最后更新: 2025-04-14 14:03 查看: 277 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

直线的方程(点法式)

## 直线的法向量
先看一个例子：求直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量．

解：直线上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标满足等式

$$
\begin{gathered}
3 x_0+4 y_0-12=0, ...(1) \\
3 x+4 y-12=0 ...(2).
\end{gathered}
$$

$(2)-(1)$得

$$
3\left(x-x_0\right)+4\left(y-y_0\right)=0 ...(3)
$$

> 提示：上面用到了向量的点积知识，两个向量垂直则点积为零，反之如果点击为零，则两个向量垂直，这是一个充要条件，
这里乘积为零，则把他看成了两个向量，$\vec{a}=(3,4)$ 和$\vec{b}=(x-x_0,y-y_0)$ 详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=758)

将$(3)$式的左边写成数量积的形式，得

$$
(3,4) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...(4)
$$

当 $P, Q$ 两点不重合时， $\overrightarrow{P Q}=\left(x-x_0, y-y_0\right)$ 代表了直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量，由$(4)$式可知， $\overrightarrow{P Q}$ 与向量$(3,4)$垂直，因此这条直线与向量$(3,4)$垂直．

由 $3 \times 4+4 \times(-3)=0$ 得到向量 $(4,-3)$ 与向量 $(3,4)$ 垂直，因此 $(4,-3)$ 是直线的一个方向向量，直线的全体方向向量为 $\lambda(4,-3)=(4 \lambda,-3 \lambda)$ ，其中 $\lambda$ 为任意非零实数。

上面结果如下图所示。
 ![图片](/uploads/2025-02/f9f8e2.jpg){width=400px}

## 直线的点法式方程
上面的推理适用于一般直线方程 $A x+B y+C=0(A, B$ 不同时为 0$)$ ．
 图象上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标均满足方程，得

$$
\begin{gathered}
A x_0+B y_0+C=0, \\
A x+B y+C=0,
\end{gathered}
$$

以上两个等式相减得

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 ....②
$$

等式②的左边可看成向量 $\boldsymbol{n} =(A, B)$ 与 $\overrightarrow{P Q}=\left(x-x_0, y-y_0\right)$ 的数量积，则②式可改写为

$$
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{P Q}=(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...③
$$

并此得到直线 $l$ 的方程**点法式方程**：

$$
\boxed{
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
}
$$

从直线的一般方程还可以得到一个法向量。

> 直线的一般式方程 $A x+B y+C=0$ 的一次项系数组成的向量 $(A, B)$ 是直线的一个法向量。

如果知道了直线 $l$ 上的一个点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 和 $l$ 的一个法向量 $\vec{n}=(a, b)$ ，那么平面上一点 $P(x, y)$ 在直线 $l$ 上的充要条件是 $\vec{n} \perp \overrightarrow{M P}$ ，或用向量数量积写成 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{M P}=0$ ．因为向量 $\overrightarrow{M P}=$ $\left(x-x_0, y-y_0\right)$ ，所以平面上一点 $P(x, y)$ 在直线 $l$ 上的充要条件变成了

$$
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0 .
$$

这又给出了直线 $l$ 的一个方程，这个方程称为直线的点法式方程，它是一个几何意义明确，没有任何附加限制条件的直线方程．只要令 $c=-a x_0-b y_0$ ，直线的点法式方程就化归为一般式方程了．

## 例题

`例` 写出满足下列条件的直线的方程：
（1）垂直于向量 $(3,2)$ ，并且经过点 $A(2,1)$ ；
（2）经过点 $A(2,1)$ 和 $B(5,2)$ ．
解（1）（方法一）设点 $(x, y)$ 为直线上不同于点 $A$ 的任意一点，直线的方向向量 $(x-2, y-1)$ 垂直于向量 $(3,2)$ ，则有

$$
(3,2) \cdot(x-2, y-1)=3(x-2)+2(y-1)=0,
$$

整理得一般式方程

$$
3 x+2 y-8=0 .
$$

（方法二）由条件可知向量 $(3,2)$ 为所求直线的一个法向量，故可设直线的一般式方程为

$$
3 x+2 y+C=0 .
$$

将点 $A(2,1)$ 的坐标代人上述方程，得

$$
3 \times 2+2 \times 1+C=0,
$$

解得 $C=-8$ ．
因此直线方程为

$$
3 x+2 y-8=0
$$

（2）由已知条件可知直线的一个方向向量 $\overrightarrow{A B}=(5-2,2-1)=(3,1)$ ．
又 $1 \times 3+(-3) \times 1=0$ ，可知直线的一个法向量 $n =(1,-3)$ ．
因此可设直线的一般式方程为 $x-3 y+C=0$ ．
将点 $A(2,1)$ 的坐标代人上述方程，得

$$
1 \times 2-3 \times 1+C=0,
$$

解得 $C=1$ ．
因此直线方程为

$$
x-3 y+1=0
$$

`例`已知直线 $l$ 经过点 $P(3,2)$ ，且 $\vec{n}=(m, 1-m)$ 是它的一个法向量．若 $l$ 与坐标轴围成的三角形的面积是 2 ，求实数 $m$ 的值．

解 根据条件写出直线 $l$ 的点法式方程

$$
m(x-3)+(1-m)(y-2)=0
$$

化简为

$$
m x+(1-m) y-m-2=0
$$

如果 $m=0$ 或 $m=1$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴或 $y$ 轴平行，这样的直线无法与坐标轴围成三角形，所以 $m \neq 0$ 且 $m \neq 1$ ．

在上述方程中分别令 $y$ 与 $x$ 等于零，求得直线 $l$ 在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距分别是 $\frac{m+2}{m}$ 与 $\frac{m+2}{1-m}$ ．所以，$l$ 与坐标轴围成的三角形的面积为

$$
\frac{1}{2} \times\left|\frac{m+2}{m}\right| \times\left|\frac{m+2}{1-m}\right|=2
$$

解得 $m=\frac{4+2 \sqrt{7}}{3}$ 或 $m=\frac{4-2 \sqrt{7}}{3}$ ．

## 进一步探究直线的法线方程
已知直线 $\ell$ (图 5.28), 从原点 $O$ 作 $\ell$ 的垂线, 其垂足为 $M$, 设 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$为 $\overrightarrow{O M}$ 的单位向量, 再设原点 $O$ 到 $\ell$ 的距离为 $p$, 则
$$
\overrightarrow{O M}=p \vec{e}=(p \cos \alpha, p \sin \alpha)
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/fd9770.jpg)
 $M$ 点的坐标为 $(p \cos \alpha, p \sin \alpha)$. 因此, 由直线方程的点法向式可得 $\ell$ 的方程为
$$
(x-p \cos \alpha) \cos \alpha+(y-p \sin \alpha) \sin \alpha=0
$$

即
$$
\boxed{
x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0
}
$$

这就是与原点距离为 $p$ 且垂直于向量 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的直线方程. 通常我们把这种形式的方程叫做 $\ell$ 的**三角法线式**. 一条直线的法线式是唯一确定的. 这种方程的主要特点是 $x 、 y$ 的系数向量是单位法向量, 且常数项的值为负数.
如果给定方程 $a x+b y+c=0$, 我们可把它化为法线式
$$
x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0
$$

由于它们之间仅相差一个常数因子 $\lambda$, 即
$$
\cos \alpha=\lambda a, \quad \sin \alpha=\lambda b, \quad-p=\lambda c
$$

所以
$$
(\lambda a)^2+(\lambda b)^2=1 \quad \Rightarrow \quad \lambda=\frac{1}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}
$$

这时方程可化为
$$
\dfrac{a}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}} x+\dfrac{b}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}} y+\dfrac{c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}=0
$$
由于法线式方程要求常数项一定是个负数, 所以只要取根号前的符号使 $\frac{c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}<0$ 即可. 因此, 当 $c>0$ 时根号前负号; 当 $c<0$ 时根号前取正号.

在法线式方程中, 当 $p=0$ 时, 直线通过原点, 这时一般式方程中 $c=0$,于是方程变为
$$
a x+b y=0
$$

在这情形下, 我们如何选取因子 $\frac{1}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}$ 的符号呢? 我们约定符号按如下规则选取:

选取符号使直线的单位法向量 $\left(\frac{a}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}, \frac{b}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}\right)$ 的方向总是指向第 1、第 2 象限, 其中 $Y$ 轴的单位法向量取 $\vec{e}_x=(1,0)$.

`例`化以下直线方程为法线式.
1. $3 x+4 y-7=0$
2. $4 x-3 y=0$

解:
1. 取 $\lambda=\frac{1}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{1}{5}$, 则已知方程的法线式为
$$
\frac{3}{5} x+\frac{4}{5} y-\frac{7}{5}=0
$$
2. 取直线的单位法向量 $\left(\frac{4}{ \pm \sqrt{3^2+4^2}}, \frac{-3}{ \pm \sqrt{3^2+4^2}}\right)$, 使它的方向指向第 $1 、$第 2 象限, 于是根号前需取负号. 直线的法线式为
$$
-\frac{4}{5} x+\frac{3}{5} y=0
$$

## 法线式左边二元一次多项式的几何意义
下面我们来研究法线式左边二元一次多项式的几何意义.
已知直线 $\ell$ 的法线式为
$$
x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0
$$

当点 $P(x, y)$ 在直线上, 显然它的坐标满足 $\ell$ 的法线式方程.
当点 $P(x, y)$ 不在直线 $\ell$ 上, 我们来看多项式 $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p$ 的几何意义是什么.

作 $\ell$ 的法线 $O M, M$ 为垂足 (图 5.29), 再过点 $P$ 作 $O M$ 的垂线, 垂足为点 $N$. 因为 $\overrightarrow{O M}$ 的单位向量 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{O P}=(x, y)$, 所以
$$
\begin{aligned}
x \cos \alpha+y \sin \alpha-p & =\overrightarrow{O P} \cdot \vec{e}-p \\
& =\overrightarrow{O P} \cdot \vec{e}-\overrightarrow{O M} \cdot \vec{e}=\overrightarrow{M P} \cdot \vec{e}=M N
\end{aligned}
$$

$M N$ 可能取负值, 但不论取正值还是取负值, 它的绝对值是 $P$ 点到直线 $\ell$ 的距离. 如果用 $d$ 表示 $P$ 到 $\ell$ 的距离, 则
$$
d=|x \cos \alpha+y \sin \alpha-p|
$$

这就是说, 平面上任一点 $P(x, y)$ 的坐标代入已知直线的法线式的左边的多项式的绝对值就是 $P$ 点到已知直线的距离.
 ![图片](/uploads/2024-05/1508cb.jpg)
 如果 $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p$ 不取绝对值, 则求出的值是个带符号的数
$$
\delta=x \cos \alpha+y \sin \alpha-p
$$

由图 5.29 容易看出, 当 $P$ 点与原点位于直线的异侧, 则 $\delta>0$, 当 $P$ 点与原点位于 $\ell$ 的同侧, 则 $\delta<0$. 若 $\ell$ 通过原点 (图 5.30), 则 $p=0$. 这时 $\delta=\overrightarrow{O P} \cdot \vec{n}_0, \vec{n}_0$ 为直线法线式的系数向量, 于是 $P$ 点在法线式方程的系数向量所指向的那一侧 $\delta$ 为正; 反之 $\delta$ 为负.
如果已知直线 $\ell: a x+b y+c=0$. 那么它的法线式为
$$
\frac{a x+b y+c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}=0
$$

根号前符号的选取按上述规定. 所以 $P$ 点到 $\ell$ 的距离
$$
d=\left|\dfrac{a x+b y+c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}\right|=\dfrac{|a x+b y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$

`例`求点 $P(4,3)$ 到直线 $\ell: 4 x+3 y+10=0$ 的距离.
解: 直线 $\ell$ 的法线式为
$$
\frac{4 x+3 y+10}{-\sqrt{3^2+4^2}}=0
$$

即为
$$
-\frac{4}{5} x-\frac{3}{5} y-2=0
$$
所以
$$
d=\left|-\frac{4}{5} \times 4+\left(-\frac{3}{5}\right) \times 3-2\right|=7
$$

`例` 求点 $P(3,1)$ 到直线 $\ell: x-y+3=0$ 的距离.
解:
$$
d=\frac{|a x+b y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3-1+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}
$$

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