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高中数学
第十一章：解析几何(圆锥曲线)
直线
方向向量与法向量
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2024-09-19 01:56
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方向向量与法向量
## 方向向量 给定平面直角坐标系中的一条直线 $l$, 在 $l$ 上任意取 $A, B$ 两个不同的点, 显然, 向量 $\overrightarrow{A B}$ 也能描述直线 $l$ 相对于 $x$ 轴的倾斜程度, 此时, 我们称 $\overrightarrow{A B}$ 是直线 $l$的一个方向向量. 一般地, 如果表示非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的有向线段所在的直线与直线 $l$ 平行或重合, 则称向量 $a$为直线 $l$ 的一个方向向量，记作 $a / / l$.  ## 法向量 如果表示非零向量 $n$ 的有向线段所在直线与直线 $l$ 垂直, 则称向量 $n$ 为直线 $l$ 的一个法向量，记作 $n \perp l$. {width=200ox} 不难看出, 一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 例如, 如果 $\boldsymbol{a}=(1,2)$ 是直线 $l_1$ 的一个方向向量, 则 $\boldsymbol{n}=(2,-1)$ 就是直线 $l_1$ 的一个法向量; ## 直线的向量 已知点 $A\left(x_1, y_1\right)$ 与 $B\left(x_2, y_2\right)$ 是直线 $l: a x+b y+c=0$ （ $a 、 b$ 不同时为零）上任意两点，且向量 $\vec{n}=(a, b)$. 求证：向量 $\vec{n}$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 垂直. 证明 因为点 $A\left(x_1, y_1\right)$ 与 $B\left(x_2, y_2\right)$ 在直线 $l$ 上, 所以 $a x_1+$ $b y_1+c=0$ 且 $a x_2+b y_2+c=0$. 两式相减, 得 $a\left(x_2-x_1\right)+$ $b\left(y_2-y_1\right)=0$, 即 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=0$, 所以向量 $\vec{n}$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 垂直. 上例中的向量 $\vec{n}=(a, b)$ 与直线 $l$ 上的任意一个向量都垂直.一般地, 与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量(normal vector). 于是, 上例可以总结为如下结论: 以直线 $l$ 的一般式方程 $a x+b y+c=0 （ a 、 b$ 不同时为零) 的一次项系数为坐标的向量 $\vec{n}=(a, b)$ 是 $l$ 的一个法向量。 如果知道了直线 $l$ 上的一个点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 和 $l$ 的一个法向量 $\vec{n}=(a, b)$, 那么平面上一点 $P(x, y)$ 在直线 $l$ 上的充要条件是 $\vec{n} \perp \overrightarrow{M P}$, 或用向量数量积写成 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{M P}=0$. 因为向量 $\overrightarrow{M P}=$ $\left(x-x_0, y-y_0\right)$, 所以平面上一点 $P(x, y)$ 在直线 $l$ 上的充要条件变成了 $$ a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0 . $$ 这又给出了直线 $l$ 的一个方程, 这个方程称为直线的点法式方程,它是一个几何意义明确、没有任何附加限制条件的直线方程. 只要令 $c=-a x_0-b y_0$, 直线的点法式方程(5)就化归为一般式方程(4)了. `例`已知直线 $l$ 经过点 $P(3,2)$, 且 $\vec{n}=(m, 1-m)$ 是它的一个法向量. 若 $l$ 与坐标轴围成的三角形的面积是 2 , 求实数 $m$ 的值. 解 根据条件写出直线 $l$ 的点法式方程 $$ m(x-3)+(1-m)(y-2)=0 . $$ 化简为 $$ m x+(1-m) y-m-2=0 $$ 如果 $m=0$ 或 $m=1$, 直线 $l$ 与 $x$ 轴或 $y$ 轴平行, 这样的直线无法与坐标轴围成三角形, 所以 $m \neq 0$ 且 $m \neq 1$. 在上述方程中分别令 $y$ 与 $x$ 等于零, 求得直线 $l$ 在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距分别是 $\frac{m+2}{m}$ 与 $\frac{m+2}{1-m}$. 所以, $l$ 与坐标轴围成的三角形的面积为 $$ \frac{1}{2} \times\left|\frac{m+2}{m}\right| \times\left|\frac{m+2}{1-m}\right|=2 $$ 解得 $m=\frac{4+2 \sqrt{7}}{3}$ 或 $m=\frac{4-2 \sqrt{7}}{3}$. ## 直线的斜率 已知两个不同的点 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right)$, 则直线 $P_1 P_2$ 的方程可写为: $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} $$ 这个方程又可改写为如下形式 $$ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) $$  由相似形定理, 我们容易证明, 不论 $P_1 、 P_2$ 在直线上的位置如何 (图 5.27),上面方程中 $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 始终是个定值. 容易看出, 如果我们设 $\ell$ 向上的方向与 $X$轴正向的夹角为 $\alpha(0 \leq \alpha \leq \pi)$, 则 $$ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\tan \alpha $$ 定值 $\tan \alpha$ 叫做直线 $\ell$ 的斜率, $\alpha$ 叫做直线的倾角. 令 $\tan \alpha=k$, 则两点式方程就可写为 $$ y-y_1=k\left(x-x_1\right) $$ 上述方程叫做直线 $\ell$ 的点斜式. 这个方程还可变形为 $$ y=k x+m $$ 其中 $m=y_1-k x_1$. 令 $x=0$, 则 $y=m$, 这就是说直线: $y=k x+m$ 与 $Y$ 轴相交于点 $(0, m)$. 因此, $m$ 为直线在 $Y$ 轴上的截距, 上式通常称做直线的斜截式. 已知直线 $\ell: a x+b y+c=0$, 令 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right)$ 是 $\ell$ 上任意两个不同的点, 则 $$ \begin{aligned} & a x_1+b y_1+c=0 \\ & a x_2+b y_2+c=0 \end{aligned} $$ $(5.24)-(5.25)$ 得: $$ a\left(x_2-x_1\right)+b\left(y_2-y_1\right)=0 $$ 当 $b \neq 0$ 可得 $$ \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{a}{b} $$ 上式说明, 由方程 $a x+b y+c=0$ 解出 $y$, 则 $x$ 的系数就是直线 $\ell$ 的斜率 $k$, 常数项即为 $\ell$ 在 $Y$ 轴上的截距. 例 5.34 求直线 $\ell: 4 x-3 y+7=0$ 的斜率及在 $Y$ 轴上的截距. 解: 由已知方程解出 $y$, 得 $$ y=\frac{4}{3} x+\frac{7}{3} $$ 所以 $\ell$ 的斜率是 $\frac{4}{3}$, 在 $Y$ 轴上的截距是 $\frac{7}{3}$. 例 5.35 已知直线上的一点 $P_1(2,3)$, 且倾角 $\alpha=\frac{\pi}{3}$, 求此直线的方程. 解: 由于 $k=\tan \alpha=\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$, 因此所求的直线方程为: $$ y-3=\sqrt{3}(x-2) $$ ## 直线的法线式及其应用 已知直线 $\ell$ (图 5.28), 从原点 $O$ 作 $\ell$ 的垂线, 其垂足为 $M$, 设 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$为 $\overrightarrow{O M}$ 的单位向量, 再设原点 $O$ 到 $\ell$ 的距离为 $p$, 则 $$ \overrightarrow{O M}=p \vec{e}=(p \cos \alpha, p \sin \alpha) $$  $M$ 点的坐标为 $(p \cos \alpha, p \sin \alpha)$. 因此, 由直线方程的点法向式可得 $\ell$ 的方程为 $$ (x-p \cos \alpha) \cos \alpha+(y-p \sin \alpha) \sin \alpha=0 $$ 即 $$ x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0 $$ 这就是与原点距离为 $p$ 且垂直于向量 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的直线方程. 通常我们把这种形式的方程叫做 $\ell$ 的法线式. 一条直线的法线式是唯一确定的. 这种方程的主要特点是 $x 、 y$ 的系数向量是单位法向量, 且常数项的值为负数. 如果给定方程 $a x+b y+c=0$, 我们可把它化为法线式 $$ x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0 $$ 由于它们之间仅相差一个常数因子 $\lambda$, 即 $$ \cos \alpha=\lambda a, \quad \sin \alpha=\lambda b, \quad-p=\lambda c $$ 所以 $$ (\lambda a)^2+(\lambda b)^2=1 \quad \Rightarrow \quad \lambda=\frac{1}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}} $$ 这时方程可化为 $$ \frac{a}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}} x+\frac{b}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}} y+\frac{c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}=0 $$ 由于法线式方程要求常数项一定是个负数, 所以只要取根号前的符号使 $\frac{c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}<0$ 即可. 因此, 当 $c>0$ 时根号前负号; 当 $c<0$ 时根号前取正号. 在法线式方程中, 当 $p=0$ 时, 直线通过原点, 这时一般式方程中 $c=0$,于是方程变为 $$ a x+b y=0 $$ 在这情形下, 我们如何选取因子 $\frac{1}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}$ 的符号呢? 我们约定符号按如下规则选取: 选取符号使直线的单位法向量 $\left(\frac{a}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}, \frac{b}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}\right)$ 的方向总是指向第 1、第 2 象限, 其中 $Y$ 轴的单位法向量取 $\vec{e}_x=(1,0)$. 例 5.36 化以下直线方程为法线式. 1. $3 x+4 y-7=0$ 2. $4 x-3 y=0$ 解: 1. 取 $\lambda=\frac{1}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{1}{5}$, 则已知方程的法线式为 $$ \frac{3}{5} x+\frac{4}{5} y-\frac{7}{5}=0 $$ 2. 取直线的单位法向量 $\left(\frac{4}{ \pm \sqrt{3^2+4^2}}, \frac{-3}{ \pm \sqrt{3^2+4^2}}\right)$, 使它的方向指向第 $1 、$第 2 象限, 于是根号前需取负号. 直线的法线式为 $$ -\frac{4}{5} x+\frac{3}{5} y=0 $$ 下面我们来研究法线式左边二元一次多项式的几何意义. 已知直线 $\ell$ 的法线式为 $$ x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0 $$ 当点 $P(x, y)$ 在直线上, 显然它的坐标满足 $\ell$ 的法线式方程. 当点 $P(x, y)$ 不在直线 $\ell$ 上, 我们来看多项式 $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p$ 的几何意义是什么. 作 $\ell$ 的法线 $O M, M$ 为垂足 (图 5.29), 再过点 $P$ 作 $O M$ 的垂线, 垂足为点 $N$. 因为 $\overrightarrow{O M}$ 的单位向量 $\vec{e}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{O P}=(x, y)$, 所以 $$ \begin{aligned} x \cos \alpha+y \sin \alpha-p & =\overrightarrow{O P} \cdot \vec{e}-p \\ & =\overrightarrow{O P} \cdot \vec{e}-\overrightarrow{O M} \cdot \vec{e}=\overrightarrow{M P} \cdot \vec{e}=M N \end{aligned} $$ $M N$ 可能取负值, 但不论取正值还是取负值, 它的绝对值是 $P$ 点到直线 $\ell$ 的距离. 如果用 $d$ 表示 $P$ 到 $\ell$ 的距离, 则 $$ d=|x \cos \alpha+y \sin \alpha-p| $$ 这就是说, 平面上任一点 $P(x, y)$ 的坐标代入已知直线的法线式的左边的多项式的绝对值就是 $P$ 点到已知直线的距离.  如果 $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p$ 不取绝对值, 则求出的值是个带符号的数 $$ \delta=x \cos \alpha+y \sin \alpha-p $$ 由图 5.29 容易看出, 当 $P$ 点与原点位于直线的异侧, 则 $\delta>0$, 当 $P$ 点与原点位于 $\ell$ 的同侧, 则 $\delta<0$. 若 $\ell$ 通过原点 (图 5.30), 则 $p=0$. 这时 $\delta=\overrightarrow{O P} \cdot \vec{n}_0, \vec{n}_0$ 为直线法线式的系数向量, 于是 $P$ 点在法线式方程的系数向量所指向的那一侧 $\delta$ 为正; 反之 $\delta$ 为负. 如果已知直线 $\ell: a x+b y+c=0$. 那么它的法线式为 $$ \frac{a x+b y+c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}=0 $$ 根号前符号的选取按上述规定. 所以 $P$ 点到 $\ell$ 的距离 $$ d=\left|\frac{a x+b y+c}{ \pm \sqrt{a^2+b^2}}\right|=\frac{|a x+b y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$ 例 5.37 求点 $P(4,3)$ 到直线 $\ell: 4 x+3 y+10=0$ 的距离. 解: 直线 $\ell$ 的法线式为 $$ \frac{4 x+3 y+10}{-\sqrt{3^2+4^2}}=0 $$ 即为 $$ -\frac{4}{5} x-\frac{3}{5} y-2=0 $$ 所以 $$ d=\left|-\frac{4}{5} \times 4+\left(-\frac{3}{5}\right) \times 3-2\right|=7 $$ 例 5.38 求点 $P(3,1)$ 到直线 $\ell: x-y+3=0$ 的距离. 解: $$ d=\frac{|a x+b y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3-1+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2} $$ ## 两条直线的位置关系 如果已知两条直线 $$ \begin{aligned} & \ell_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0 \\ & \ell_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0 \end{aligned} $$ 那么 $\vec{n}_1=\left(a_1, b_1\right), \vec{n}_2=\left(a_2, b_2\right)$ 分别是 $\ell_1, \ell_2$ 的法向量. 我们由 $$ \begin{aligned} \ell_1 / / \ell_2 & \Longleftrightarrow \vec{n}_1 / / \vec{n}_2 \\ \ell_1 \perp \ell_2 & \Longleftrightarrow \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \end{aligned} $$ 就可得 $$ \begin{aligned} \ell_1 / / \ell_2 & \Longleftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \\ \ell_1 \perp \ell_2 & \Longleftrightarrow a_1 a_2+b_1 b_2=0 \end{aligned} $$ 如果两条直线的方程给出的是斜截式, 即 $$ \begin{aligned} & \ell_1: y=k_1 x+b_1 \\ & \ell_2: y=k_2 x+b_2 \end{aligned} $$ 那么我们由上面垂直与平行的充要条件就可得到: $$ \begin{aligned} \ell_1 / / \ell_2 & \Longleftrightarrow k_1=k_2 \\ \ell_1 \perp \ell_2 & \Longleftrightarrow k_1 \cdot k_2=-1 \end{aligned} $$ 下面我们来讨论如何求两条直线的交点和交角. 求 $\ell_1 、 \ell_2$ 的交点问题就是求二元一次方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_1 x+b_1 y+c_1=0 \\ a_2 x+b_2 y+c_2=0 \end{array}\right. $$ 的解的问题. 给定两条直线 (图 5.31)： $$ \begin{aligned} & \ell_1: a_1 x+b_1 y+c_1=0 \\ & \ell_2: a_2 x+b_2 y+c_2=0 \end{aligned} $$ 从 $\ell_1$ 旋转到 $\ell_2$ 所经过的绝对值不超过 $\pi$ 的角有两个, 如图 5.31 所示的 $\theta_1$ 、 $\theta_2$. 故 $$ \theta_1-\theta_2= \pm \pi, \quad \tan \theta_1=\tan \left(\theta_2 \pm \pi\right)=\tan \theta_2 $$ 如果取 $\ell_1$ 的法向量 $\vec{n}_1=\left(a_1, b_1\right), \ell_2$ 的法向量 $\vec{n}_2=\left(a_2, b_2\right)$, 则从 $\vec{n}_1$ 方向转到 $\vec{n}_2$ 方向的绝对值小于 $\pi$ 的角 $\theta$ 等于 $\theta_1$ 或 $\theta_2$, 因此有 $$ \tan \theta_1=\tan \theta_2=\tan \theta $$  但 $$ \tan \theta=\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2} $$ 所以 $$ \tan \theta_1=\tan \theta_2=\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2} $$ 上式就是从 $\ell_1$ 到 $\ell_2$ 的旋转角的正切的计算公式. 从旋转角的正切我们就可算出两条直线旋转角, 通常我们把两条直线的旋转角中绝对值较小的那个角叫做这两条直线的夹角. 如果给出的两条直线为斜截式. 即 $$ \begin{aligned} & \ell_1: y=k_1 x+b_1 \\ & \ell_2: y=k_2 x+b_2 \end{aligned} $$ 我们取 $\ell_1$ 的法向量为 $\vec{n}_1=\left(k_1,-1\right), \ell_2$ 的法向量 $\vec{n}_2=\left(k_2,-1\right)$, 那么由上述求旋转角的正切的计算公式就变为 $$ \tan \theta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1 \cdot k_2}, \quad\left(1+k_1 k_2 \neq 0\right) $$ 例 5.39 求 $\ell_1: 2 x-y-3=0$ 到 $\ell_2: 3 x+y-2=0$ 的旋转角. 解：由于 $$ \tan \theta=\frac{\left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{array}\right|}{2 \times 3+(-1) \times 1}=\frac{5}{5}=1 $$ 所以: $\theta=\frac{\pi}{4}$ 或 $-\frac{3}{4} \pi$. 例 5.40 已知直线 $\ell_1: y=-3 x+2, \ell_2: y=2 x-3$, 求 $\ell_1$ 到 $\ell_2$ 的旋转角 $\theta$. 解：由于 $$ \tan \theta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}=\frac{2-(-3)}{1+2 \times(-3)}=\frac{5}{-5}=-1 $$ 所以: $\theta=\frac{3}{4} \pi$ 或 $-\frac{\pi}{4}$.
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