图 5.25 所示, $\vec{n}$ 是 $\ell$ 的法向量, 箭头指出了直线 $\ell$ 的方向.

`例`求通过点 $P_0(-2,5)$ 且平行于 $\ell: 4 x-3 y+9=0$ 的直线方程.
解：由题意，可取 $\ell$ 的法向量 $\vec{n}=(4,-3)$ 作为所求直线的法向量，由点法向式, 可得所求的直线方程为
$$
4(x+2)+(-3)(y-5)=0
$$

整理得
$$
4 x-3 y+23=0
$$

`例`求通过点 $P_0(3,-4)$ 且垂直于 $\ell: 3 x+7 y-6=0$ 的直线方程.
解: 由题意, 可取 $\ell$ 的法向量 $\vec{n}=(3,7)$ 作为所求直线的方向向量, 由点方向式可得所求直线方程为
$$
\frac{x-3}{3}=\frac{y+4}{7}
$$

整理得
$$
7 x-3 y-33=0
$$

`例`已知点 $P(2,1)$ 和直线 $\ell: 2 x-3 y+6=0$, 且 $P M \perp \ell$ 于 $M$ 点, 求 $M$ 点的坐标 (图 5.26).
 ![图片](/uploads/2024-05/a5f391.jpg)

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