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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
直线的方向向量
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2025-02-07 07:47
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直线的方向向量
方向向量;法向量;法线式;法线方程
## 直线的方向向量 本章一开始就用斜率来表示直线的方向．什么叫作直线 $P Q$ 的方向？很自然想到的是：直线上两个不同点 $P, Q$ 之间的有向线段的方向就是直线的方向，可以用非零向量 $\overrightarrow{P Q}$ 来表示。不过，我们没有把直线 $l$ 规定成有向直线，直线 $Q P$ 与 $P Q$ 是同一条直线，两个相反向量 $\overrightarrow{P Q}, \overrightarrow{Q P}$ 的方向都代表直线 $P Q$ 的方向，此时这两个方向平行。因此，我们把与直线 $l$ 平行的非零向量 $v$ 都称为 $l$ 的**方向向量**，用它们来表示直线的方向。 直线 $l$ 的方向向量 $v$ 并不唯一，$v$ 的所有的非零实数倍 $\lambda v$ 都是方向向量；反过来，所有的方向向量都与 $l$ 平行，因此它们相互平行，互为实数倍． `例`求直线 $y=k x+b$ 的全体方向向量． 解 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足 $$ k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. } $$ 方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$ $$ \begin{aligned} & =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\ & =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k), \end{aligned} $$ 其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得： > 斜率为 $k$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍． `例`求直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量． 解（方法一）直线方程化为斜截式，得 $y=-\frac{3}{4} x+3$ ，其斜率 $
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