最后更新: 2025-02-09 06:31 查看: 284 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

直线方程(点斜/斜截/截距/两点式/一般式)

## 直线的点斜式方程
如图 在平面直角坐标系中, 设 $P(x, y)$ 是过点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 上的任意一点. 当点 $P(x, y)$ 与点 $M$ 不重合时, 由 $k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$, 可得

$$
\boxed{
y-y_0=k\left(x-x_0\right) ....(1)
}
$$
这被称作直线的**点斜式方程**。

![图片](/uploads/2024-09/02161a.jpg)
 
 当点 $P(x, y)$ 与点 $M$ 重合时, 点 $P$ 的坐标就是 $\left(x_0, y_0\right)$, 同样满足方程(1). 这样, 直线 $l$ 上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都满足方程(1).

反之, 可以证明以方程(1)的解为坐标的点一定在这条直线 $l$上: 若点 $Q$ 的坐标 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ 满足方程(1), 即 $y^{\prime}-y_0=k\left(x^{\prime}-x_0\right)$ 成立. 当 $x^{\prime} \neq x_0$ 时, 直线 $M Q$ 经过点 $M$ 且斜率 $k_{M Q}=\frac{y^{\prime}-y_0}{x^{\prime}-x_0}=k$,于是直线 $M Q$ 与 $l$ 重合, 从而点 $Q$ 在 $l$ 上; 当 $x^{\prime}=x_0$ 时, 有 $y^{\prime}=y_0$, 点 $Q$ 与点 $M$ 重合, 点 $Q$ 也在 $l$ 上.

这就证明了方程(1)是经过定点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 且斜率为 $k$ 的直线的方程. 这种形式的直线方程叫做直线的点斜式方程.

## 直线的斜截式方程
在点斜式方程 (1) 中，如果把定点选成直线与 $y$ 轴的交点 $(0, b)$, 那么方程改写为

$$
\boxed{
y=k x+b \text {. } ...(2)
}
$$

其中, 数值 $b$ 称为该直线在 $y$ 轴上的**截距** (如图).

![图片](/uploads/2024-09/d59b56.jpg)
当然, 直线在 $y$ 轴上的截距本质上是确定了直线上的一点 $(0, b)$, 所以给定直线的斜率和在 $y$ 轴的截距, 就唯一地确定了这条直线.

方程(2)称为直线的**斜截式方程**. 当 $k \neq 0$ 时, 它表示 $y$ 是 $x$的一次函数, 这个函数图像也就是我们所讨论的直线. 当 $k=0$时, 该直线与 $x$ 轴平行或重合, 其方程为 $y=b$.

我们也可以定义直线在 $x$ 轴上的截距, 它就是直线与 $x$ 轴交点 $(a, 0)$ 的横坐标 $a$。

如果直线与 $y$ 轴平行或重合, 它的斜率与在 $y$ 轴上的截距都不存在, 但此时直线与 $x$ 轴垂直, 设垂足为 $(a, 0)$, 那么该直线在 $x$ 轴上的截距为 $a$, 且直线上所有点的横坐标都是 $a$, 从而直线的方程是 $x=a$.

`例` 求倾斜角是 $\frac{2 \pi}{3}$ 且在 $x$ 轴上的截距是 -3 的直线 $l$ 的点斜式方程.

解 因为 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是 -3 , 所以 $l$ 经过点 $A(-3,0)$.因为 $l$ 的斜率 $k=\tan \frac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3}$, 所以 $l$ 的点斜式方程是 $y=$ $-\sqrt{3}(x+3)$.

## 直线的两点式方程

两点确定一条直线, 因此, 只要给定平面上两个点的坐标,就可以写出过这两点的直线的方程. 如果两点的横坐标或纵坐标相同, 那么这条直线与某条坐标轴平行或重合，上面已经讨论过了。

现在考虑经过两点 $M\left(x_1, y_1\right) 、 N\left(x_2, y_2\right)$, 并且不与任一坐标轴平行或重合的直线 $l$, 可知 $x_1 \neq x_2$, 且 $y_1 \neq y_2$, 直线 $l$ 的斜率是 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, 于是该直线的点斜式方程为 $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)$,整理成关于两个坐标对称的形式, 得

$$
\boxed{
\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} ...(3)
}
$$

方程(3)称为直线的**两点式方程**.

> 在两点式方程里，如果$y_2=y_1$ 则方程变为分母为零，此时可以理解为$y-y_1$,而不要当做传统意义上的除法里的分母为零理解，上面(3)式仍然适用。

$$
\boxed{
\dfrac{y-y_1}{0}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} ...(3)
}
$$

上面也可以更改为
$$
\boxed{
\left(y_2-y_1\right)\left(x-x_1\right)-\left(x_2-x_1\right)\left(y-y_1\right)=0
}
$$

`例`已知直线 $l$ 经过点 $A(2,1) 、 B(4,4)$, 求 $l$ 的方程.
解 直接把点 $A 、 B$ 的坐标代人直线的两点式方程, 得

$$
\frac{y-1}{4-1}=\frac{x-2}{4-2}
$$

化简, $l$ 的方程可写为 $y=\frac{3}{2} x-2$.

`例` 在平面直角坐标系中, 根据所给直线方程, 作出相应图形, 并求出该直线的斜率和在 $y$ 轴上的截距:
(1) $l_1: 2 y+1=0$;
(2) $l_2: x+2 y+1=0$.

解 (1) 因为 $l_1: y=-\frac{1}{2}$, 所以该直线过点 $B\left(0,-\frac{1}{2}\right)$ 且平行于 $x$ 轴 (图略). 所以, $l_1$ 的斜率为 0 且在 $y$ 轴上的截距是 $-\frac{1}{2}$.
(2) 在方程 $x+2 y+1=0$ 中, 令 $y=0$, 得 $x=-1$; 令 $x=0$,得 $y=-\frac{1}{2}$. 这就得到直线 $l_2$ 上两个不同的点 $A(-1,0) 、 B\left(0,-\frac{1}{2}\right)$,连接 $A 、 B$ 两点的直线即为直线 $l_2$ (图略).

因为方程 $x+2 y+1=0$ 可化为 $y=-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$, 所以直线 $l_2$的斜率是 $-\frac{1}{2}$, 在 $y$ 轴上的截距是 $-\frac{1}{2}$.

## 直线一般方程
不管哪种形式的直线方程都是关于 $x 、 y$ 的二元一次方程, 因此都可以化为如下二元一次方程的一般形式

$$
\boxed{
a x+b y+c=0 ...(4)
}
$$

（ $a 、 b$ 不同时为零）

反过来, 二元一次方程(4)是否都表示一条直线呢?
若 $b \neq 0$, 方程(4) 化为 $y=-\frac{a}{b} x-\frac{c}{b}$, 它表示斜率为 $-\frac{a}{b}$,在 $y$ 轴上的截距为 $-\frac{c}{b}$ 的直线; 若 $b=0$, 则 $a \neq 0$, 方程(4) 化为 $x=-\frac{c}{a}$, 它表示过点 $\left(-\frac{c}{a}, 0\right)$ 且与 $x$ 轴垂直的直线. 可见, 只要 $a 、 b$ 不同时为零, 方程(4)都表示平面直角坐标系中的一条直线. 我们把方程(4)称为**直线的一般式方程**.

## 直线的截距式方程

对于一条直线，当与$x$轴相交时，$y=0$， 当与$y$轴相交时$x=0$，所以直线还可以写成如下形式

$$
\boxed{
 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1  ...(5)
}
$$

这种表示方法叫做直线的截距式方程。

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