最后更新: 2025-02-07 07:47 查看: 437 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

直线的方向向量

## 直线的方向向量
本章一开始就用斜率来表示直线的方向．什么叫作直线 $P Q$ 的方向？很自然想到的是：直线上两个不同点 $P, Q$ 之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量 $\overrightarrow{P Q}$ 来表示。不过，我们没有把直线 $l$ 规定成有向直线，直线 $Q P$ 与 $P Q$ 是同一条直线，两个相反向量 $\overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{Q P}$ 的方向都代表直线 $P Q$ 的方向，此时这两个方向平行。因此，我们把与直线 $l$ 平行的非零向量 $v$ 都称为 $l$ 的**方向向量**，用它们来表示直线的方向。

直线 $l$ 的方向向量 $v$ 并不唯一，$v$ 的所有的非零实数倍 $\lambda v$ 都是方向向量；反过来，所有的方向向量都与 $l$ 平行，因此它们相互平行，互为实数倍．

`例`求直线 $y=k x+b$ 的全体方向向量．
解 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. }
$$

方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得：

> 斜率为 $k$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍．

`例`求直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量．

解（方法一）直线方程化为斜截式，得 $y=-\frac{3}{4} x+3$ ，其斜率 $k=-\frac{3}{4}$ ．
因此直线的全体方向向量为 $\lambda\left(1,-\frac{3}{4}\right)$ ，其中 $\lambda$ 为任意非零实数。

（方法二）直线上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标满足等式

$$
\begin{gathered}
3 x_0+4 y_0-12=0, ...(1) \\
3 x+4 y-12=0 ...(2).
\end{gathered}
$$

(2)-(1)得

$$
3\left(x-x_0\right)+4\left(y-y_0\right)=0 ...(3)
$$

将（3）式的左边写成数量积的形式，得

$$
(3,4) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...(4)
$$

当 $P, Q$ 两点不重合时， $\overrightarrow{P Q}=\left(x-x_0, y-y_0\right)$ 代表了直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量，由（4）式可知， $\overrightarrow{P Q}$ 与向量$(3,4)$垂直，因此这条直线与向量$(3,4)$垂直．

由 $3 \times 4+4 \times(-3)=0$ 得到向量 $(4,-3)$ 与向量 $(3,4)$ 垂直，因此 $(4,-3)$ 是直线的一个方向向量，直线的全体方向向量为 $\lambda(4,-3)=(4 \lambda,-3 \lambda)$ ，其中 $\lambda$ 为任意非零实数。

上面结果如下图所示。
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