最后更新: 2025-05-31 06:54 查看: 1575 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

直线方程(点斜/斜截/截距/两点式/一般式)

## 直线方程常见的六种形式
 ![图片](/uploads/2025-05/c983c8.jpg)

注意1：对于“点法式”方程，高中阶段仅需了解即可。
注意2：直线的斜率k与倾斜角α之间的关系

![图片](/uploads/2025-05/36d514.jpg)
 
 牢记口诀：“**斜率变化分两段，90°是分界线**；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

注意3.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
注意4.直线$Ax＋By＋C＝0(A^2＋B^2≠0)$的一个方向向量$a＝(－B，A)$ ,这里  $A^2＋B^2≠0$是要求$A,B$不能同时为零。

## 直线的点斜式方程
如图 在平面直角坐标系中, 设 $P(x, y)$ 是过点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 上的任意一点. 当点 $P(x, y)$ 与点 $M$ 不重合时, 由 $k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$, 可得

$$
\boxed{
y-y_0=k\left(x-x_0\right) ....(1)
}
$$
这被称作直线的**点斜式方程**。

![图片](/uploads/2024-09/02161a.jpg)
 
 当点 $P(x, y)$ 与点 $M$ 重合时, 点 $P$ 的坐标就是 $\left(x_0, y_0\right)$, 同样满足方程(1). 这样, 直线 $l$ 上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都满足方程(1).

反之, 可以证明以方程(1)的解为坐标的点一定在这条直线 $l$上: 若点 $Q$ 的坐标 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ 满足方程(1), 即 $y^{\prime}-y_0=k\left(x^{\prime}-x_0\right)$ 成立. 当 $x^{\prime} \neq x_0$ 时, 直线 $M Q$ 经过点 $M$ 且斜率 $k_{M Q}=\frac{y^{\prime}-y_0}{x^{\prime}-x_0}=k$,于是直线 $M Q$ 与 $l$ 重合, 从而点 $Q$ 在 $l$ 上; 当 $x^{\prime}=x_0$ 时, 有 $y^{\prime}=y_0$, 点 $Q$ 与点 $M$ 重合, 点 $Q$ 也在 $l$ 上.

这就证明了方程(1)是经过定点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 且斜率为 $k$ 的直线的方程. 这种形式的直线方程叫做直线的点斜式方程.

## 直线的斜截式方程
在点斜式方程 (1) 中，如果把定点选成直线与 $y$ 轴的交点 $(0, b)$, 那么方程改写为

$$
\boxed{
y=k x+b \text {. } ...(2)
}
$$

其中, 数值 $b$ 称为该直线在 $y$ 轴上的**截距** (如图).

![图片](/uploads/2024-09/d59b56.jpg)
当然, 直线在 $y$ 轴上的截距本质上是确定了直线上的一点 $(0, b)$, 所以给定直线的斜率和在 $y$ 轴的截距, 就唯一地确定了这条直线.

方程(2)称为直线的**斜截式方程**. 当 $k \neq 0$ 时, 它表示 $y$ 是 $x$的一次函数, 这个函数图像也就是我们所讨论的直线. 当 $k=0$时, 该直线与 $x$ 轴平行或重合, 其方程为 $y=b$.

我们也可以定义直线在 $x$ 轴上的截距, 它就是直线与 $x$ 轴交点 $(a, 0)$ 的横坐标 $a$。

如果直线与 $y$ 轴平行或重合, 它的斜率与在 $y$ 轴上的截距

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