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直线

## 直线方程 
一个关于$x$、$y$的二元方程总可写为 $  F (x,y) =0    $
的形式．例如$x+y-3=0$, $y-x^2=0$, $x^2+2xy-y^2-3=0$等．设满足S上面方程的所有实数偶$(x,y)$的集合用$A$表示，则$A$可描述为
 $A= \{ (x,y) |F (x,y) =0\}  $
对$A$中的每一个有序实数偶$(x,y)$, 在坐标平面上，唯一确定了一个点$P(x,y)$. 这样，$A$中的所有元素就对应着平面上的一个点集$B$. $B$可描述为
 $B= \{P (x,y) |F (x,y) =0\} $

点集$B$叫做方程$F(x,y)=0$的图象或轨迹，而$F(x,y)=0$又叫做轨迹方程．例如：方程$y-x=0$的所有解集
 $\{ (x,y) |y-x=0\} $
对应着坐标平面上点的轨迹
 $\{P (x,y) |y-x=0\}  $
是第1、第3象限的角平分线．方程$y-x^2=0$的解集
 $\{ (x,y) |y-x^2=0\} $
所对应的点轨迹
 $\{P (x,y) |y-x^2=0\} $
是坐标平面上一条抛物线．

如果我们要确定某个点集是某个二元方程$F(x,y)=0$的轨迹，或方程$F(x,y)=0$是某个点集的方程，显然必须证明以下两条．
$(x,y)\in A\quad \Rightarrow\quad P(x,y)\in B$
$P (x,y) \in B\quad \Rightarrow\quad  (x,y) \in A$

第一条保证满足方程$F(x,y)=0$的实数偶所对应的点一定在轨迹$B$上，第二条保证在轨迹$B$上的点的坐标一定满足方程$F(x,y)=0$.

设$A= \{P (x,y) |F (x,y) =0\}$, $B= \{P (x,y) |G (x,y) =0\}$. 
$A,B$是两个轨迹．由定义可知，求$A\cap B$, 即求$A$与$B$的交集，与求联立方程
 $$
\begin{cases}
   F (x,y) =0\\
   G (x,y) =0 
\end{cases} 
$$
的解集，在解析几何中是同一件事．

这一节我们首先研究直线方程．

## 直线的各种方程
### 点法向式
过$P_0$作直线$\ell\bot \vec{n}$. 求$\ell$的方程（图5.18）.
 ![图片](/uploads/2024-05/05219e.jpg)
 
设$P(x,y)$是一个动
点，则$P\in\ell$的充要条件是
 $\vec{n}\cdot \vec{P_0P}=0 $
也可写为
 $\vec{n}\cdot (\vec{OP}-\vec{OP_0})=0 $
用坐标表示，上述向量方程变为
$$
   a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 
$$
或
 $ax+by+c=0 $
其中$c=-(ax_0+by_0)$. (5.15)式是通过点$P_0(x_0,y_0)$且
与已知向量$\vec{n}$垂直的直线方程，$\vec{n}$叫做直线$\ell$的\textbf{法向量}．通
常(5.15)式称为直线的\textbf{点法向式方程}．

特殊情况：当$\vec{n}\parallel e_x$时，$a\ne 0$, $b=0$, 直线$\ell$垂直
于$X$轴（图5.19）, 方程(5.15)变为
 $x-x_0=0 $
即：$x=x_0$

当$\vec{n}\parallel  e_y$时，$a=0$, 
$b\ne 0$, 直线$\ell$垂直于$Y$轴（图5.20），方程(5.15)变为
 $y=y_0 $
例如，通过$(2,1)$且垂直于$X$轴的方程是$x=2$, 通过$(3,4)$且垂直于$Y$轴的方程是$y=4$. 显然$X$轴的
方程是$y=0$, $Y$轴的方程是$x=0$.
 ![图片](/uploads/2024-05/3ce8c7.jpg)
 
 #### 例1
 求通过点$P_0(3,2)$, 且垂直于$\vec{n}(3,-4)$的直线方程式．
 解：由点法向式方程有
 $3(x-3)+(-4)(y-2)=0 $
整理得
 $3x-4y-1=0 $
 
#### 例2
已知$P_1(-1,2)$, $P_2(3,4)$, $P_3(-2,5)$. 求通过点$P_1$且垂直于直线$P_2P_3$的直线方程．
证明：因为$\vec{P_2P_3}=(-5,1)$, 所以通过点$P_1(-1,2)$
且垂直于$\vec{P_2P_3}$的直线方程为
 $-5\cdot (x+1)+1\cdot (y-2)=0 $
整理得
 $5x-y+7=0 $

## 点方向式
 已知点$P_0(x_0,y_0)$和$\vec{\mu}=(a,b)$, 且$a\ne 0$, $\vec{b}\ne 0$（即$\vec{\mu}$和两条坐标轴都不平行），过$P_0$作直线$\ell\parallel \vec{\mu}$, 求直线$\ell$的方程（图5.21）.
 证明：设$P(x,y)$是一动点，则
$P\in\ell$的充要条件是$\vec{P_0P}\parallel \vec{\mu}$.
 ![图片](/uploads/2024-05/cd5eb9.jpg)

我们知道$\vec{P_0P}$与$\vec{\mu}$平行的充要条件是它们的坐标成比例，即

$$
    \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}
$$
因此(5.16)式也是动点$P(x,y)$在直线$\ell$上的充要条件．
所以(5.16)式是直线$\ell$的方程．通常我们把(5.16)叫做直线
$\ell$的 点方向式方程 ，$\vec{\mu}$叫做直线$\ell$的 方向向量 ．
#### 例题3
 求通过点$P_0(-2,3)$且平行于$\vec{\mu}=(2,3)$ 的直线$\ell$的方程．
 解： 由点方向式方程可得$\ell$的方程为
 $\frac{x -(-2)}{2} =\frac{y-3}{3} $
整理得
 $3x-2y+12=0 $
 
#### 例题4
已知点$A(4,6)$, $B(-3,2)$, $C(4,-5)$, 求通过点$A$且平行于直线$BC$的直线方程．
解：因$\vec{BC}=(4-(-3),-5-2)=(7,-7)$, 所以所求直线方程为 $\frac{x-4}{7}=\frac{y-6}{-7} $
整理得 $x+y-10=0 $

##  两点式

已知两个不同的点$P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$, 求直线$P_1P_2$的方程（图5.22）.

因为 $\vec{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1) $ $\vec{P_1P_2}$取作所求直线的方向向量，据点方向式方程可得直线
$P_1P_2$的方程为
$$
    \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}
$$
(5.17)式通常叫做 直线方程的两点式 ．

#### 例题6
求通过$P_1(-4,2)$, $P_2(1,-3)$的直线方程.
解：由于$\vec{P_1P_2}=(1-(-4),-3-2)=(5,-5)$, 所以直线$P_1P_2$的方程为
 $\frac{x-(-4)}{5}=\frac{y-2}{-5} $
整理得
 $x+y+2=0 $
 
  ![图片](/uploads/2024-05/b38f22.jpg)
  
  #### 例题6
  已知直线$\ell$与$X$轴、$Y$轴分别相交于点$A(a,0)$、点$B(0,b)$, 且假定$a\ne 0$, $b\ne 0$, 求直线$\ell$的方程（图5.23）.
解：因$\vec{AB}=(-a,b)$, 由两点式可得
 $\frac{x-a}{-a}=\frac{y-b}{b} $
整理得
$$
    \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
$$
由例5.29求得的方程(5.18)通常叫做直线的\textbf{截距式}，$a$叫做$\ell$在$X$轴上的截距，$b$叫做$\ell$在$Y$轴上的截距．

## 直线与二元一次方程
在上一小节中，我们看到直线方程都是二元一次方程．但反过来要问是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢？答案是肯定的．
**定理**：每个二元一次方程所确定的图象都是一条直线．

任给一个二元一次方程
$ax+by+c=0$, 
其中$a$、$b$不同时为零，设$(x_0,y_0)$是方程的一个解，
于是
 $ax_0+by_0+c=0 $
两式相减可得
 $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 $
建立一个直角坐标系$[O:\; eX,eY]$, 取$P_0(x_0,y_0)$和
$\vec{n}=(a,b)$, 显然上述方程就是通过$P_0$且垂直于$\vec{n}$的直
线方程．这就证明了每个二元一次方程都可确定一条直线．

**推论1** 已知直线$\ell:\; ax+by+c=0$, 以$x$、$y$系数
为坐标的向量$(a,b)$是直线$\ell$的法向量

**推论2**
    方程
$$
\begin{align}
    a_1x+b_1y+c_1=0\\
a_2x+b_2y+c_2=0
\end{align}
$$
表示同一条直线的充要条件是存在一实数$\lambda$，使
 $a_2=\lambda a_1,\qquad b_2=\lambda b_1,\qquad  c_2=\lambda c_1 $
 
 
必要性：
 如果(5.19)、(5.20)两式表示同一条直
线，则对直线上任一点$(x_0,y_0)$有
$$
\begin{align}
a_1x_0+b_1y_0+c_1=0\\
a_2x_0+b_2y_0+c_2=0
\end{align}
$$

$(5.19)-(5.21)$, $(5.20)-(5.22)$得
 $$
\begin{split}
    a_1(x-x_0)+b_1(y-y_0)=0\\
a_2(x-x_0)+b_2(y-y_0)=0
\end{split} 
$$
由于$(a_1,b_1)$, $(a_2,b_2)$都是同一条直线的法向量，所以
它们平行，即存在一实数$\lambda$使
$$
    a_2=\lambda a_1,\qquad b_2=\lambda b_1
$$
由(5.21)、(5.22)、(5.23)就可得到
 $c_2=\lambda c_1 $

充分性： 设存在一实数$\lambda$, 使$a_2=\lambda a_1$, $b_2=\lambda b_1$, 
$c_2=\lambda c_1$, 则
 $a_2x+b_2y+c_2=\lambda (a_1x+b_1y+c_1)=0 $
显然，(5.19)、(5.20)两式表示的是同一条直线．

显然，当$t\ne 0$时，方程$ax+by+c=0$与$t(ax+by
+c)=0$是同一条直线的方程．这也就是说，同一直线的方
程之间可以相差一个非零的常数因子．

在解析几何中，有时我们要讨论一条有向直线
$\ell: ax+by+c=0$. 通常我们根据直线$\ell$的法向量$(a,b)$来规
定直线$\ell$的方向．方法是这样：把法向量按顺时针旋转$90^{\circ}$
后的方向作为直线$\ell$的方向（图5.24）.
 ![图片](/uploads/2024-05/1c7c23.jpg)

例 5.30 已知直线 $\ell: 2 x+3 y-4=0$ 在坐标平面上, 出直线 $\ell$ 和它的法向量, 并标出直线的方向.

解：如图 5.25 所示, $\vec{n}$ 是 $\ell$ 的法向量, 箭头指出了直线 $\ell$ 的方向.
例 5.31 求通过点 $P_0(-2,5)$ 且平行于 $\ell: 4 x-3 y+9=0$ 的直线方程.
解：由题意，可取 $\ell$ 的法向量 $\vec{n}=(4,-3)$ 作为所求直线的法向量，由点法向式, 可得所求的直线方程为
$$
4(x+2)+(-3)(y-5)=0
$$

整理得
$$
4 x-3 y+23=0
$$

例 5.32 求通过点 $P_0(3,-4)$ 且垂直于 $\ell: 3 x+7 y-6=0$ 的直线方程.
解: 由题意, 可取 $\ell$ 的法向量 $\vec{n}=(3,7)$ 作为所求直线的方向向量, 由点方向式可得所求直线方程为
$$
\frac{x-3}{3}=\frac{y+4}{7}
$$

整理得
$$
7 x-3 y-33=0
$$

例 5.33 已知点 $P(2,1)$ 和直线 $\ell: 2 x-3 y+6=0$, 且 $P M \perp \ell$ 于 $M$ 点, 求 $M$ 点的坐标 (图 5.26).
 ![图片](/uploads/2024-05/a5f391.jpg)
 
 解: 由于 $\vec{n}=(2,-3)$ 是直线 $\ell$ 的一个法向量, 所以 $\vec{n} / / \overrightarrow{P M}$, 于是存在一实数 $t$, 使
$$
\overrightarrow{P M}=t \vec{n}
$$

此即
$$
\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O P}+t \vec{n}
$$

设 $\overrightarrow{O M}=\left(x_0, y_0\right)$, 又知 $\overrightarrow{O P}=(2,1), \vec{n}=(2,-3)$, 于是有
$$
\left(x_0, y_0\right)=(2,1)+t(2,-3)=(2+2 t, 1-3 t)
$$

即
$$
x_0=2+2 t, \quad y_0=1-3 t
$$

由于 $M_0 \in \ell$, 所以代入 $\ell$ 的方程可得
$$
2(2+2 t)-3(1-3 t)+6=0
$$
解之得 $t=-\frac{7}{13}$. 所以可求得 $M$ 的坐标是
$$
x_0=2+2\left(\frac{7}{13}\right)=\frac{12}{13}, \quad y_0=1-3\left(-\frac{7}{13}\right)=\frac{34}{13}
$$

即: $M\left(\frac{12}{13}, \frac{34}{13}\right)$

子目录

1. 倾斜角与斜率

2. 直线方程

3. 直线方程2

4. 方向向量与法向量

5. 两直线平行与垂直

6. 点到直接的距离公式

7. 两点之间的距离

8. 两平行直线距离

9. 直线束与不等式解集

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