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解析几何(圆锥曲线)
直线
日期:
2024-05-11 11:50
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直线
## 直线方程 一个关于$x$、$y$的二元方程总可写为 $ F (x,y) =0 $ 的形式．例如$x+y-3=0$, $y-x^2=0$, $x^2+2xy-y^2-3=0$等．设满足S上面方程的所有实数偶$(x,y)$的集合用$A$表示，则$A$可描述为 $A= \{ (x,y) |F (x,y) =0\} $ 对$A$中的每一个有序实数偶$(x,y)$, 在坐标平面上，唯一确定了一个点$P(x,y)$. 这样，$A$中的所有元素就对应着平面上的一个点集$B$. $B$可描述为 $B= \{P (x,y) |F (x,y) =0\} $ 点集$B$叫做方程$F(x,y)=0$的图象或轨迹，而$F(x,y)=0$又叫做轨迹方程．例如：方程$y-x=0$的所有解集 $\{ (x,y) |y-x=0\} $ 对应着坐标平面上点的轨迹 $\{P (x,y) |y-x=0\} $ 是第1、第3象限的角平分线．方程$y-x^2=0$的解集 $\{ (x,y) |y-x^2=0\} $ 所对应的点轨迹 $\{P (x,y) |y-x^2=0\} $ 是坐标平面上一条抛物线． 如果我们要确定某个点集是某个二元方程$F(x,y)=0$的轨迹，或方程$F(x,y)=0$是某个点集的方程，显然必须证明以下两条． $(x,y)\in A\quad \Rightarrow\quad P(x,y)\in B$ $P (x,y) \in B\quad \Rightarrow\quad (x,y) \in A$ 第一条保证满足方程$F(x,y)=0$的实数偶所对应的点一定在轨迹$B$上，第二条保证在轨迹$B$上的点的坐标一定满足方程$F(x,y)=0$. 设$A= \{P (x,y) |F (x,y) =0\}$, $B= \{P (x,y) |G (x,y) =0\}$. $A,B$是两个轨迹．由定义可知，求$A\cap B$, 即求$A$与$B$的交集，与求联立方程 $$ \begin{cases} F (x,y) =0\\ G (x,y) =0 \end{cases} $$ 的解集，在解析几何中是同一件事． 这一节我们首先研究直线方程． ## 直线的各种方程 ### 点法向式 过$P_0$作直线$\ell\bot \vec{n}$. 求$\ell$的方程（图5.18）.  设$P(x,y)$是一个动 点，则$P\in\ell$的充要条件是 $\vec{n}\cdot \vec{P_0P}=0 $ 也可写为 $\vec{n}\cdot (\vec{OP}-\vec{OP_0})=0 $ 用坐标表示，上述向量方程变为 $$ a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 $$ 或 $ax+by+c=0 $ 其中$c=-(ax_0+by_0)$. (5.15)式是通过点$P_0(x_0,y_0)$且 与已知向量$\vec{n}$垂直的直线方程，$\vec{n}$叫做直线$\ell$的\textbf{法向量}．通 常(5.15)式称为直线的\textbf{点法向式方程}． 特殊情况：当$\vec{n}\parallel e_x$时，$a\ne 0$, $b=0$, 直线$\ell$垂直 于$X$轴（图5.19）, 方程(5.15)变为 $x-x_0=0 $ 即：$x=x_0$ 当$\vec{n}\parallel e_y$时，$a=0$, $b\ne 0$, 直线$\ell$垂直于$Y$轴（图5.20），方程(5.15)变为 $y=y_0 $ 例如，通过$(2,1)$且垂直于$X$轴的方程是$x=2$, 通过$(3,4)$且垂直于$Y$轴的方程是$y=4$. 显然$X$轴的 方程是$y=0$, $Y$轴的方程是$x=0$.  #### 例1 求通过点$P_0(3,2)$, 且垂直于$\vec{n}(3,-4)$的直线方程式． 解：由点法向式方程有 $3(x-3)+(-4)(y-2)=0 $ 整理得 $3x-4y-1=0 $ #### 例2 已知$P_1(-1,2)$, $P_2(3,4)$, $P_3(-2,5)$. 求通过点$P_1$且垂直于直线$P_2P_3$的直线方程． 证明：因为$\vec{P_2P_3}=(-5,1)$, 所以通过点$P_1(-1,2)$ 且垂直于$\vec{P_2P_3}$的直线方程为 $-5\cdot (x+1)+1\cdot (y-2)=0 $ 整理得 $5x-y+7=0 $ ## 点方向式 已知点$P_0(x_0,y_0)$和$\vec{\mu}=(a,b)$, 且$a\ne 0$, $\vec{b}\ne 0$（即$\vec{\mu}$和两条坐标轴都不平行），过$P_0$作直线$\ell\parallel \vec{\mu}$, 求直线$\ell$的方程（图5.21）. 证明：设$P(x,y)$是一动点，则 $P\in\ell$的充要条件是$\vec{P_0P}\parallel \vec{\mu}$.  我们知道$\vec{P_0P}$与$\vec{\mu}$平行的充要条件是它们的坐标成比例，即 $$ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b} $$ 因此(5.16)式也是动点$P(x,y)$在直线$\ell$上的充要条件． 所以(5.16)式是直线$\ell$的方程．通常我们把(5.16)叫做直线 $\ell$的 点方向式方程 ，$\vec{\mu}$叫做直线$\ell$的 方向向量 ． #### 例题3 求通过点$P_0(-2,3)$且平行于$\vec{\mu}=(2,3)$ 的直线$\ell$的方程． 解： 由点方向式方程可得$\ell$的方程为 $\frac{x -(-2)}{2} =\frac{y-3}{3} $ 整理得 $3x-2y+12=0 $ #### 例题4 已知点$A(4,6)$, $B(-3,2)$, $C(4,-5)$, 求通过点$A$且平行于直线$BC$的直线方程． 解：因$\vec{BC}=(4-(-3),-5-2)=(7,-7)$, 所以所求直线方程为 $\frac{x-4}{7}=\frac{y-6}{-7} $ 整理得 $x+y-10=0 $ ## 两点式 已知两个不同的点$P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$, 求直线$P_1P_2$的方程（图5.22）. 因为 $\vec{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1) $ $\vec{P_1P_2}$取作所求直线的方向向量，据点方向式方程可得直线 $P_1P_2$的方程为 $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} $$ (5.17)式通常叫做 直线方程的两点式 ． #### 例题6 求通过$P_1(-4,2)$, $P_2(1,-3)$的直线方程. 解：由于$\vec{P_1P_2}=(1-(-4),-3-2)=(5,-5)$, 所以直线$P_1P_2$的方程为 $\frac{x-(-4)}{5}=\frac{y-2}{-5} $ 整理得 $x+y+2=0 $  #### 例题6 已知直线$\ell$与$X$轴、$Y$轴分别相交于点$A(a,0)$、点$B(0,b)$, 且假定$a\ne 0$, $b\ne 0$, 求直线$\ell$的方程（图5.23）. 解：因$\vec{AB}=(-a,b)$, 由两点式可得 $\frac{x-a}{-a}=\frac{y-b}{b} $ 整理得 $$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $$ 由例5.29求得的方程(5.18)通常叫做直线的\textbf{截距式}，$a$叫做$\ell$在$X$轴上的截距，$b$叫做$\ell$在$Y$轴上的截距． ## 直线与二元一次方程 在上一小节中，我们看到直线方程都是二元一次方程．但反过来要问是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢？答案是肯定的． **定理**：每个二元一次方程所确定的图象都是一条直线． 任给一个二元一次方程 $ax+by+c=0$, 其中$a$、$b$不同时为零，设$(x_0,y_0)$是方程的一个解， 于是 $ax_0+by_0+c=0 $ 两式相减可得 $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 $ 建立一个直角坐标系$[O:\; eX,eY]$, 取$P_0(x_0,y_0)$和 $\vec{n}=(a,b)$, 显然上述方程就是通过$P_0$且垂直于$\vec{n}$的直 线方程．这就证明了每个二元一次方程都可确定一条直线． **推论1** 已知直线$\ell:\; ax+by+c=0$, 以$x$、$y$系数 为坐标的向量$(a,b)$是直线$\ell$的法向量 **推论2** 方程 $$ \begin{align} a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{align} $$ 表示同一条直线的充要条件是存在一实数$\lambda$，使 $a_2=\lambda a_1,\qquad b_2=\lambda b_1,\qquad c_2=\lambda c_1 $ 必要性： 如果(5.19)、(5.20)两式表示同一条直 线，则对直线上任一点$(x_0,y_0)$有 $$ \begin{align} a_1x_0+b_1y_0+c_1=0\\ a_2x_0+b_2y_0+c_2=0 \end{align} $$ $(5.19)-(5.21)$, $(5.20)-(5.22)$得 $$ \begin{split} a_1(x-x_0)+b_1(y-y_0)=0\\ a_2(x-x_0)+b_2(y-y_0)=0 \end{split} $$ 由于$(a_1,b_1)$, $(a_2,b_2)$都是同一条直线的法向量，所以 它们平行，即存在一实数$\lambda$使 $$ a_2=\lambda a_1,\qquad b_2=\lambda b_1 $$ 由(5.21)、(5.22)、(5.23)就可得到 $c_2=\lambda c_1 $ 充分性： 设存在一实数$\lambda$, 使$a_2=\lambda a_1$, $b_2=\lambda b_1$, $c_2=\lambda c_1$, 则 $a_2x+b_2y+c_2=\lambda (a_1x+b_1y+c_1)=0 $ 显然，(5.19)、(5.20)两式表示的是同一条直线． 显然，当$t\ne 0$时，方程$ax+by+c=0$与$t(ax+by +c)=0$是同一条直线的方程．这也就是说，同一直线的方 程之间可以相差一个非零的常数因子． 在解析几何中，有时我们要讨论一条有向直线 $\ell: ax+by+c=0$. 通常我们根据直线$\ell$的法向量$(a,b)$来规 定直线$\ell$的方向．方法是这样：把法向量按顺时针旋转$90^{\circ}$ 后的方向作为直线$\ell$的方向（图5.24）.  例 5.30 已知直线 $\ell: 2 x+3 y-4=0$ 在坐标平面上, 出直线 $\ell$ 和它的法向量, 并标出直线的方向. 解：如图 5.25 所示, $\vec{n}$ 是 $\ell$ 的法向量, 箭头指出了直线 $\ell$ 的方向. 例 5.31 求通过点 $P_0(-2,5)$ 且平行于 $\ell: 4 x-3 y+9=0$ 的直线方程. 解：由题意，可取 $\ell$ 的法向量 $\vec{n}=(4,-3)$ 作为所求直线的法向量，由点法向式, 可得所求的直线方程为 $$ 4(x+2)+(-3)(y-5)=0 $$ 整理得 $$ 4 x-3 y+23=0 $$ 例 5.32 求通过点 $P_0(3,-4)$ 且垂直于 $\ell: 3 x+7 y-6=0$ 的直线方程. 解: 由题意, 可取 $\ell$ 的法向量 $\vec{n}=(3,7)$ 作为所求直线的方向向量, 由点方向式可得所求直线方程为 $$ \frac{x-3}{3}=\frac{y+4}{7} $$ 整理得 $$ 7 x-3 y-33=0 $$ 例 5.33 已知点 $P(2,1)$ 和直线 $\ell: 2 x-3 y+6=0$, 且 $P M \perp \ell$ 于 $M$ 点, 求 $M$ 点的坐标 (图 5.26).  解: 由于 $\vec{n}=(2,-3)$ 是直线 $\ell$ 的一个法向量, 所以 $\vec{n} / / \overrightarrow{P M}$, 于是存在一实数 $t$, 使 $$ \overrightarrow{P M}=t \vec{n} $$ 此即 $$ \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O P}+t \vec{n} $$ 设 $\overrightarrow{O M}=\left(x_0, y_0\right)$, 又知 $\overrightarrow{O P}=(2,1), \vec{n}=(2,-3)$, 于是有 $$ \left(x_0, y_0\right)=(2,1)+t(2,-3)=(2+2 t, 1-3 t) $$ 即 $$ x_0=2+2 t, \quad y_0=1-3 t $$ 由于 $M_0 \in \ell$, 所以代入 $\ell$ 的方程可得 $$ 2(2+2 t)-3(1-3 t)+6=0 $$ 解之得 $t=-\frac{7}{13}$. 所以可求得 $M$ 的坐标是 $$ x_0=2+2\left(\frac{7}{13}\right)=\frac{12}{13}, \quad y_0=1-3\left(-\frac{7}{13}\right)=\frac{34}{13} $$ 即: $M\left(\frac{12}{13}, \frac{34}{13}\right)$
子目录
1. 倾斜角与斜率
2. 方向向量与法向量
3. 直线方程
4. 两直线平行与垂直
5. 点到直接的距离公式
6. 两平行直线距离
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